對《選修1-1》里面《圓錐曲線》一章的修改建議*—從課本的一些瑕疵說起

廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)(526100) 程華生

在學(xué)生眼里,高中數(shù)學(xué)課本非常權(quán)威,非常完美,課本上的都是真理,但是現(xiàn)實(shí)中的課本,還是有些瑕疵的.

例如：人民教育出版社2007年2月第3版、2015年7月第17次印刷的《高中數(shù)學(xué)選修1-1課本》第57頁的上面給出的拋物線的定義,就是有漏洞、有瑕疵、甚至可以說是錯誤的.

該定義的原文是：我們把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(parabola).點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

在此,我要問：如果點(diǎn)F在直線l上,軌跡還是拋物線嗎?答案是：不是的.

舉例：

(1)問題：已知定點(diǎn)F(0,0),定直線l:x=0,試問平面內(nèi)與定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么?

答案：軌跡是一條直線,此直線的方程是：y=0.

(2)問題：已知定點(diǎn)F(0,0),定直線l:y=0,試問平面內(nèi)與定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么?

答案：軌跡是一條直線,此直線的方程是：x=0.

可見課本上面給出的拋物線的定義,是有漏洞、有瑕疵、甚至可以說是錯誤的.

既然如此,那就需要修改、完善.怎么修改呢,在原定義里面加入限制條件：點(diǎn)F不在直線l上.

完美無缺的定義如下：

我們把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(點(diǎn)F不在直線l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(parabola).點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

再舉一個例子.

例如：人民教育出版社2007年2月第3版、2015年7月第17次印刷的《高中數(shù)學(xué)選修1-1課本》第45頁的下面給出雙曲線的定義,就是有漏洞、有瑕疵、甚至可以說是錯誤的.該定義的原文是：我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(hyperbola),這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

在此,我要問：如果該“常數(shù)”的值為0,軌跡還是雙曲線嗎?答案是：不是的.

舉例：

(1)問題：已知平面內(nèi)有定點(diǎn)F1(-3,0),F2(3,0),試問平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)0的點(diǎn)的軌跡是什么?

答案：軌跡是一條直線,此直線的方程是：x=0.

(2)問題：已知平面內(nèi)有定點(diǎn)F1(0,3),F2(0,-3),試問平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)0的點(diǎn)的軌跡是什么?

答案：軌跡是一條直線,此直線的方程是：y=0.

可見課本上面給出的雙曲線的定義,是有漏洞、有瑕疵、甚至可以說是錯誤的.

既然如此,那就需要修改、完善.怎么修改呢,設(shè)“常數(shù)”為2a,在原定義里面加入限制條件：0＜2a＜|F1F2|.

完美無缺的定義如下：

我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(0＜2a＜|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(hyperbola),這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

為了廣大學(xué)生能夠吃透橢圓、雙曲線、拋物線的定義,我專門命制了兩道例題.

例1 在平面直角坐標(biāo)系中,有F1(-5,0),F2(5,0)兩個定點(diǎn),P為動點(diǎn),分別求出滿足下列條件的動點(diǎn)P的軌跡方程,并且說明動點(diǎn)P的軌跡是什么圖形?

(1)|PF1|+|PF2|=26

解：

滿足橢圓的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡是橢圓,F1(-5,0),F2(5,0)是橢圓的焦點(diǎn),c=5.

解得

則動點(diǎn)P的軌跡方程為

(2)|PF1|+|PF2|=10

解：

不滿足橢圓的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡不是橢圓,經(jīng)過分析,動點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(3)|PF1|+|PF2|=9

解：滿足條件的動點(diǎn)P不存在.

解：0＜8＜10=|F1F2|,滿足雙曲線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線,F1(-5,0),F2(5,0)是雙曲線的焦點(diǎn),c=5.

解得

則動點(diǎn)P的軌跡方程為

(5)|PF1|-|PF2|=8

(6)|PF2|-|PF1|=8

解：

不滿足雙曲線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線,經(jīng)過分析,滿足條件的動點(diǎn)P不存在.

解：

不滿足雙曲線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線,經(jīng)過分析,動點(diǎn)P的軌跡是兩條射線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(9)|PF1|-|PF2|=10

解：和第(8)小題相比,條件里面少了絕對值符號,所以動點(diǎn)P的軌跡不是兩條射線,經(jīng)過分析,動點(diǎn)P的軌跡是一條射線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(10)|PF2|-|PF1|=10

解：和第(8)小題相比,條件里面少了絕對值符號,所以動點(diǎn)P的軌跡不是兩條射線,經(jīng)過分析,動點(diǎn)P的軌跡是一條射線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(11)|PF1|-|PF2|=0

解：由|PF1|-|PF2|=0可得：|PF1|=|PF2|,由線段的垂直平分線的定義可知,動點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的垂直平分線,是一條直線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：.

例2 在平面直角坐標(biāo)系中,有一個定點(diǎn)F(5,0),

(1)求到定點(diǎn)F(5,0)和定直線x=-5的距離相等的動點(diǎn)P的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形.

解：定點(diǎn)F(5,0)不在定直線x=-5上,滿足拋物線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡是拋物線,經(jīng)過分析,拋物線應(yīng)該開口朝右,方程為

(2)求到定點(diǎn)F(5,0)和定直線x=5的距離相等的動點(diǎn)P的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形.

解：定點(diǎn)F(5,0)在定直線x=5上,不滿足拋物線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡不是拋物線,而是一條直線,是一條過點(diǎn)F(5,0),同時還和直線x=5垂直的直線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

另外,我還命制了兩道練習(xí)題,供學(xué)生動筆練一練,有助于更好地鞏固這個知識點(diǎn).

練習(xí)題1 在平面直角坐標(biāo)系中,有F1(0,4),F2(0,-4)兩個定點(diǎn),P為動點(diǎn),分別求出滿足下列條件的動點(diǎn)P的軌跡方程,并且說明動點(diǎn)P的軌跡是什么圖形.

(1)|PF1|+|PF2|=10;

(2)|PF1|+|PF2|=8;

(3)|PF1|+|PF2|=7;

(5)|PF1|-|PF2|=6;

(6)|PF2|-|PF1|=6;

(9)|PF1|-|PF2|=8;

(10)|PF2|-|PF1|=8;

(11)|PF1|-|PF2|=0.

練習(xí)題2 在平面直角坐標(biāo)系中,有一個定點(diǎn)F(0,4).

(1)求到定點(diǎn)F(0,4)和定直線y=-4的距離相等的動點(diǎn)P的軌跡方程,并說明動點(diǎn)P軌跡是什么圖形.

(2)求到定點(diǎn)F(0,4)和定直線y=4的距離相等的動點(diǎn)P的軌跡方程,并說明動點(diǎn)P軌跡是什么圖形.

學(xué)生做完練習(xí)題后,自行核對答案,參考答案如下：

練習(xí)題1：

(1)解：

滿足橢圓的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡是橢圓,F1(0,4),F2(0,-4)是橢圓的焦點(diǎn),c=4.

解得

則動點(diǎn)P的軌跡方程為

(2)解：

不滿足橢圓的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡不是橢圓,動點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(3)解：滿足條件的動點(diǎn)P不存在.

(4)解：

滿足雙曲線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線,F1(0,4),F2(0,-4)是雙曲線的焦點(diǎn),c=4.

解得

則動點(diǎn)P的軌跡方程為

(7)解：

不滿足雙曲線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線,經(jīng)過分析,滿足條件的動點(diǎn)P不存在.

(8)解：

不滿足雙曲線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線,經(jīng)過分析,動點(diǎn)P的軌跡是兩條射線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(9)解：和第(8)小題相比,條件里面少了絕對值符號,所以動點(diǎn)P的軌跡不是兩條射線,動點(diǎn)P的軌跡是一條射線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(10)解：和第(8)小題相比,條件里面少了絕對值符號,所以動點(diǎn)P的軌跡不是兩條射線,動點(diǎn)P的軌跡是一條射線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(11)解：由|PF1|-|PF2|=0可得：|PF1|=|PF2|,由線段的垂直平分線的定義可知,動點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的垂直平分線,是一條直線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：

練習(xí)題2：

(1)解：定點(diǎn)F(0,4)不在定直線y=-4上,滿足拋物線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡是拋物線,經(jīng)過分析,拋物線開口朝上,方程為

動點(diǎn)P的軌跡方程為：

(2)解：定點(diǎn)F(0,4)在定直線y=4上,不滿足拋物線的定義,所以動點(diǎn)P的軌跡不是拋物線,而是一條直線,是一條過點(diǎn)F(0,4),同時還和直線y=4垂直的直線,動點(diǎn)P的軌跡方程為：