構(gòu)造常數(shù)列 妙解高考題—例析由數(shù)列相鄰兩項的關系求通項公式的新解法

廣東省佛山市石門高級中學(528225) 徐正印

根據(jù)數(shù)列相鄰兩項的關系(遞推公式)求通項公式的問題是高考常見的問題.前人已總結(jié)了多種方法,這些方法大都是對所給的遞推公式進行變形,得到一個新數(shù)列(這個新數(shù)列是等比數(shù)列或是公差不等于零的等差數(shù)列),再利用這個新數(shù)列的通項公式去求原數(shù)列的通項公式.

本文將介紹一種全新的方法,對所給的遞推公式進行徹底的變形,所得到一個數(shù)列是常數(shù)列,且它的各項都等于零!只要掌握這種方法的解題要領,可以回避過去復雜的解題過程(如疊加法、迭乘法、數(shù)學歸納法),大大簡化解題過程!

題型一由an+1=pan+q,其中p,q都是非零常數(shù),p/=1,求an.

注意到

(x,y是待定的常數(shù)).設q+y(p?1)=0,且a1?x?y=0,則{an?x·pn?1?y}是各項都為零的常數(shù)列,

由于q+y(p?1)=0,所以.因為a1?x?y=0,所以,于是有

定理1 若an+1=pan+q,其中p,q都是非零常數(shù),p/=1,則

例1(2006年江西理科)已知數(shù)列{an}滿足:.

(I)求數(shù)列{an}的通項公式;

(II)省略.

注釋把看成an,則就看成a1,就看成an+1.比較

題型二由an+1=an+rn?1,其中r＞0且r/=1,求an.

注意到:

其中x、y是待定的常數(shù),且滿足a1?x?y=0,則{an?x·rn?1?y}是各項都為零的常數(shù)列,

定理2 若an+1=an+rn?1(r＞0且r/=1),則

{an?x·rn?1?y}是各項都為零的常數(shù)列,

例2(2008年天津理科)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+1=(1+q)an?qan?1(q/=0).

(I)設bn=an+1?an(n∈N?),證明:{bn}是等比數(shù)列;

(II)求數(shù)列{an}的通項公式;

(III)省略.

注釋對比an+1=an+qn?1與an+1=an+rn?1可見:r=q.

因為a1=1,所以由定理2知:

這種方法回避了疊加法,簡化了解題過程.

至于由an+1=an+rn(r＞0且r/=1)或an+1=an+rn+1(r＞0且r/=1)求an的問題留給讀者自己練筆.

題型三由an+1=pan+rn+1,其中p,r都是非零常數(shù),p/=1,p/=r,r＞0,r/=1,求an.

通過引入待定常數(shù)x,y,將an+1=pan+rn+1可化為:

其中,令a1?x?yr=0,則{an?x·pn?1?y·rn}是各項都為零的常數(shù)列,

因為

所以y(r?p)=r,即取.由a1?x?yr=0,所以.于是有:

定理3 若an+1=pan+rn+1(p,r都是非零常數(shù),p/=1,p/=r,r＞0,r/=1),則

{an?x·pn?1?y·rn}是各項都為零的常數(shù)列,an=x·pn?1+y·rn,其中.

例3(2006年全國I理科)設數(shù)列{an}的前n項的和.

(I)求首項a1與通項an;

(II)省略.

(I)解因為

注釋對比an+1=4an?2n+1與an+1=pan+rn+1可見:p=4,r=2.因為a1=2,所以由定理3知:

至于由an+1=pan+rn或an+1=pan+rn?1(p,r都是非零常數(shù),p/=1,p/=r,r＞0,r/=1)求an的問題留給讀者自己練筆.

題型四由Anan+1=Bnan,其中An,Bn都是關于n的表達式,AnBn/=0,求an.

思路先根據(jù)a1、a2、a3的值猜想出an,再對Anan+1=Bnan直接進行恒等變形.

例4(2012年全國卷文科)已知數(shù)列{an}的前n項和

(I)求a2,a3;

(II)求{an}的通項公式.

注釋由a1=1,a2=3,a3=6,猜想,直接對nan+1=(n+2)an進行恒等變形,如:

這種方法回避了迭乘法,簡化了解題過程.

題型五Anan+1=Bnan+Cn,其中An、Bn、Cn都是關于n的表達式,AnBnCn/=0,求an.

思路先根據(jù)a1、a2、a3的值,猜想出an,再對Anan+1=Bnan+Cn直接進行恒等變形.

例5(2013年廣東理科)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,.

(I)求a2的值;(II)求數(shù)列{an}的通項公式;(III)略.

注釋由a1=1、a2=4、a3=9猜想an=n2,再對nan+1=(n+1)an+n(n+1)直接恒等變形,如:

這種方法回避了迭乘法,簡化了解題過程.

例6(2014年廣東省理科)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足:Sn=2nan+1?3n2?4n(n∈N?),S3=15.

(I)求a1、a2、a3的值;

(II)求數(shù)列{an}的通項公式;