數(shù)學(xué)表達(dá)：學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的實(shí)踐范式

席愛勇

摘要：數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要的實(shí)踐范式。數(shù)學(xué)表達(dá)可以改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生態(tài)、教師的數(shù)學(xué)教學(xué)生態(tài)、課堂的教學(xué)相長(zhǎng)生態(tài)和課程的動(dòng)態(tài)發(fā)展生態(tài)，通過動(dòng)作表達(dá)、口語表達(dá)和書面表達(dá)，幫助學(xué)生不斷建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，強(qiáng)化數(shù)學(xué)技能的掌握，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、運(yùn)算、推理、驗(yàn)證等思維過程以及數(shù)學(xué)問題解決的思路方案，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)表達(dá)；實(shí)踐范式；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2017）11B-0020-04

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育已聚焦于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。如何讓這樣的數(shù)學(xué)教育目標(biāo)落地生根，已成為一線教師思考和探索的熱門話題。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者嘗試以數(shù)學(xué)表達(dá)為突破口，著力于探索發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐范式。

一、數(shù)學(xué)表達(dá)的內(nèi)涵和價(jià)值

所謂數(shù)學(xué)表達(dá)，就是用動(dòng)作、口語或書面（圖像、符號(hào)、文字等）的形式描述展示數(shù)學(xué)知識(shí)技能、思維過程、思想方法、問題解決等的一種行為。數(shù)學(xué)表達(dá)以數(shù)學(xué)交流和傳播為目的，以數(shù)量關(guān)系和空間形式為內(nèi)容，以數(shù)學(xué)語言（圖像語言、符號(hào)語言、文字語言）為工具，以動(dòng)作、口語、神情或書寫為媒介。

數(shù)學(xué)表達(dá)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)。通過數(shù)學(xué)表達(dá)，可以幫助學(xué)生不斷建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，強(qiáng)化數(shù)學(xué)技能的掌握，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、運(yùn)算、推理、驗(yàn)證等思維過程以及數(shù)學(xué)問題解決的思路方案，是聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的有效實(shí)踐范式。

數(shù)學(xué)表達(dá)，可以改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生態(tài)，讓學(xué)生從被動(dòng)的聽講、做題、訂正、大量做題，到主動(dòng)的觀察、操作、思維、表達(dá)、交流與反思，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從知識(shí)技能訓(xùn)練上升到數(shù)學(xué)文化交流的層面。這個(gè)過程有助于學(xué)生自我反思、自我完善、自我評(píng)價(jià)和自我提升，在比較輕松的環(huán)境氛圍中深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活掌握數(shù)學(xué)技能，不斷提升數(shù)學(xué)思維能力和品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力。

數(shù)學(xué)表達(dá)，可以改善教師的數(shù)學(xué)教學(xué)生態(tài)，讓教師從繁重瑣碎的講解、練習(xí)、批改和輔導(dǎo)中解脫出來，更具智慧地傾聽、點(diǎn)撥、激勵(lì)和指導(dǎo)，真正地以學(xué)生為主體。這個(gè)過程有助于教師更多地從學(xué)生視角思考教學(xué)，及時(shí)把握學(xué)生的思維狀態(tài)、生成狀態(tài)，及時(shí)了解學(xué)生，讀懂學(xué)生，研究學(xué)生，及時(shí)采取有效措施進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)，錘煉更靈活的動(dòng)態(tài)調(diào)整和即時(shí)應(yīng)答的教學(xué)智慧，有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的更好發(fā)展。

數(shù)學(xué)表達(dá)，可以改善課堂的教學(xué)相長(zhǎng)生態(tài)。數(shù)學(xué)課堂是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的教學(xué)相長(zhǎng)的重要載體，通過重建“數(shù)學(xué)問題情境—個(gè)體嘗試性表達(dá)—集體完善性表達(dá)—實(shí)踐應(yīng)用性表達(dá)—總結(jié)拓展性表達(dá)”的數(shù)學(xué)表達(dá)課堂，可以讓數(shù)學(xué)課堂更具智慧生成性和互動(dòng)發(fā)展性。

數(shù)學(xué)表達(dá)，可以改善課程的動(dòng)態(tài)發(fā)展生態(tài)，讓數(shù)學(xué)課程從國家規(guī)定、教材編定、師生執(zhí)行的固定不變狀態(tài)，變成師生共同開發(fā)、不斷進(jìn)行資源整合的多元化動(dòng)態(tài)發(fā)展?fàn)顟B(tài)，為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展搭建更有利的平臺(tái)。

二、數(shù)學(xué)表達(dá)的實(shí)踐策略

（一）動(dòng)作表達(dá)：在直觀中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

動(dòng)作表達(dá)，可以通過運(yùn)動(dòng)、動(dòng)手操作或數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，積累感性經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生直觀想象能力，融通感性和理性的通道，達(dá)到認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)的目的，讓學(xué)生有一種豁然開朗的感覺。

1.動(dòng)作演示，直觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以有意識(shí)地將數(shù)學(xué)書面表達(dá)的內(nèi)容轉(zhuǎn)換成動(dòng)作表達(dá)，轉(zhuǎn)換成生動(dòng)有趣的動(dòng)作表演或演示，讓學(xué)生在積極體驗(yàn)中認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)。

例如在《平移和旋轉(zhuǎn)》的教學(xué)中，學(xué)生在觀察生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象后不僅要學(xué)會(huì)用口語來描述，還應(yīng)該學(xué)會(huì)用手勢(shì)來表達(dá)平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。在《認(rèn)識(shí)方向》的教學(xué)中，筆者讓學(xué)生來到學(xué)校操場(chǎng)，站立，面向早晨冉冉升起的太陽，一邊做動(dòng)作操一邊說：“前面是東，后面是西，左面是北，右面是南?！比缓箅S意變換方向，讓學(xué)生繼續(xù)邊做動(dòng)作操邊說。學(xué)生在輕松愉悅的自編自做的動(dòng)作操中認(rèn)識(shí)了生活中的東南西北，理解了東南西北方向的穩(wěn)定性和前后左右的相對(duì)性。

2.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，直觀理解數(shù)學(xué)

學(xué)生受認(rèn)知水平的限制，在一定年齡階段很難從理性上深刻認(rèn)識(shí)和理解某些數(shù)學(xué)知識(shí)，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，從感性層面讓學(xué)生進(jìn)行直觀的認(rèn)識(shí)和理解可能會(huì)更好。例如，讓小學(xué)六年級(jí)學(xué)生從理性層面理解“在周長(zhǎng)一定的情況下，圓的面積最大”比較困難，這時(shí)就可以做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。讓學(xué)生用同一根繩子先后圍成一個(gè)三角形、一個(gè)長(zhǎng)方形、一個(gè)正方形、一個(gè)五邊形、一個(gè)六邊形、一個(gè)圓形，學(xué)生一邊圍一邊觀察，就會(huì)直觀感受到圍的面積越來越大，圍成圓后，再也無法圍成面積更大的圖形了，較輕松地理解了“在周長(zhǎng)一定的情況下，圓的面積最大?！痹偃?，利用天平做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生直觀理解1千克鐵和1千克棉花一樣重。在天平左邊放1千克鐵，在天平右邊放1千克棉花，觀察天平是否仍然保持平衡。類似的，還可以利用天平做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生直觀理解等式的性質(zhì)，天平平衡后在兩邊加入或拿走同樣重的砝碼，觀察天平是否仍然保持平衡，從而直觀理解等式的性質(zhì)：在等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍然是等式。

（二）口語表達(dá)：在言說中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

讓學(xué)生講給別人聽，往往比聽別人講更高效，學(xué)生能言說到什么程度，常常說明了他們的理解程度。因此，讓學(xué)生用口語來表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解，是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和策略。

1.動(dòng)作口語化表達(dá)

在《軸對(duì)稱圖形》的教學(xué)中，筆者讓學(xué)生先觀察生活中的對(duì)稱現(xiàn)象，折線兩邊一模一樣，然后把軸對(duì)稱圖形進(jìn)行對(duì)折，在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)折線兩邊都能完全重合。這時(shí)，最好讓學(xué)生用口語把操作過程表達(dá)出來：“通過對(duì)折，折線兩邊能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對(duì)稱圖形。”

2.圖像口語化表達(dá)endprint

在《認(rèn)識(shí)方程》的教學(xué)中，筆者讓學(xué)生看圖1進(jìn)行說話，把每一幅圖的意思用口語表達(dá)出來：第1幅圖表示在天平的左邊放了x克正方體木塊和50克砝碼，在天平的右邊放了100克砝碼，發(fā)現(xiàn)天平向左邊傾斜，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，比100克砝碼重。第二幅圖表示把天平右邊的100克砝碼換成200克砝碼，結(jié)果發(fā)現(xiàn)天平向右邊傾斜，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，比100克砝碼輕。第三幅圖表示把天平右邊的200克砝碼換成100克砝碼和50克砝碼，結(jié)果發(fā)現(xiàn)天平平衡了，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，與右邊150克砝碼一樣重。學(xué)生能用口語表達(dá)出來下面三幅圖的意思，說明初步看懂并認(rèn)識(shí)了不等式和等式的本質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生分別用式子表示出三幅圖表達(dá)的意思，學(xué)生就能很快寫出：x+50>100，x+50<200，x+50=150。

3.符號(hào)口語化表達(dá)

數(shù)學(xué)教材中很多符號(hào)表達(dá)式需要通過口語化表達(dá)來解讀，才能被更多學(xué)生所理解和接受。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式進(jìn)行解讀，讓他們明白蘊(yùn)含其中的本質(zhì)內(nèi)涵。例如，s=vt表示“路程=速度×?xí)r間”，還表示“路程一定，速度和時(shí)間成反比；速度一定，路程和時(shí)間成正比；時(shí)間一定，路程和速度成正比?！盿+b=b+a表示加法交換律，即“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變?！?/p>

（三）書面表達(dá)：在表征中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生把生活現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，用圖像、符號(hào)或文字表達(dá)出來，有助于學(xué)生在多元表征中認(rèn)識(shí)、理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)。

1.圖像表達(dá)，在直觀表征中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

用圖像表達(dá)可以把抽象的數(shù)學(xué)直觀形象化，易于理解和掌握。這里的圖像既可以是實(shí)物圖，也可以是示意圖、統(tǒng)計(jì)圖、流程圖、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖或思維導(dǎo)圖等等。我們可以根據(jù)實(shí)際需要，靈活選擇合適的表達(dá)方式，如算理可以選擇實(shí)物圖或示意圖表達(dá)。圖2即是用實(shí)物圖和計(jì)數(shù)器兩種圖像表示45+3。

我們還可以選擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)現(xiàn)連點(diǎn)成線，連線成面，連面成體。在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步從零散走向聯(lián)系，從碎片走向系統(tǒng)，從而打通數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)化建構(gòu)，便于他們?cè)谝院笙嚓P(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活實(shí)踐中靈活提取和綜合應(yīng)用。

例如，學(xué)生學(xué)完“三角形”以后，筆者引導(dǎo)他們作一些梳理。圖3可以清晰看出，學(xué)生從三角形的角、邊、高三個(gè)緯度出發(fā)，每一個(gè)緯度又可分成“特點(diǎn)、規(guī)律、分類、作圖” 等多個(gè)方面，多維度、網(wǎng)絡(luò)化、立體式建構(gòu)三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。學(xué)生以后再學(xué)習(xí)三角形的相關(guān)知識(shí)（如初中學(xué)習(xí)全等三角形和相似三角形、三角函數(shù)等）也會(huì)自然從這些緯度進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，不斷充實(shí)完善三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。同時(shí)，學(xué)生在遇到三角形方面的實(shí)際問題時(shí)，也會(huì)自然從這些緯度靈活提取相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，綜合運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問題?？梢?，圖3不僅僅是三角形知識(shí)結(jié)構(gòu)的全面整理，更是學(xué)生對(duì)三角形全面再認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)整理。

2.符號(hào)表達(dá)，在符號(hào)表征中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一個(gè)符號(hào)系統(tǒng)，符號(hào)既是數(shù)學(xué)的語言，也是數(shù)學(xué)的工具，更是數(shù)學(xué)的方法。符號(hào)的認(rèn)識(shí)和使用貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，學(xué)生從認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)開始，經(jīng)歷表征數(shù)學(xué)符號(hào)的意義和結(jié)構(gòu)，使用數(shù)學(xué)符號(hào)解決數(shù)學(xué)和生活實(shí)際問題，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和表達(dá)交流，形成數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的過程。

用符號(hào)表達(dá)可以分為三個(gè)階段。

第一階段：符號(hào)認(rèn)知階段。具體表現(xiàn)為能認(rèn)識(shí)符號(hào)，理解符號(hào)所表示的數(shù)學(xué)含義和結(jié)構(gòu)；能使用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型；能解釋符號(hào)所表示的數(shù)學(xué)含義和結(jié)構(gòu)。

義務(wù)教育階段，學(xué)生需要認(rèn)識(shí)和理解的數(shù)學(xué)符號(hào)主要有：（1）數(shù)字符號(hào)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。（2）字母符號(hào)：S（面積）、h（高）、s（路程）、v（速度）t（時(shí)間）等等。（3）關(guān)系符號(hào)：>、<、=、≈、≠、≥、≤、⊥、∥、≌、∽等等。（4）運(yùn)算符號(hào)：+、-、×、÷ 等等。（5）分類符號(hào)：（ ）、[ ]、{ }等等。（6）單位符號(hào)：km、m、dm、cm、mm、㎡、t、kg、g、℃、%等等。（7）定義符號(hào)：∠1、△ABC、∣-3∣、（1，2）等等。

每種數(shù)學(xué)符號(hào)都有它特定的數(shù)學(xué)含義、使用規(guī)則和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)生首先要逐步認(rèn)識(shí)各種類型的數(shù)學(xué)符號(hào)，理解并能解釋各種數(shù)學(xué)符號(hào)所表示的數(shù)學(xué)含義，符號(hào)與符號(hào)之間的內(nèi)在聯(lián)系，符號(hào)的使用規(guī)則和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，為正確使用符號(hào)做好準(zhǔn)備。使用符號(hào)表示數(shù)，這里的數(shù)，既可以是某個(gè)未知數(shù)，也可以是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)，還可以是不斷變化的數(shù)；用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，可以是代數(shù)式、方程、不等式，也可以是數(shù)學(xué)公式、函數(shù)關(guān)系式等數(shù)學(xué)模型。

符號(hào)表征不僅表現(xiàn)在能正確認(rèn)識(shí)、理解和使用數(shù)學(xué)符號(hào)，還表現(xiàn)在能正確解釋符號(hào)所表示的數(shù)學(xué)含義和結(jié)構(gòu)。如x在方程中表示未知數(shù)，在函數(shù)中則表示自變量；（4，6）既可以表示點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以表示求4和6的最大公因數(shù)；a+b=b+a表示加法交換律等等。學(xué)生要能夠根據(jù)數(shù)學(xué)背景正確解釋符號(hào)所表示的數(shù)學(xué)含義和結(jié)構(gòu)。

第二階段：符號(hào)操作階段。具體表現(xiàn)為掌握符號(hào)的使用規(guī)則和操作程序，使用符號(hào)進(jìn)行形式運(yùn)算和推理，作出判斷，知道得到的結(jié)論具有一般性。如根據(jù)等式的性質(zhì)解方程或進(jìn)行公式變形等等。使用符號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的過程，就是一個(gè)推理過程，最簡(jiǎn)單的如a>b，b>c，則a>c。

第三階段：符號(hào)思維階段。具體表現(xiàn)為能自覺主動(dòng)、自動(dòng)化使用符號(hào)和表達(dá)式進(jìn)行思考和交流，把符號(hào)作為發(fā)現(xiàn)和解決問題的工具，用“代數(shù)”的眼光看待社會(huì)生活現(xiàn)象，進(jìn)行綜合實(shí)踐與創(chuàng)新，形成符號(hào)的思維方式和表達(dá)交流意識(shí)。

3.文字表達(dá)，在文字表征中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)要通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象而抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征，形成數(shù)學(xué)概念、命題、結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)。因此，學(xué)生能夠科學(xué)規(guī)范地使用數(shù)學(xué)術(shù)語，表達(dá)數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)內(nèi)容，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)高的重要標(biāo)志。endprint

4.綜合表達(dá)，在多元表征中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

綜合運(yùn)用圖像、符號(hào)、文字進(jìn)行多元化靈活性的數(shù)學(xué)表達(dá)，有利于幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)各種表達(dá)方式之間的靈活轉(zhuǎn)換，逐步學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際情況和需要選擇運(yùn)用合適的表達(dá)方式，發(fā)展學(xué)生開放靈活的綜合性思維。

例如24+18的計(jì)算過程可以用三種表征方式，表達(dá)如下：

數(shù)學(xué)表達(dá)，從內(nèi)容層面，聚焦于數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析；從思想層面，聚焦于數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)模型；從文化層面，聚焦于數(shù)學(xué)作為科學(xué)語言的文化交流和推動(dòng)人類社會(huì)發(fā)展進(jìn)步的功能。數(shù)學(xué)表達(dá)，真正讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地生根。

責(zé)任編輯：宣麗華

Abstract： Mathematics expression is an important practical paradigm for the development of students mathematics core accomplishments， and it can improve students learning ecology， teachers teaching ecology， classroom teaching ecology and curriculum dynamic developmental ecology. Action， oral and written expressions can help students constantly construct their understanding of mathematics knowledge and reinforce their mastery of mathematics skills. Meanwhile， presentation of such thinking process as mathematics observation， experiment， guess， operation， reasoning and testing can help them form and develop their mathematics core accomplishments.

Key words： mathematics expression； practical paradigm； mathematics core accomplishmentendprint