從麥克斯韋方程中看磁單極子

佘雨時(shí)

【摘要】磁單極在科普讀物中經(jīng)常被提及，本文從電荷有正負(fù)兩極之分出發(fā)，引入磁也有可能具有南北兩個(gè)磁單極子，并就從麥克斯韋方程組中的兩個(gè)方程出發(fā)，給出自己關(guān)于磁單極的看法，最后并就目前探究磁單極子進(jìn)展進(jìn)行一定的概述。

【關(guān)鍵詞】高斯定理 ?電通量 ?磁通量 ?磁單極子 ?磁荷

【中圖分類號(hào)】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）42-0154-02

一、前言

電和磁遍布現(xiàn)代社會(huì)方方面面，早在十九世紀(jì)英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋就創(chuàng)造出了偉大的麥克斯韋方程組，正因?yàn)檫@組方程，使我們能夠知道磁和電有著不可分割的聯(lián)系。大家都知道自然界有正電荷和負(fù)電荷之分，人們可以單獨(dú)得到正負(fù)電荷，但是對(duì)于磁來說，卻很少有人說有南北極分開的磁單極子，這樣我就想是否磁場(chǎng)也是由正負(fù)磁荷產(chǎn)生的呢，如果磁能夠和電一樣也有類似于電荷那樣的磁單極子，那么電和磁就會(huì)有高度的對(duì)稱性，麥克斯韋方程組中關(guān)于磁的方程也會(huì)被改寫。盡管很多理論學(xué)家預(yù)測(cè)磁單極子的確存在，可是至今我們?nèi)晕吹玫酱藕?，即單?dú)的南極或北極，就經(jīng)驗(yàn)而論磁具有固有雙極，即南極和北極是成對(duì)出現(xiàn)的，一個(gè)磁鐵，從中間截?cái)啵筮€會(huì)得到兩個(gè)小磁鐵，再分割還是會(huì)得到四個(gè)更小的磁鐵，這樣無論如何分割最后剩下的部分又會(huì)重新形成新的南極或北極。那么，是否存在著磁單極子呢？下面我將從描述電場(chǎng)是有源場(chǎng)的高斯定理出發(fā)，再論磁場(chǎng)的高斯定理，從中給出我自己的一些想法。

二、電荷為什么能稱作電荷

對(duì)于任意閉合平面，我們有高斯定理

？蓐E·dS=■ ? ?①

其中E為電場(chǎng)強(qiáng)度，dS為微元的面積，q為曲面內(nèi)的電荷量。從上面的式子中我們可以看出穿過一個(gè)閉合曲面的電通量是和這個(gè)曲面包含的電荷成正比的。對(duì)于上面①公式可以看作是麥克斯韋方程組中下面②公式的變形。

？犖·D=ρ ? ? ②

其中D=？著0 E

由①式可得？蓐D·ds=q

取一小長(zhǎng)方體（如圖1所示），記最接近原點(diǎn)的那一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），令該長(zhǎng)方體在x方向上的長(zhǎng)度為△x，在y方向上為△y，在z方向?yàn)椤鱶。考慮3、4面：由3進(jìn)入立方體的通量為？蘩Ez·△x△y，由于△x△y△z極小，故可用A點(diǎn)的電場(chǎng)做近似處理記做-EZ3△x△y，同理，由4進(jìn)入的通量為EZ4△x△y由于3、4兩面存在微小的差異，△z極小時(shí)，有

EZ3=EZ4+■△Z。

因此，將3、4面的通量相加，可得到在Z方向上的通量為■△x△y△z。同理，1、2面的通量為■△x△y△z; 5、6面通量為■△x△y△z。

從而

？蘩立方體E·dS=■+■+■V

因?yàn)?？?■+■+■，我們因此可以得出：

？蘩立方體E·dS=（？犖·E）△V

這就證明了小立方體向外的通量等于該矢量的散度乘以立方體的體積。進(jìn)而易得到高斯定理？犖·D=ρ。由此說明電荷發(fā)出的場(chǎng)為有源場(chǎng)，因此可以說明存在可分離的正負(fù)電荷。

三、為什么不存在磁荷

當(dāng)我們?cè)诋嬕粋€(gè)磁鐵產(chǎn)生的磁力線時(shí)，我們通常是將磁力線從北極出發(fā)，經(jīng)外部回到南極，然后又進(jìn)入磁鐵內(nèi)部，最后回到北極。這就表明，磁場(chǎng)和電場(chǎng)有著明顯的區(qū)別，電場(chǎng)的方向可以從一個(gè)孤立的正電荷到另外一個(gè)孤立的負(fù)電荷，再由正電荷回到負(fù)電荷，這兩個(gè)孤立的正負(fù)電荷都可以作為電場(chǎng)的發(fā)射源，所以說電場(chǎng)是一種有源頭的場(chǎng);而對(duì)于磁場(chǎng)來說南北極不能孤立存在，它們是一個(gè)整體，磁力線從某一點(diǎn)出發(fā)最后又回到了這一點(diǎn)，所以說是一種沒有源頭的場(chǎng)，就是無源場(chǎng)。

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律：

dB=■■

可以得到B=■？蘩V■dV′

其中J（x′）為電流元x′上的電流密度，r為x′到場(chǎng)點(diǎn) x的位矢，？滋0為真空磁導(dǎo)率。

不妨設(shè)i，j，k為x，y，z方向上的單位向量，r=xi+yj+zk=■■

？犖r=■i+■j+■k

=■i+■j+■k

=■

故■？犖r=■，則B=-■？蘩VJ（x′）×？犖■dV′，由于x和x′無關(guān)，而？犖是對(duì)x的算符，與x′無關(guān)。

所以：？犖×J（x′）■=？犖■×J（x′）

所以B=■？犖×？蘩V■dV′=？犖×C，其中C=■？蘩V■dV′

？犖·B=？犖·（？犖×C）

下面證明？犖·（？犖×C）=0

記C=Axj+Ayj+Azk，則

？犖×C=■

=■k+■i+■j-■j-■k-■i

？犖·（？犖×C）=■-■+■-■+■-■=0

所以？犖·（？犖×C）=0，即？犖·B=0。

若存在磁荷，和電荷類似，磁荷作為磁場(chǎng)的源，應(yīng)滿足？犖·B≠0。與上式矛盾，故可證明磁場(chǎng)是無源場(chǎng)，也解釋了為什么至今仍未發(fā)現(xiàn)磁荷的一個(gè)重要原因。

四、對(duì)上述兩個(gè)麥克斯韋方程的理解

對(duì)于一個(gè)有源場(chǎng)，通過單位體積的一個(gè)閉合曲面的通量應(yīng)該不等于0;而無源頭的場(chǎng)，通過單位體積的一個(gè)閉合曲面的通量應(yīng)該為0。我們可以用法拉第的研究方法，即用電力線和磁力線來刻畫和理解電場(chǎng)與磁場(chǎng)。不妨假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度正比于電力線的根數(shù)，則電力線越密，單位體積內(nèi)電場(chǎng)的散度越大。為了便于理解，我們可以取一個(gè)球面來分析。假設(shè)一個(gè)球面中存在一個(gè)點(diǎn)電荷，則由？犖·E=■易知其散度不為0，所以有電力線從球面穿出，呈向外的發(fā)射狀，這也解釋了電場(chǎng)是一個(gè)有源頭的場(chǎng)。

同理，當(dāng)我們用磁力線來描述一個(gè)磁場(chǎng)時(shí)，穿過一個(gè)曲面的磁力線的疏密情況與這個(gè)曲面上的磁通量大小成正比關(guān)系，這樣假設(shè)一球面內(nèi)有一小磁鐵，根據(jù)？犖×B=0易知B的散度為0，因?yàn)榇挪淮嬖诖艈螛O子，南北極是同一點(diǎn)，那么磁力線是一個(gè)閉合的曲線，經(jīng)發(fā)射離開球面后又會(huì)進(jìn)入球面，也就是說進(jìn)入這個(gè)球面的磁力線根數(shù)與穿出這個(gè)球面的磁力線根數(shù)是一樣的，最后一正一負(fù)抵消掉了，所以通過球面的磁通量為0。

五、磁單極子的進(jìn)展和意義

由于目前我理解的限度，只能從麥克斯韋方程組中的電與磁的高斯定理出發(fā)，來理解電場(chǎng)是有源場(chǎng)，但是磁場(chǎng)卻是無源場(chǎng)，也就是存在電荷但是卻不存在磁單極子，電力線有端點(diǎn)但磁力線卻沒有端點(diǎn)。但是歷史上在1931年的時(shí)候，英國(guó)物理學(xué)家保羅·狄拉克卻提出了不同的觀點(diǎn)，他的觀點(diǎn)是即使磁力線是封閉的，也會(huì)存在磁單極子。他從量子力學(xué)的角度論述了磁單極子與磁力線封閉可以共存，條件是磁荷與電荷一樣滿足特定的量子化條件（即任何帶電粒子的電荷是單位電荷的整數(shù)倍，任何磁單極子的磁荷是單位磁荷的整數(shù)倍），并且磁荷的存在可以用來解釋電荷的量子化。并且狄拉克指出磁單極子的磁荷比基本電荷要大出許多，這也就意味著磁荷之間的相互作用力比電荷之間的相互作用力大出許多，必須要非常大的外力才能把相互吸引的磁荷給分割開來，這也就是電子在很久之前就被發(fā)現(xiàn)了，但是磁單極子卻一直沒有被發(fā)現(xiàn)的原因。后來又有許多科學(xué)家在狄拉克的基礎(chǔ)上作了一些新的工作，進(jìn)一步在理論上證明了磁單極子存在的可能性。

盡管理論已經(jīng)預(yù)言了磁單極子存在，但是卻一直沒有發(fā)現(xiàn)一個(gè)可靠的實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證這一結(jié)果，大多數(shù)實(shí)驗(yàn)都因?yàn)闊o法探測(cè)到磁單極子的存在或者是探測(cè)到后不可重復(fù)實(shí)驗(yàn)而告終。所以對(duì)于磁單極子是否真的存在，大家的看法還是不一。

雖然目前還沒有發(fā)現(xiàn)磁單極子，但是科學(xué)家還在不懈努力，爭(zhēng)取早日發(fā)現(xiàn)磁單極子。因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)磁單極子對(duì)于物理學(xué)有著極其深遠(yuǎn)的影響，并且有很高的實(shí)用價(jià)值。磁單極子的發(fā)現(xiàn)不僅關(guān)乎著物質(zhì)磁性的起源，還和電磁之間的對(duì)稱性有著密切的聯(lián)系，同時(shí)研究磁單極子對(duì)于宇宙早期的演化理論以及微觀粒子結(jié)構(gòu)理論至關(guān)重要。

六、總結(jié)

本文通過麥克斯韋方程組中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的高斯定理，從一個(gè)角度闡釋了為什么至今仍未找到磁單極子的原因之一：磁力線是一個(gè)閉合的曲線，其上任意一點(diǎn)都可作為發(fā)射源或接收源，所以無法找到磁單極子。當(dāng)然，歷史上也有不少人堅(jiān)持存在磁單極子，之所以目前仍未得到，是因?yàn)檎?fù)磁荷結(jié)合得太緊密，以致用現(xiàn)有的方法仍無法將其分離。我們還應(yīng)該對(duì)磁單極子有進(jìn)一步深入的研究，如果發(fā)現(xiàn)真的存在磁單極子，那么勢(shì)必將迎來新一波科學(xué)和技術(shù)的大飛躍！

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