“讓學生愛上數學,探究數學本質”—對一節(jié)同課異構課《拋物線的簡單幾何性質》的反思

廣東省中山市桂山中學(528463) 佘海艷

一、引言

為提高教師專業(yè)發(fā)展水平,促進教師的交流,中山市部分中學數學老師們一起走進美麗的廣東省陽江市兩陽中學,參加了由廣東省教育廳、陽江市教育局主辦的《南粵名師大講堂—走進陽江》系列活動.吳老師首先提出他的觀點：“讓學生愛上數學,探究數學本質,和數學談一場戀愛,而不是讓學生討厭數學,成為‘題奴’.”希望各位老師注重培養(yǎng)學生數學價值觀,培養(yǎng)學生對數學學科的立場、觀念的心理傾向和認識,特別是認識到數學的科學價值、應用價值和文化價值,感受到數學的獨特之美.

接下來,吳老師與兩陽中學的某位老師現場上了一堂課：《拋物線的簡單幾何性質》.兩位老師以同課異構的教學形式,將審美觀賞、激發(fā)智慧、課堂機智、應用操作等方面一應俱全地呈現給聽課老師們.課堂精彩紛呈,掌聲不斷,讓老師們體會了教學之美,體會了兩位教師的不同風采.吳新華校長從學生學過的內容進行類比,注重引導學生發(fā)揮數學智慧,用不同的方法解決問題并總結出通用方法,給學生和老師們展示了數學的獨特魅力.

二、課堂觀察,課例評析

第一堂課,老師首先復習上節(jié)課所學的拋物線的方程,讓學生主動將下面的表格補充完整.

表1

這節(jié)課主要采用小組合作的教學方法,教師提問：類比橢圓、雙曲線的幾何性質,拋物線又會有怎樣的幾何性質?小組討論后解決以下問題.

1.范圍 因為p＞0,由方程y2=2px(p＞0)這條拋物線上任意一點M的坐標(x,y)滿足等式.所以這條拋物線在y軸的____側;當x的值增大時,|y|也____,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸,它開口___.

2.對稱性 以-y代y,方程y2=2px(p＞0)不變,因此這條拋物線是以x軸為對稱軸的軸對稱圖形,拋物線的對稱軸叫做拋物線的___.

3.頂點 拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的____.在方程y2=2px(p＞0)中,當y=0時,x=0,因此這條拋物線的頂點就是____.

4.離心率 拋物線上的點與焦點和準線的距離的比,叫做拋物線的____,用e表示,按照拋物線的定義,e=____.

學生分組合作交流,討論,得出結論后匯報成果,進行展示,然后集中探索.教師注重鼓勵學生,多引導學生間進行合作交流,培養(yǎng)合作學習的意識,體驗成功帶來的喜悅.著重培養(yǎng)學生分析、歸納等能力.

接下來小組探究兩個例題及其變式題,讓學生掌握幾何性質的應用：

例1 已知拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點,并且經過點,求它的標準方程.

例2 斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.

學生獨立思考,找一名學生板書,師生共同糾錯,形成結論,學生試述,教師補充強調.老師主要采用了合作探究的方法,充分發(fā)揮了學生的主動性.

第二堂課,吳老師主要采用講練結合,啟發(fā)式教學,引導學生類比探究得出拋物線的幾何性質并學習求焦點弦弦長的一些通用方法.首先,通過復習引入：

師：前幾節(jié)課我們都學習了哪幾種圓錐曲線?

生：我們已經學習了橢圓、雙曲線、拋物線.

師：我們是怎么研究圓錐曲線的呢?

生：根據他們的標準方程,得到了它們的簡單幾何性質.

師：上一節(jié)課,我們學習了拋物線的定義和標準方程,本節(jié)課,我們根據拋物線的標準方程來探索它的幾何性質.

設計意圖：通過類比前面所學的橢圓和雙曲線,來得到拋物線的性質,來激發(fā)學生的學習興趣,使學生快速進入課堂.

然后吳老師直奔主題,進行新課講授：

師：請同學們,類比橢圓和雙曲線,以y2=2px(p＞0)為例,觀察它的圖像,探索拋物線的簡單幾何性質,它的主要性質如下：

(1)范圍：x≥0,y∈R

(2)對稱性：關于x軸對稱

(3)頂點：坐標原點(0,0)

(4)離心率：e=1

師：請同學們思考能說拋物線是雙曲線的一支嗎?

生：不能,有性質得離心率不同,雙曲線的離心率e＞1,而拋物線的離心率為1,所以不能說拋物線是雙曲線的一支.

師：非常漂亮,你能自己思考得出不同曲線性質的本質區(qū)別嗎?

師生活動：教師讓學生類比橢圓和雙曲線的簡單幾何性質的推導方法,結合拋物線y2=2px(p＞0)的圖像,利用方程自己推導拋物線的幾何性質.

學生類比橢圓和雙曲線自己思考拋物線自己推導幾何性質,每一條幾何性質由一名學生代表回答推導的結論.

教師對學生的回答補充、完善,引導學生總結研究曲線性質的一般方法.

設計意圖：把問題留給學生,讓學生自主探索解決,培養(yǎng)學生獨立思考、自主學習的習慣,樹立學習的信心.

師：現在我們知道了y2=2px(p＞0)的幾何性質,那么其他三種標準性質y2=-2px(p＞0),x2=2py(p＞0),x2=-2py(p＞0)有哪些幾何性質呢?

師生活動：教師以x2=-2py(p＞0)為例,讓學生研究其幾何性質,檢驗學生掌握的情況,點評總結學生的回答.

學生自己獨立思考、推導,一名學生回答.

設計意圖：培養(yǎng)學生對類比思想的運用,發(fā)展學生的創(chuàng)新能力.

師：請同學們在同一坐標系中畫出下列拋物線的草圖,觀察拋物線的圖像有何特點：

結論：拋物線標準方程中的P越大,開口越開闊.

由圖像對比,學生和教師共同小結：

(1)拋物線只位于半個坐標平面內,雖然它也可以無限延伸,但是沒有漸近線;

(2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心;

(3)拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;

(4)拋物線的離心率是確定的,為1.

師：探究問題1：確定拋物線的方程需要幾個條件呢?

生：頂點坐標,焦點坐標或準線方程,已知其中兩個即可用待定系數法求出方程.

師：探究問題2：若一條直線和拋物線相較于A、B兩點,若AB垂直于拋物線的軸,它的長度為多少?你有幾種方法得到?

生：可以利用兩點間距離公式或者拋物線的幾何定義得出,長度為2P.

師：拓展通徑的定義：通過焦點且垂直對稱軸的直線與拋物線相交于兩點,連接這兩點的線段叫拋物線的通徑.

例1已知拋物線關于x軸對稱,他的頂點在坐標原點,并且經過點,求方程.

解因為拋物線關于x軸對稱,他的頂點在原點,并且經過點,所以可設他的標準方程為y2=2px(p≥0),因為點M在拋物線上,所以,即p=2,因此所求方程是y2=4x.

變式訓練：已知拋物線關于坐標軸對稱,它的頂點在坐標原點,并且經過,求它的標準方程.

拋物線的軸對學生的理解影響重大,通過變式讓學生注意到題干的細微區(qū)別對解題的影響,培養(yǎng)學生嚴謹的數學思維習慣.

例2如圖1,斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點,求線段AB的長.

先讓學生思考,類比求通徑長度的方法,如果AB不垂直于x軸,如何求弦長呢?

下面由學生代表展示他的方法：

圖1

解法1 如圖所示,由拋物線的標準方程可知,焦點F(1,0),準線方程x=-1.

由題可知,直線AB的方程為y=x-1

代入拋物線方程y2=4x,整理得：x2-6x+1=0

即A、B的坐標分別為

解法1直接計算兩點坐標,可以發(fā)現計算量較大,請學生繼續(xù)思考還有什么方法.

解法2 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,x1·x2=1

所以

解法2利用了韋達定理,設而不求,代入弦長公式,可以練習一般弦長的求法.

解法3 設A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線定義可知,|AF|等于點A到準線x=-1的距離|AA′|,即|AF|=|AA′|=x1+1,同理|BF|=|BB′|=x2+1

所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8.

這種解法巧妙地利用了拋物線的定義,轉化了長度.

解法4 設A(x1,y1),B(x2,y2),因為點A、B在拋物線上,

兩式相減得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),

所以1·(y1+y2)=4.

所以x1+x2-2=4,

所以x1-x2=6,

所以|AB|=x1+x2+P=6+2=8.

這樣,利用拋物線的對稱性,非常巧妙地得到弦長.

解法5 設A(x,y),在三角形AFH中,如圖2所示,因為AH=FH=x-1,所以y=x-1,代入拋物線方程得(x-1)2=4x,

圖2

所以AB=AF+BF=8

通過這種解法,進一步拓展,啟發(fā)學生發(fā)現規(guī)律,自己總結如下結論：

一般地,傾斜角為α的直線經過拋物線y2=2px(p≥0)的焦點,與拋物線相交于A、B,求線段AB的長.

解 由題意可知,

進一步引導學生探究：若已知的是直線的斜率,該如何計算呢?

生：可以由斜率和傾斜角的公式,求出傾斜角的正弦值,代入上面的公式.

師：很好,請同學們自己試著求出來.

生：因為k=tanα

最后讓學生自主進行課堂小結,充分發(fā)揮學生的主體性,既培養(yǎng)了學生的概括能力,又能營造民主和諧的師生關系.本節(jié)課主要學習了以下內容和方法：

(1)拋物線的簡單幾何性質;

(2)待定系數法求拋物線方程;

(3)焦點弦的性質與弦長;

(4)數形結合、類比、轉化思想的應用.

三、總結反思

這節(jié)課,吳老師突出教學重點,讓學生建構正確完整的知識體系,掌握數學的通性通法,學會自己由特殊探究一般,更深刻地理解了數學本質.教學過程中及時對學生進行形成性的評價,激勵了學生學習的主動性.比如,通過作圖實踐得出P對拋物線開口的影響并引導學生找出2P的幾何意義.用例1引導學生用所學知識解決實踐問題,鼓勵學生用所學的拋物線的幾何性質去求拋物線的標準方程,通過例2,多角度引導學生思考,理解焦點弦的求法.教師將問題引出來,讓學生去思考,去感悟數學本質,舉一反三,一石激起千層浪,學生在輕松和諧的氛圍里不斷閃現出思維的火花.