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    淺析高中數(shù)學(xué)解題中分類思想的應(yīng)用

    2018-01-18 21:35:41葉澤春??
    考試周刊 2018年5期
    關(guān)鍵詞:分類思想高中數(shù)學(xué)解題

    葉澤春??

    摘要:分類思想作為探究并解決問題的一種常見的邏輯方法,同時也作為一種重要的數(shù)學(xué)思想,在高中數(shù)學(xué)解題過程中發(fā)揮了關(guān)鍵性的作用。分類可以看作是化整為零,再逐個擊破的過程。在數(shù)學(xué)解題中,分類可以化復(fù)雜為簡單,化難為易,在幫助學(xué)生解題時,進(jìn)行分類的思維過程中他們歸納、總結(jié)的能力也同時得到了鍛煉與提高。本文主要針對分類思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的具體應(yīng)用進(jìn)行分析、探討,希望能為高中生提供一些有價值的參考。

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);解題;分類思想

    一、 數(shù)學(xué)解題中分類思想的重要性

    有些數(shù)學(xué)問題,其答案并不是確定而唯一的,當(dāng)我們進(jìn)行到某一個步驟時,

    往往發(fā)現(xiàn)問題中其實(shí)含有幾種情況,此時并不能將幾種情況一概而論,而要捕捉到影響條件分支的重要因素,在一定的范圍里,根據(jù)題目的要求,將情況分類成不同條件再進(jìn)行討論,如此才能真正探究出問題的解決思路。

    在面對數(shù)學(xué)題時,要保持清醒的分類意識,仔細(xì)閱讀題目,明確此時的情況是否需要分類,在確定分類后,要找出題干中的關(guān)鍵信息,根據(jù)給出的條件進(jìn)行正確的分類,堅守一個標(biāo)準(zhǔn)原則,不重復(fù)統(tǒng)計某一種情況,也不漏掉任何一種情況,分好類后,要順著這個類別的樹干往下延展出枝葉來,順著思路分類討論以后要對所有的情況進(jìn)行整理,歸納總結(jié)出最后的結(jié)果。

    數(shù)學(xué)解題中,分類思想在不同類型的問題中都有其重要的應(yīng)用,例如函數(shù)、概率、數(shù)列、解析幾何等問題中往往都需要用到分類思想。高中生熟練運(yùn)用分類思想后,不僅可以在解數(shù)學(xué)題時游刃有余,對于自己思考問題的邏輯性,理清思路的條理性和整合答案的概括性都有非常大的幫助。

    二、 分類思想在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用

    (一) 合理分類,逐層討論

    在數(shù)學(xué)解題中,運(yùn)用分類思想時,一定要嚴(yán)格按照題目已知的數(shù)據(jù),給出的條件明確討論的參數(shù),然后再來科學(xué)地分類。分類討論時,一定要一層一層地分析,不要盲目跳層而出現(xiàn)不該有的失誤。

    例題1已知函數(shù)y = x2-4x+3,x∈[-1,a],求函數(shù)的最小值。

    解析:這是二次函數(shù)求最值中比較常見的定軸動區(qū)間的值域問題。根據(jù)已有知識,解答時,學(xué)生會首先算出這個函數(shù)的對稱軸是直線x=2,但由于x處于動區(qū)間[-1,a],所以我們要對對稱軸x=2是否在[-1,a]中分類進(jìn)行運(yùn)算。在運(yùn)算過程中,根據(jù)題目給出的條件,我們進(jìn)行如下分類討論:當(dāng)a≥2時,則函數(shù)在[-1,2]上呈單調(diào)遞減趨勢,在[2,a]上呈單調(diào)遞增趨勢,當(dāng)x=2時,y得到最小值-1,當(dāng)-1≤a≤2時,函數(shù)在[-1,a]上呈單調(diào)遞減趨勢,則當(dāng)x=a時,y取得區(qū)間[-1,a]內(nèi)的最小值a2-4a+3。

    從例題1中的分類思想下的解題過程可以觀察出,分類要在一個標(biāo)準(zhǔn)的前提下,嚴(yán)格根據(jù)題目已知條件與給出的數(shù)據(jù),一個層次接一個層次地來討論,不重復(fù)討論情況,也不漏掉每一種情況,全面地思考解答問題,避免失誤。

    (二) 進(jìn)行正確的分類

    高中數(shù)學(xué)題目中的分類思想往往要遵循著已有的公式和相關(guān)的定理,這些公式和定理通常會對分類的范圍做出限定,而學(xué)生解題的過程,絕不能脫離出限定范圍,否則就走入了誤區(qū)。所以在解答相關(guān)數(shù)學(xué)題時,一定要仔細(xì)審題,熟練地運(yùn)用相關(guān)的公式、定理,作出正確的分類。

    例題2存在二次函數(shù)y=(m-2)x(n+1)+x2+1,試求m和n的取值范圍。

    解析:解答這個問題時,一定要熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)定理,題目已經(jīng)明確指出這是一個二次函數(shù),所以x的指數(shù)不可能超過2。所以(n+1)的取值就有3種可能:①n+1=2;②n+1=1;③n+1=0,n的取值范圍只能在這三種可能下進(jìn)行討論,m的取值范圍也是同理作出相應(yīng)的分類。因此,想要合理應(yīng)用分類思想,必須熟練地掌握牢記基本的數(shù)學(xué)定理及公式,才能根據(jù)條件做出正確的反應(yīng),在解答問題上也不會誤入歧途。

    (三) 明確題意,層層解答

    隨著分類思想被不斷地加以重視,相應(yīng)的考題也變得越來越復(fù)雜,題目中往往會出現(xiàn)很多的未知數(shù),容易使學(xué)生混淆,畏難而退。所以在面對相關(guān)問題時,不必一開始就感到緊張,仔細(xì)地觀察題目,正確理解題目意思后,再運(yùn)用所學(xué)的知識來一步步解答問題。

    例題3設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a。若存在x0∈R,使得f (x0)<0與g(x0)<0同時成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么?

    解析:例題3由于參數(shù)較多,學(xué)生遇到這種問題時容易感到壓力而不知如何下筆作答。但我們仔細(xì)觀察題目會發(fā)現(xiàn),這道題目融合了幾種數(shù)學(xué)知識,所以在解題過程中要明確地根據(jù)題目,一層一層地做出解答。根據(jù)題目信息,我們可以遵循二次函數(shù)的性質(zhì),主要從a=0,a<0和a>0這三種情況進(jìn)行分類討論。

    由f(x)=x2-ax+a+3可知f(0)= a+3,f(1)= 4,又存在x0∈R,使得f(x0)<0,知Δ=a2-4(a+3)>0即a<-2或a>6,另g(x)= ax-2a中恒過(2,0),故由函數(shù)的圖像知:①若a=0時,f(x)=x2-ax+a+3=x2+3恒大于0,

    顯然不成立。②若a>0時,g(x0)<0,即x0<2,∵a>0,f(2)<0,

    ∴a>7。③若a<0時,g(x0)<0,即x0>2,此時函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3圖像的對稱軸x=a/2<1,故函數(shù)在區(qū)間(a/2,+∞)上為增函數(shù),又∵f(1)=4。

    ∴f(x0)<0不成立。故答案為:(7,+∞)。

    (四) 具體情況,具體分析

    雖然很多數(shù)學(xué)題目中都會用到分類思想,但有些題目是可以用更簡便的方法來解答的,所以不必要在看到含有未知參數(shù)的數(shù)學(xué)題目時就第一時間想到用分類思想。要根據(jù)題目的具體內(nèi)容,做出合理的預(yù)判,找到最省時省力的方法解答題目。各種數(shù)學(xué)思想,都要在合適的條件下,才能最大限度地體現(xiàn)其方便性,因此,在數(shù)學(xué)解題中,切忌盲目使用分類思想。

    三、 合作鞏固分類思想的運(yùn)用

    作為高中數(shù)學(xué)解題中重要的一環(huán),分類思想的作用不可小覷。為加強(qiáng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用分類思想的能力,可以在教學(xué)過程中,讓學(xué)生以小組合作模式互幫互助,在團(tuán)體中交流自己的想法與經(jīng)驗(yàn),集中對不同題型中分類思想的運(yùn)用進(jìn)行討論,對所學(xué)知識和概念加深印象并鞏固。教師也可以根據(jù)課程的推進(jìn),整合學(xué)過的知識點(diǎn),挑選一些稍有難度的經(jīng)典題目,分給每個小組進(jìn)行探究,讓學(xué)生們互相展示自己的成果,表達(dá)自己的觀點(diǎn)。通過小組成員之間的互相促進(jìn),加強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力,使他們印象里的分類思想,不僅停留在解題工具的層面上,而且增添一些趣味,使分類思想滲透在他們的學(xué)習(xí)和生活中。在這個鍛煉過程中,學(xué)生的思維也會逐漸變得靈活、敏捷。潛移默化的影響下,既可以讓他們的數(shù)學(xué)成績得到有效提升,思考問題的能力也會產(chǎn)生質(zhì)的改變。

    四、 結(jié)語

    分類思想對于高中生解答數(shù)學(xué)問題有著巨大的幫助,同時,分類思想的靈活運(yùn)用與否也對高中生的思維敏捷性與細(xì)致性作出了考驗(yàn)。高中生在平常的學(xué)習(xí)中,需要累積經(jīng)驗(yàn),對運(yùn)用到分類思想的數(shù)學(xué)問題做出歸納與總結(jié),再遇到類似問題時,便可以輕松應(yīng)對。對于相關(guān)的數(shù)學(xué)問題,在解答時,要善于觀察題干給出的關(guān)鍵性信息,作為解題線索,按照相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理或公式進(jìn)行正確的分類,分類過程也要仔細(xì),不重復(fù)不遺漏,按著對應(yīng)的層次一步一步作答,最后進(jìn)行整合與總結(jié),做出正確的作答。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 樸希蘭,樸勇杰.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇,2015(02).

    [2] 危婷.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用探討[J].數(shù)理化解題研究,2017(05).

    [3] 吳秋霞,卓劍.高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類討論思想解題探析[J].文理導(dǎo)航,2017(02).

    作者簡介:

    葉澤春,福建省福安市,福建福安市高級中學(xué)。endprint

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