數(shù)學(xué)眼光看世界—《不等關(guān)系與不等式》課堂實(shí)錄

浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山中學(xué)(315191) 李烽

這節(jié)課是筆者參加教壇新秀比賽時(shí)的參賽課,設(shè)計(jì)意圖是通過故事化的情境引入,體驗(yàn)生活中的不等關(guān)系,點(diǎn)出用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看世界這樣的一個(gè)主題,引領(lǐng)學(xué)生感受“數(shù)學(xué)是自然的,數(shù)學(xué)是有用的”這一基本理念.課后得到了評(píng)委老師的好評(píng),本文將教學(xué)過程做一整理,以拋磚引玉,請(qǐng)各位專家同行指正.

一、教學(xué)分析

(一)教學(xué)目標(biāo)

1知識(shí)與技能

(1)感受生活中的不等關(guān)系,掌握用不等式表示不等關(guān)系的方法.

(2)能從實(shí)際情境的不等關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)不等式模型,并學(xué)會(huì)用不等式基本定理來(lái)比較大小.

2過程與方法

(1)通過阿凡提羊圈面積大小的具體情境引入,建立數(shù)學(xué)模型研究不等關(guān)系,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式性質(zhì),乃至運(yùn)用數(shù)學(xué)研究生活問題奠定良好的基礎(chǔ).

(2)讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),了解它們產(chǎn)生的背景、應(yīng)用,使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題,數(shù)學(xué)地解決問題,獲得不同的數(shù)學(xué)情感體驗(yàn).

3情感、態(tài)度與價(jià)值觀

(1)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又應(yīng)用于生活.體會(huì)數(shù)學(xué)的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的良好品質(zhì).

(2)讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)是清楚的,也是有用的,數(shù)學(xué)的魅力在于用簡(jiǎn)單的符號(hào)和簡(jiǎn)練的語(yǔ)言表示較為復(fù)雜的生活問題.

(二)教學(xué)重難點(diǎn)

1重點(diǎn)：用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系,用不等式(組)研究含有不等關(guān)系的問題.

2難點(diǎn)：用不等式(組)正確表示不等關(guān)系;用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)發(fā)現(xiàn)和研究生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象.

二、教學(xué)實(shí)錄

(一)創(chuàng)設(shè)情境,體驗(yàn)不等

課前準(zhǔn)備：播放背景音樂《阿凡提新傳》引入本課情境.

故事引入：巴依老爺家里有個(gè)40m×60m的矩形羊圈.阿凡提給巴依老爺放羊,羊越來(lái)越大,越來(lái)越多,羊圈裝不下羊了.阿凡提建議巴依老爺擴(kuò)大羊圈,可視財(cái)如命的巴依老爺不愿意多出做羊圈的柵欄,他讓阿凡提自己想辦法.聰明的阿凡提把羊圈改成了正方形,問題暫時(shí)解決了.閱讀這個(gè)故事,同學(xué)們?cè)跉J佩阿凡提的同時(shí),能否體會(huì)故事中所蘊(yùn)含的相等和不等關(guān)系?

生1：羊圈的柵欄數(shù)不變,即擴(kuò)建前后羊圈周長(zhǎng)一定,但面積卻有增加.

生2：矩形和正方形的周長(zhǎng)都是200m,但羊圈的面積卻從原來(lái)的2400m2增加到了2500m2.即長(zhǎng)寬分別為60米和40米的矩形面積小于邊長(zhǎng)為50米的正方形面積.

師：回答地很好.阿凡提改變羊圈形狀巧妙地解決了問題,讓我們體驗(yàn)到等周長(zhǎng)的矩形面積大小問題.其中的周長(zhǎng)滿足相等,面積表現(xiàn)為不等.等量與不等量關(guān)系是客觀世界的基本數(shù)量關(guān)系,也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容.本課將從數(shù)學(xué)角度來(lái)探索和闡述現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系.引出課題：數(shù)學(xué)眼光看世界——不等式關(guān)系與不等式.(板書)

設(shè)計(jì)意圖阿凡提的故事,同學(xué)們耳熟能詳,初中教材也曾用他來(lái)引入不等關(guān)系.老故事新說激發(fā)學(xué)生的興趣,引出主題.

師：哲學(xué)家告訴我們：相等是相對(duì)的,而不等是絕對(duì)的.不等關(guān)系充斥著我們的世界,那么同學(xué)們能否舉例說一說我們的身邊還有那些不等關(guān)系呢?

生3：班級(jí)里同學(xué)的生日有前后,身高有高低,衣服有大小.

生4：氣溫有高有低,房子也有高矮,超市里商品價(jià)格各不相同······

師：不錯(cuò),(打出視覺差距明顯的圖片)姚明和曾志偉的身高是不同的,胖與瘦的程度也是不同的,公路旁的限速牌提醒最高限速120km/h與最低限速60km/h表示不等關(guān)系,我國(guó)發(fā)射的嫦娥飛船奔月時(shí)的運(yùn)行速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間也表示不等關(guān)系.

師：不等關(guān)系不但在我們的自然社會(huì)中無(wú)處不在,在詩(shī)詞文化中也常能見到它們的身影.如：橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同.停車坐愛楓林晚,霜葉紅于二月花.桃花潭水深千尺,不及汪倫送我情······請(qǐng)同學(xué)們欣賞以上古詩(shī)詞,你能體會(huì)每一句古詩(shī)中蘊(yùn)涵的不等關(guān)系嗎?這樣的不等關(guān)系又是通過哪些詞來(lái)得以體現(xiàn)的?

生5：第一句是講各個(gè)角度看山景,景色各不相同,通過“不同”來(lái)體現(xiàn);第二句是將楓葉與二月之花進(jìn)行比較,通過“紅于”來(lái)體現(xiàn);第三句是將桃花潭的深度與朋友間的友情進(jìn)行比較,通過“不及”來(lái)體現(xiàn).

師：概括地非常好,這三個(gè)詞語(yǔ)反映出了事物間的不等關(guān)系.那么剛才老師提到的最高限速120km/h與最低限速60km/h的不等關(guān)系你能找到合適的詞來(lái)反映嗎?

眾生：不超過120km/h與不低于60km/h.

師：這里的不超過與不低于對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)符號(hào)“≤”和“≥”,它們是由英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特(T.Harriot)于1631年開始使用.并逐漸被現(xiàn)代數(shù)學(xué)界接受成為一種標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)用符號(hào).除此之外還有“＜”“＞”“/=”,用這些不等號(hào)連接起來(lái)表示不等關(guān)系的式子稱為不等式.同學(xué)們能用不等式來(lái)表示以下不等關(guān)系么?

今天的天氣預(yù)報(bào)說：明天早晨最低溫度為2°C,明天白天的最高溫度為12°C;

三角形ABC的兩邊之和大于第三邊.

生6：用t來(lái)表示明天的氣溫,則有：2°C≤t≤12°C.

生 7：AB+AC＞BC.

設(shè)計(jì)意圖從自然與人文兩個(gè)角度感受不等關(guān)系處處存在,以數(shù)學(xué)史為過渡,嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示不等關(guān)系,生活問題數(shù)學(xué)化.

(二)學(xué)生活動(dòng),建模不等

師：同學(xué)們已初步掌握用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示生活中的不等關(guān)系.在課初的阿凡提羊圈問題中我們是基于2500大于2400這一事實(shí)而做出直觀的判斷：周長(zhǎng)200m的矩形中正方形的面積大.并可通過不同數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證,那能不能從數(shù)學(xué)角度來(lái)證明這個(gè)問題的正確性?

眾生：可以,只要設(shè)定長(zhǎng)寬,進(jìn)行圖形面積的差值比較······

師：很好,一般地,兩實(shí)數(shù)的大小可通過作差來(lái)比較.我們稱之為不等式基本定理：

師：請(qǐng)同學(xué)們自己在草稿紙上設(shè)立相應(yīng)的數(shù)據(jù)背景,解決問題,而后進(jìn)行交流展示,議一議你對(duì)這個(gè)猜想的解決方法.

師：所以不難得到S1＜S2?S2＞S1,稱之為不等式的對(duì)稱性.

生10：設(shè)矩形周長(zhǎng)為2L,長(zhǎng)為x,則面積

師：不錯(cuò)哦,同學(xué)們還發(fā)現(xiàn)了不等關(guān)系在函數(shù)最值中的應(yīng)用.若過了一段時(shí)間,正方形羊圈依舊不夠用了,你能給阿凡提出出主意.并從數(shù)學(xué)角度分析你的理由嗎?

眾生：改成圓形······

師：能從數(shù)學(xué)角度分析你的理由嗎?

······短暫的演算后

師：很好!我們剛剛驗(yàn)證了生活中等周長(zhǎng)前提下三類圖形面積的大小問題,從研究中不難得到一種傳遞的事實(shí)：

稱之為不等式的傳遞性.

設(shè)計(jì)意圖說一說,做一做,議一議,在學(xué)生活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)不等式基本性質(zhì)的自然生成.

(三)類比鏈接,濡化不等

師：老師這里還有幾個(gè)疑問,疑問一：正方形羊圈依舊不夠用了,是不是非得改成圓形呢?如正五邊形、正六邊形是否可以?等周長(zhǎng)的平面圖形中是不是圓形的面積最大呢?

生：······(陷入沉思)在周長(zhǎng)一定的前提下它們的面積應(yīng)該有大小.

師：這個(gè)問題解決起來(lái)有一定的難度,可以通過小組合作討論,上網(wǎng)查閱相關(guān)的資料的方式做成一份探究課題.

師：疑問二：平面圖形面積大小的結(jié)論是否能類比到立體圖形(空間幾何體)呢?

短暫的沉默后,個(gè)別同學(xué)小聲回答：球體的體積應(yīng)該能實(shí)現(xiàn)最大化.

師：球體體積的最大化應(yīng)該以什么為前提?

生12：可以猜想：等表面積的立體圖形中,長(zhǎng)方體的體積＜立方體體積＜球形的體積.

師：疑問三：大家都吃過蘋果、桔子,為什么自然界中很多水果外形為近似球體?

眾生：等表面積的空間幾何體中,球形的體積最大.

師：自然是最好的老師,同學(xué)們?cè)谏钪刑幪幜粜?相信能有更多地發(fā)現(xiàn).數(shù)學(xué)無(wú)處不在!這里關(guān)于水果外形為球體的原因老師事先問了“度娘”,她是這么跟我說的······

知識(shí)鏈接：植物學(xué)家告訴我······,原來(lái),水果把自己長(zhǎng)成“圓”的,是為了最大限度地“縮小”自己的外表.從外表“縮小”自己,那是一種內(nèi)心的智慧和強(qiáng)大.

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)來(lái)自生活的體驗(yàn),在知識(shí)的自然生成中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)哲理,鼓勵(lì)同學(xué)用數(shù)學(xué)的眼光看世界.

(四)小結(jié)歸納,收獲不等

師：請(qǐng)同學(xué)來(lái)談一談這節(jié)課的收獲與體會(huì)······

生13：這節(jié)課我們研究了不同形狀的平面圖形面積大小關(guān)系,并將它類比到空間幾何體的體積大小問題.自然界的大部分果實(shí)形狀給了我們最好的解答.

生14：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了生活中的不等關(guān)系,并用不等式來(lái)反應(yīng)不等關(guān)系,用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究生活中的不等問題.

生15：在證明的過程中我們要設(shè)立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)數(shù)據(jù)背景,通過作差比較的方法來(lái)得到相應(yīng)量的大小,不等式基本定理是我們解決不等問題的基本出發(fā)點(diǎn).

生16：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活的發(fā)現(xiàn),我們的生活的環(huán)境中充斥著數(shù)學(xué),做一個(gè)有心人,勤思善問,用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),從而更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)生活實(shí)踐.

師：歸納得很好!數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,不等關(guān)系更多的是從具體情景中抽象出來(lái)的,這是重要的數(shù)學(xué)建模意識(shí);數(shù)學(xué)是清楚的,也是有用的,數(shù)學(xué)的魅力在于用簡(jiǎn)單的符號(hào)和簡(jiǎn)練的語(yǔ)言表示較為復(fù)雜的問題.從不等關(guān)系產(chǎn)生的背景、形成、應(yīng)用中,我們可以清楚地看出它與其他知識(shí)的聯(lián)系,符號(hào)化的觀念要根植于我們心中.老師用一首打油詩(shī)概括本節(jié)課的內(nèi)容：等與不等關(guān)系,數(shù)學(xué)建模聯(lián)系;比差等價(jià)轉(zhuǎn)化,看看誰(shuí)與高低.

(五)課外布置,拓展不等

四人小組合作,選擇以下兩個(gè)任務(wù)中的一個(gè)為研究方向展開工作.

任務(wù)1 數(shù)據(jù)分析,形成報(bào)告：周長(zhǎng)一定的平面圖形中,圓形的面積最大.(盡可能多地考慮正多邊形類型)

任務(wù)2 “糖水加糖變甜了”.以這一生活常識(shí)為背景,從糖水濃度出發(fā),通過比較其大小提煉出一個(gè)數(shù)學(xué)命題,然后給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.并將此問題拓展,會(huì)有怎樣的數(shù)學(xué)創(chuàng)造結(jié)果.

示例1 將3杯濃度相同的糖水混合成一大杯后,濃度如何變化?

示例2 兩杯濃度不同的糖水混合成一大杯,大杯糖水的濃度與前兩杯的濃度關(guān)系如何?

示例3 有4杯糖水,第1杯比第3杯濃,第2杯比第4杯濃,把第1、2杯混合成甲杯、把第3、4杯混合成乙杯,問甲、乙兩杯哪杯糖水較濃?

三、教學(xué)反思

本課是必修5第三章不等式第一節(jié)不等關(guān)系的第一課時(shí),課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的感受、體驗(yàn),認(rèn)識(shí)狀況及理解程度,注意問題情境、實(shí)際背景的設(shè)置,力求形式新穎、內(nèi)容有趣、應(yīng)用性強(qiáng).

學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中,對(duì)不等關(guān)系已有一定的了解,新課的知識(shí)難度并不大.因而在設(shè)計(jì)本課之初我選了“數(shù)學(xué)眼光看世界”為課題,側(cè)重點(diǎn)在于帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)生活中的不等關(guān)系,用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)和理解生活中看似理所當(dāng)然的問題.

情境預(yù)設(shè)為趣：情境引入中先播放流行歌曲《阿凡提新傳》,并以故事形式引出阿凡提的羊圈面積問題,調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)于本課的學(xué)習(xí)興趣,達(dá)到“暖場(chǎng)”的效果.通過畫面對(duì)比強(qiáng)烈的PPT圖片從生活、科技、古詩(shī)詞等方方面面讓學(xué)生感受豐富的不等關(guān)系.

問題引領(lǐng)為疑：課中通過平面圖形面積大小問題的學(xué)生活動(dòng)讓學(xué)生說一說、做一做、議一議,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力,既呼應(yīng)課前的情境,又強(qiáng)化了數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的運(yùn)用能力.即從實(shí)際問題中用數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯、提煉出問題本質(zhì),構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,同時(shí)對(duì)于不等式基本定理和不等式的兩點(diǎn)性質(zhì)的獲得水到渠成.

情感體驗(yàn)為真：本課的設(shè)計(jì)還涉及不等式的數(shù)學(xué)史教學(xué),感受數(shù)學(xué)別樣的人文文化;由自然界的水果外形而升華到為人處世的數(shù)學(xué)哲學(xué),讓學(xué)生有多樣的課堂體驗(yàn).最后的拓展作業(yè),目的是將本課的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)延展到課外,建立與不等式性質(zhì)探求課題的聯(lián)系,嘗試用所學(xué)知識(shí)探究世界,建立起學(xué)生自體的數(shù)學(xué)新世界.

言傳身教不只是知識(shí)與技能的傳遞,更應(yīng)該是對(duì)學(xué)生的一種人文關(guān)懷,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)情感的濡化與共鳴.這正是課堂教學(xué)的魅力所在!