流體表面毛細(xì)波與激光照射共同作用產(chǎn)生的光環(huán)現(xiàn)象

趙金瑜 關(guān)國(guó)業(yè) 林 方

(四川大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610064)

一束穩(wěn)恒射流沿豎直方向自由下落，撞擊一塊水平放置于出射口下方數(shù)厘米處的硬質(zhì)阻隔板，可以觀察到撞擊點(diǎn)上方液柱表面形成類似“駐波”的穩(wěn)定周期性波形分布，即表面毛細(xì)波現(xiàn)象，如圖1(a)所示。早在20世紀(jì)五六十年代，Wada Y和Lienhard J H便先后觀察到并研究了液柱表面毛細(xì)波傳播現(xiàn)象[1,2]。近十幾年來(lái)，對(duì)此現(xiàn)象的研究有了新的進(jìn)展。Ji W和Setterwall F首先注意到了表面活性劑對(duì)液體表面毛細(xì)波的影響[3,4]。隨后，Awati K M和Howes T在理想流體基礎(chǔ)上考慮了牛頓黏性力的作用，對(duì)黏性液體的表面毛細(xì)波進(jìn)行了分析[5]。Hancock M J等人在早年Adachi K實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上[6]分析了重力場(chǎng)下平面射流的性質(zhì)，給出了液柱中段出現(xiàn)表面毛細(xì)波的條件[7]。Eggers J和Villermaux E則對(duì)圓柱射流的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了綜述[8]。2013年，Massalha T和Digilov R M從修正的伯努利方程出發(fā)，得出了重力作用下自由下落液柱的表面形狀函數(shù)[9]。2015年，鞏欣亞等人實(shí)驗(yàn)探究了不同參量對(duì)毛細(xì)波形態(tài)的影響[10]。

透明液體對(duì)光有透射、折射、漫反射和全反射等多重作用，因此透明液體受到光的照射會(huì)產(chǎn)生奇妙而美麗的現(xiàn)象，比如夜晚五彩繽紛的音樂(lè)噴泉。豎直液柱的表面毛細(xì)波存在周期性細(xì)微結(jié)構(gòu)，因此當(dāng)液柱與阻隔板的接觸點(diǎn)受到激光照射時(shí)，可以觀察到在液柱表面形成若干亮暗相間的光環(huán)，如圖1(b)所示。與此現(xiàn)象有關(guān)的問(wèn)題亦出現(xiàn)在2016年第29屆國(guó)際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(International Young Physicists’ Tournament，簡(jiǎn)稱IYPT)上[11]。

圖1 觀察照片(a) 液柱表面穩(wěn)定毛細(xì)波； (b) 激光照射下的光環(huán)現(xiàn)象

本文的主要內(nèi)容包括： (1)以理想流體與定常流動(dòng)為前提假設(shè)，通過(guò)伯努利方程建立豎直自由下落液柱的流場(chǎng)方程，推導(dǎo)表面毛細(xì)波波長(zhǎng)的隱性表達(dá)式；(2)設(shè)計(jì)并搭建穩(wěn)定可控的實(shí)驗(yàn)裝置，對(duì)理論表達(dá)式進(jìn)行定量驗(yàn)證；(3)通過(guò)半定量實(shí)驗(yàn)，探究了不同參量對(duì)光環(huán)形態(tài)的影響；(4)運(yùn)用仿真軟件模擬激光與液柱相互作用之后的空間光場(chǎng)分布；(5)分析液柱表面光環(huán)的成因。

1 液柱表面毛細(xì)波

1.1 理論分析

圖2 液柱形態(tài)(a) 實(shí)驗(yàn)中自由下落的液柱； (b) 坐標(biāo)系及描述液柱運(yùn)動(dòng)的物理量

豎直自由下落的液柱形態(tài)如圖2(a)所示。以液體出射口中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，豎直向下方向?yàn)閦軸，建立柱坐標(biāo)系r,θ,z，如圖2(b)所示。對(duì)液柱軸線上與出射口距離為z的P點(diǎn)應(yīng)用伯努利方程[12]，可得

(1)

對(duì)于任意彎曲液面內(nèi)外的壓強(qiáng)差，有拉普拉斯公式[13]

(2)

其中，R1、R2為液面上相交于考察點(diǎn)且相互垂直的兩條任意曲線C1和C2的曲率半徑。取C1為豎直液柱表面與過(guò)P點(diǎn)的水平面的相交曲線，即以P點(diǎn)為圓心、rz為半徑的圓，于是有

(3)

取C2為液柱表面與過(guò)z軸任一豎直平面的相交曲線，即液柱側(cè)面母線。在離開(kāi)出射口一段距離之后，液柱半徑rz隨z變化很小，即母線近似為直線，因此有

(4)

O、P兩點(diǎn)的壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng)與液柱表面張力的附加壓強(qiáng)之和，將式(3)、式(4)代入式(2)，得到

(5)

其中，pb為大氣壓強(qiáng)；σ為液體表面張力系數(shù)；r0為O點(diǎn)處液柱半徑，即液體出射口半徑。

將式(5)代入式(1)，可得

(6)

引入豎直下落流體系統(tǒng)的無(wú)量綱常數(shù)，即Froude數(shù)和Weber數(shù)，其定義為[5]

(7)

代入式(6)，可得

(8)

此外，液柱對(duì)任意水平截面的通量守恒，即滿足守恒關(guān)系

(9)

其中Q為液柱流量。聯(lián)立式(8)或(9)即可得到豎直下落液柱的截面半徑公式

(10)

本文實(shí)驗(yàn)采用純凈水，可視為理想流體，粘滯力的影響可以忽略，即We→∞，于是式(10)可寫成

(11)

最后，結(jié)合Navier-Stokes方程與邊界條件(11)，可解得恒流理想流體液柱表面任意一點(diǎn)流速U與該點(diǎn)附近毛細(xì)波波長(zhǎng)λ的關(guān)系為[3,7]

(12)

式中，Inx為n階第一類修正型貝塞爾函數(shù)[14]。由此，在實(shí)驗(yàn)中測(cè)量液柱某處流速與該處表面毛細(xì)波波長(zhǎng)的關(guān)系并與式(12)進(jìn)行對(duì)比，即可驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)液柱滿足恒流理想流體假設(shè)，以及毛細(xì)波理論的適用性。

1.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖3所示。實(shí)驗(yàn)所采用的水流發(fā)生源為實(shí)驗(yàn)室恒流水龍頭。一段長(zhǎng)1.2m的恒定管徑醫(yī)用橡膠管將水龍頭與豎直放置的長(zhǎng)度為30cm的摩爾管相連，摩爾管管口即液柱出射口。在出射口正下方0～12cm的可調(diào)范圍內(nèi)水平放置一塊硬質(zhì)阻隔板(如PVC防潮板，玻璃板或不銹鋼板)。照射源采用波長(zhǎng)650nm、額定功率5mW的激光筆；用鐵架臺(tái)夾持激光筆以便調(diào)節(jié)其照射角度。攝像設(shè)備采用Apple? iPhone 6s移動(dòng)電話主攝像頭，鏡頭光圈f/2.2，焦距4.15 mm(等效焦距29 mm)，像素1200萬(wàn)；攝像頭經(jīng)磚墻測(cè)試在所用焦段不存在可見(jiàn)的桶形或枕形畸變。

實(shí)驗(yàn)前，用水平儀將阻隔板調(diào)至水平，將摩爾管調(diào)整并固定在豎直方向，確保二者相互垂直。將拍攝到的毛細(xì)波圖像導(dǎo)入軟件Tracker，并以管口一側(cè)同一焦平面上沿豎直方向固定的刻度尺作為定標(biāo)依據(jù)，即可讀取出液柱半徑、毛細(xì)波波長(zhǎng)等所需參數(shù)，如圖4所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)時(shí)的照片(a) 以刻度尺作為Tracker定標(biāo)依據(jù)； (b) 利用Tracker對(duì)毛細(xì)波圖像進(jìn)行參數(shù)測(cè)量

圖6 PVC防潮板作為阻隔板(a) 方位角90°； (b) 方位角180°； (c) 方位角270°； (d) 方位角360°

圖5 表面毛細(xì)波波長(zhǎng)與測(cè)量點(diǎn)流速函數(shù)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)與理論對(duì)比圖

2 不同參量對(duì)光環(huán)形態(tài)的影響

本節(jié)采用半定量方法，探究光環(huán)形態(tài)如何受不同參量影響，為后文分析光環(huán)成因提供實(shí)驗(yàn)對(duì)照。其中，照射距離指的是激光筆出射端到液柱與阻隔板接觸點(diǎn)的距離；激光入射角指的是激光光束與水平面夾角；觀察視角指的是攝像鏡頭軸線與水平面夾角。

2.1 阻隔板表面漫反射率

實(shí)驗(yàn)保持激光入射角40°，照射距離40cm，觀察視角45°不變，分別以PVC防潮板和高拋光鏡面不銹鋼板作為阻隔板，分別從90°、180°、270°、360° 4個(gè)方位進(jìn)行攝像，如圖6、7所示。可以看出，采用PVC防潮板作為阻隔板時(shí)4個(gè)方位角皆可觀察到光環(huán)，且光環(huán)亮度和明暗環(huán)相對(duì)位置不隨拍攝方位角發(fā)生明顯改變；當(dāng)使用鏡面不銹鋼板作為阻隔板時(shí)，雖然液柱表面存在毛細(xì)波，但僅在觀察角為180°時(shí)觀測(cè)到狹窄的點(diǎn)狀光環(huán)。據(jù)此推測(cè)，如果激光在照射點(diǎn)附近發(fā)生鏡面反射，則光線最終只能沿一個(gè)狹窄方向射出，因此只有在特定方位角才能觀察到光環(huán)；反之，如果激光在照射點(diǎn)附近發(fā)生漫反射，則可以形成全向光場(chǎng)，因此各個(gè)方向均可觀察到光環(huán)。此結(jié)論將在后文通過(guò)軟件仿真加以分析。

圖7 鏡面不銹鋼板作為阻隔板(a) 方位角90°； (b) 方位角180°； (c) 方位角270°； (d) 方位角360°

圖8 激光入射角度對(duì)光環(huán)形態(tài)的影響(a) 入射角20°； (b) 入射角30°； (c) 入射角40°； (d) 入射角50°

2.2 激光入射角

實(shí)驗(yàn)中控制照射距離40cm，觀察視角45°不變，阻隔板采用PVC防潮板；改變激光入射角，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。光環(huán)出現(xiàn)位置及明暗程度并沒(méi)有發(fā)生明顯變化。如果2.1節(jié)結(jié)論成立，即光環(huán)的產(chǎn)生源于激光在照射點(diǎn)附近發(fā)生的漫反射，那么激光入射角度的改變不會(huì)使漫反射發(fā)生明顯變化，從而不會(huì)明顯改變光環(huán)形態(tài)。

2.3 觀察視角

實(shí)驗(yàn)中控制激光入射角40°，照射距離40cm不變，阻隔板采用PVC防潮板；改變觀察視角，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。當(dāng)觀察視角很小時(shí)幾乎不能觀察到光環(huán)；隨著觀察視角的增大，可觀察到的光環(huán)數(shù)目逐漸增多，亮度也隨之增大。值得注意的是，液柱表面每一個(gè)毛細(xì)波波長(zhǎng)內(nèi)都存在一個(gè)亮環(huán)和一個(gè)暗環(huán)，相鄰亮暗環(huán)寬度之和等于毛細(xì)波波長(zhǎng)，不隨視角改變而改變，此現(xiàn)象將在第3節(jié)進(jìn)行分析。

3 光環(huán)成因分析

從上文實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，光環(huán)的產(chǎn)生及其形態(tài)依賴于兩方面：液柱表面毛細(xì)波；激光在液柱與阻隔板接觸點(diǎn)附近的漫反射和液柱內(nèi)部光場(chǎng)分布。前者決定了相鄰亮(暗)環(huán)之間的間距；后者則決定了光環(huán)出現(xiàn)與否以及光環(huán)的亮度和可見(jiàn)個(gè)數(shù)。

圖9 觀察視角對(duì)光環(huán)可見(jiàn)個(gè)數(shù)和亮度的影響(a) 視角20°； (b) 視角30°； (c) 視角40°； (d) 視角50°

3.1 毛細(xì)波波長(zhǎng)與光環(huán)間距

圖10 亮暗環(huán)分布與毛細(xì)波波形關(guān)系示意圖

3.2 阻隔板漫反射率對(duì)光線分布的影響

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不論阻隔板表面光滑與否，液柱都存在表面毛細(xì)波，且具有基本相同的結(jié)構(gòu)；然而只有粗糙的阻隔板能形成光環(huán)，其區(qū)別在于激光在液柱與阻隔板的接觸點(diǎn)附近發(fā)生的反射類型不同。對(duì)于鏡面，高準(zhǔn)直激光束在接觸點(diǎn)發(fā)生鏡面反射，反射方向單一，從液柱表面直接出射或經(jīng)過(guò)幾次反射后出射，絕大部分液柱表面沒(méi)有受到激光照射，因此不易觀察到光環(huán)現(xiàn)象；對(duì)于表面粗糙均勻的PVC防潮板，激光束在照射點(diǎn)發(fā)生漫反射，液柱內(nèi)部形成以接觸點(diǎn)為中心的輻射狀光場(chǎng)，使整個(gè)液柱表面都能得到光線的照射，因此任意角度均可觀察到光環(huán)現(xiàn)象。

對(duì)液柱進(jìn)行CAD三維建模，可得到幾何參數(shù)與實(shí)驗(yàn)基本一致的液柱模型(如圖11所示)，將其導(dǎo)入光學(xué)仿真軟件Tracepro?即可模擬光場(chǎng)分布。模擬參數(shù)設(shè)置如下： (1)激光波長(zhǎng)為650nm、水柱折射率為1.33136、吸收系數(shù)為0.00034；(2)光線在“液體-空氣”界面將發(fā)生ABg散射，散射參數(shù)設(shè)置為：吸收率0.01、鏡面反射率0.01、鏡面透射率0.9797；(3)激光光場(chǎng)滿足高斯分布，入射角為40°，照射距離為40cm，光線條數(shù)為5700，輻照度10W/m2。(4)將阻隔板漫反射率分別設(shè)置為99%(對(duì)應(yīng)PVC防潮板)、50%和0(對(duì)應(yīng)鏡面不銹鋼)。由此生成的光線分布如圖12所示。

圖11 利用CAD對(duì)液柱表面進(jìn)行三維建模

圖12 阻隔板漫反射率對(duì)光線分布的影響第1行為側(cè)視圖，第2行為俯視圖，從左至右漫反射率分別為99%、50%和0

從圖中可以看出，當(dāng)漫反射率為99%時(shí)，激光經(jīng)接觸點(diǎn)反射后光線呈全空間均勻輻射狀分布，意味著此時(shí)從任何角度均可觀察到光環(huán)現(xiàn)象；隨著漫反射率減小，光線在水平面內(nèi)的發(fā)散均勻性被打破，光線主要集中于激光的鏡面反射方向及其反方向，其余區(qū)域的光照強(qiáng)度減弱；當(dāng)漫反射率為零時(shí)，激光發(fā)生鏡面反射，只有從特定的觀察角(180°，即鏡面反射方向)才能觀察到狹窄光環(huán)，與2.1節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。此外，不少光線經(jīng)阻隔板反射或經(jīng)多重全反射后沿豎直方向從液柱上表面射出，因此在摩爾管口和管內(nèi)上液面應(yīng)可觀察到有光線溢出；實(shí)驗(yàn)中也觀察到了此溢光現(xiàn)象，如圖13所示。

圖 13(a) 摩爾管口處溢光現(xiàn)象； (b) 摩爾管內(nèi)上液面處溢光現(xiàn)象

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文對(duì)理想流體表面毛細(xì)波與激光照射共同作用產(chǎn)生的光環(huán)現(xiàn)象進(jìn)行了研究，認(rèn)為液柱表面光環(huán)形成過(guò)程如下： (1)液柱與阻隔板撞擊形成表面毛細(xì)波。(2)激光斜入射到液柱與阻隔板的接觸點(diǎn)并發(fā)生漫反射。(3)漫反射光照滿液柱的整個(gè)側(cè)表面。(4)表面毛細(xì)波的存在使液柱表面曲率周期性變化，因此，到達(dá)液柱內(nèi)表面的漫反射光根據(jù)到達(dá)處液面曲率分為兩部分：若到達(dá)處液面曲率未達(dá)到全反射條件，則這部分光折射到空氣中(此處呈現(xiàn)亮環(huán))；否則，則通過(guò)全反射回到液柱內(nèi)部(此處呈現(xiàn)暗環(huán))，相鄰亮暗環(huán)寬度之和等于毛細(xì)波波長(zhǎng)。(5)全反射回到流體內(nèi)部的光繼續(xù)在流體內(nèi)部傳播并在距離接觸點(diǎn)更高位置的內(nèi)液面處再次發(fā)生折射或全反射，形成一系列亮暗相間的光環(huán)，且亮度自下而上遞減。由此可見(jiàn)，流體表面毛細(xì)波和激光在接觸點(diǎn)處發(fā)生漫反射是產(chǎn)生光環(huán)現(xiàn)象的必要條件，二者缺一不可。

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