分類分步須合理 排列組合講策略

安徽省樅陽縣宏實中學(xué)(246700) 朱賢良

安徽省樅陽縣白云中學(xué)(246728) 詹 娟

計數(shù)問題大量存在于我們的學(xué)習(xí)和日常生活中,也是高中數(shù)學(xué)中的難點與易錯點之一,其問題形式多樣,聯(lián)系實際,生動有趣,但解法靈巧,要求解題者思維嚴(yán)謹(jǐn)縝密、富于聯(lián)想、轉(zhuǎn)化合理準(zhǔn)確.對此類問題掌握的好壞是衡量思維品質(zhì)優(yōu)劣的重要標(biāo)桿,因而成為培養(yǎng)思維能力的重要工具,在歷年高考與模擬試題中經(jīng)久不衰、歷久彌新.

在解決計數(shù)問題時,要抓住問題的本質(zhì)特征,靈活運用基本原理和公式進(jìn)行分析解答.同時,還需要講究一些策略和技巧,尤其是將抽象的計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為與之等價的數(shù)學(xué)模型或?qū)嶋H模型,從而使問題迎刃而解.

1.基本原則:準(zhǔn)確分類,合理分步

分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是求解計數(shù)問題的兩個最基本的原理,也是分析計數(shù)問題的基本原則與根本出發(fā)點.在分析含有約束條件的計數(shù)問題時,應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類,按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步,保證每步獨立,達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清楚,不重不漏.

例1(2016年高考全國II卷理科第5題)如圖,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )

圖1

分析根據(jù)題意,事情分兩步完成:第一步,從E處到F處,最短路徑必是兩橫兩縱,路徑條數(shù)為;第二步,從F處到G處,最短路徑必是兩橫一縱,路徑條數(shù)為.所以,小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為N=n1·n2=18.

評注本題是典型的分步乘法計數(shù)問題,題干中有明顯的關(guān)于“分步”的暗示.在第一步中,需要進(jìn)行選擇,哪兩次橫向走,哪兩次縱向走,故.第二步亦作如是分析,即得正解.

例2(2014年高考廣東卷理科第8題)設(shè)集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{?1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個數(shù)為( )

分析考慮到xi∈{?1,0,1},故可以按照|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|的取值進(jìn)行分類計數(shù):

第一類,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,則x1,x2,x3,x4,x5中有一個數(shù)為1或?1,其余皆為0,這樣的元素個數(shù)為;

第二類,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,則x1,x2,x3,x4,x5中有兩個數(shù)為1或?1,其余皆為0,這樣的元素個數(shù)為;

第三類,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,則x1,x2,x3,x4,x5中有三個數(shù)為1或?1,其余皆為0,這樣的元素個數(shù)為.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理,集合A中滿足條件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素個數(shù)為N=n1+n2+n3=130.

評注分類討論是一種邏輯方法,能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性.如同本題,對于復(fù)雜一點的計數(shù)問題,若應(yīng)用分類策略,復(fù)雜問題則可以分成互不相容的幾類情況,復(fù)雜情況又可分成互不相容的幾類情形,求解更加容易.

2.常見計數(shù)問題與應(yīng)對策略

2.1 特殊元素與特殊位置問題:特殊優(yōu)先策略

對于帶有特殊元素(或位置)的計數(shù)問題,一般應(yīng)先考慮特殊元素(或位置),再考慮其它非特殊元素(或位置).

例3(2014年高考四川卷理科第6題)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有( )

分析鑒于左、右兩端的“位置”比較特殊,故先給兩端的“位置”選定“元素”(人),再給其余“位置”選定“元素”.可以分兩類計數(shù):第一類,最左端排甲,則其余位置任意安排均可,故不同的排法有種;第二類,最左端排乙,再給最右端位置選人,最后任意安排其余人的位置,不同的排法有種.所以,不同的排法共有N=n1+n2=216種.

評注特殊優(yōu)先策略有兩類實施辦法:一是給元素找位置,一是給位置選元素.上述解題思路體現(xiàn)了左、右兩個特殊“位置”優(yōu)先安排的原則,也可以考慮從甲、乙兩個特殊“元素”優(yōu)先安排的角度入手.

例4(2009年高考廣東卷理科第7題)2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項不同工作,若其中小張和小趙只能從事前兩項工作,其余三人均能從事這四項工作,則不同的選派方案共有( )

分析本題相當(dāng)于從小張、小趙、小李、小羅、小王這5個“元素”中選取4個坐到翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)這4個“位置”上去.

從特殊元素的角度來看,小張和小趙受限制,只能從事翻譯與導(dǎo)游這兩項工作,故先給小張和小趙選派工作,分兩類計數(shù):第一類,小張和小趙均安排工作,選派方案的種數(shù)為;第二類,小張和小趙中只安排1人工作,選派方案的種數(shù)為.所以,不同的選派方案共有N=n1+n2=36種.

還可以從特殊位置角度來看,禮儀、司機(jī)這兩項工作受限制,只能分派給后3人來完成,故先分派禮儀、司機(jī)這兩項工作,再分派其余兩項工作,不同的方案共有種.

評注正是由于既可以考慮優(yōu)先安排特殊“元素”,又可以考慮優(yōu)先安排“位置”,故在具體求解過程中,要對比分析,求簡避繁.如本題的兩種思路中,借助特殊位置優(yōu)先安排策略可避開分類討論.

2.2 相鄰與小集團(tuán)問題:捆綁整體策略

當(dāng)計數(shù)問題中要求某兩個或多個指定元素相鄰時,常常先將這些指定元素捆綁成一個整體,再與其余元素進(jìn)行排列組合.

例5(2012年高考遼寧卷理科第5題)一排9個座位坐了3個三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為( )

分析每家三口人必須坐在一起,故先分別將每家三口人捆綁成一個整體,有種方法;再將三個整體作全排列,有種方法.結(jié)合分步乘法計數(shù)原理,不同的坐法種數(shù)為

評注對于相鄰與小集團(tuán)問題進(jìn)行捆綁處理,具體實施時按照“先捆再排”的順序,體現(xiàn)了整體與部分的辯證統(tǒng)一.

例6(2012年高考重慶卷理科第15題改編)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其它三門藝術(shù)課各1節(jié),且要求相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課,則不同的安排方法有___種.

分析根據(jù)題意,相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課,則三門文化課之間可能共有0節(jié)或1節(jié)或2節(jié)藝術(shù)課,可以先將這0節(jié)或1節(jié)或2節(jié)藝術(shù)課連同三門文化課捆綁成一個小集團(tuán),再與其余的藝術(shù)課作排列.按照三門文化課之間藝術(shù)課的總節(jié)數(shù)進(jìn)行分類計數(shù):

第一類,三門文化課之間共有0節(jié)藝術(shù)課,則先捆綁三門文化課,再與其余藝術(shù)課排列,共有種安排方法;

第二類,三門文化課之間共有1節(jié)藝術(shù)課,則先捆綁三門文化課,再選1節(jié)藝術(shù)課加入此集團(tuán),最后與其余藝術(shù)課作排列,共有種安排方法;

第三類,三門文化課之間共有2節(jié)藝術(shù)課,則先捆綁三門文化課,再選2節(jié)藝術(shù)課加入此集團(tuán),最后與余下的藝術(shù)課作排列,共有種安排方法.

綜上,不同的安排方法種數(shù)為N=n1+n2+n3=432.

評注在具體運用捆綁整體策略時,要注意捆綁的要求,有些問題是自由捆綁,有些問題是限定捆綁.比如本題第一類情況中,由三門文化課形成的整體是自由捆綁得到的,而第二類情況中,由三門文化課與1節(jié)藝術(shù)課形成的整體則是有特定限制的(必須讓藝術(shù)課在文化課之間).

2.3 不相鄰問題:插空分隔策略

對于某幾個元素不相鄰的計數(shù)問題,可先將其他元素排列好,再將不相鄰元素插入到已排好的元素之間及兩端空隙中即可.

例7(2014年高考遼寧卷理科第8題)6把椅子擺成一排,3人隨機(jī)就座,任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( )

分析3人隨機(jī)就座,要求其中任何兩人不相鄰,可等價地理解為這樣一個過程:先擺好3把空椅子,有n1=1種辦法;再從3把空椅子中間及兩端的4個空隙中選取3處,安排3人自帶椅子入座,有種辦法.所以,符合要求的坐法種數(shù)為N=n1·n2=24.

評注不相鄰問題采用插空法處理,可理解成先排列自由元素,再插入不相鄰元素的過程,從而借助自由元素實現(xiàn)對不相鄰元素的分隔.

例8(2014年高考重慶卷理科第9題)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目,2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )

分析本題有兩個不相鄰的限制條件:3個歌舞類節(jié)目兩兩不能相鄰,2個小品類節(jié)目也不能相鄰,可先將2個小品類節(jié)目與1個相聲類節(jié)目排列好,再將3個歌舞類節(jié)目插入空隙即可.按相聲類節(jié)目是否排在小品類節(jié)目中間分類進(jìn)行計數(shù):

第一類,相聲類節(jié)目排在小品類節(jié)目中間,如圖1所示,則可從圖中4個空隙之中任選3個,將歌舞類節(jié)目插入,不同的排法種數(shù)為;

第二類,相聲類節(jié)目排在小品類節(jié)目左端或右端,如圖2所示,則3個歌舞類節(jié)目只能插入包括②在內(nèi)的3個空隙處,不同的排法種數(shù)為.

所以,同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是N=n1+n2=120.

圖2

圖3

評注本題的限制條件不止一個,在運用插空分隔策略時,也可以借助間接法來實施:先不考慮2個小品類節(jié)目不相鄰的限制,只考慮3個歌舞類節(jié)目兩兩不相鄰的限制,則不同的排法種數(shù)為;其中,2個小品類節(jié)目相鄰且3個歌舞類節(jié)目兩兩不相鄰的排法不符合要求,這樣的排法種數(shù)為.如此,也能得到正確結(jié)論:N=144?24=120.

2.4 不同元素分配問題:先分組再分配策略

將m個不同元素按照一定的條件分配給n個不同的對象,稱之為分配問題.處理此類問題的基本策略是先分組再分配,即分兩步完成:先將m個不同元素分成n組(組合問題),再分配給n個不同的對象(全排列問題).

例9(2009年高考湖北卷理科第5題)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班,每個班至少分到一名學(xué)生,且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班,則不同分法的種數(shù)為( )

分析將四名學(xué)生分到三個不同的班,可按先分組再分配的策略分兩步完成:

第一步,將四名學(xué)生分為三組,只需要選出兩個人同組即可,有種分法,而甲、乙同組的分組方法有1種,故分組方法有種;

第二步,將三組人分配到三個不同的班,即將三組人作一次全排列,不同的分配方法有種.

所以,不同分法的種數(shù)為N=n1·n2=30.

評注要注意區(qū)別分組問題與分配問題:前者只關(guān)注哪些元素分在一起,不區(qū)分是第1組還是第2組;而后者既關(guān)注哪些元素在一起,也區(qū)分這些元素在哪一組.

例10(2010年高考江西卷理科第14題改編)將6位志愿者分成4組,分赴世博會的四個不同場館服務(wù),不同的分配方案有___種(用數(shù)字作答).

分析先考慮將6位志愿者分成4組:①按1?1?1?3分組,只需要選定哪3人同組即可,故有種方案;②按1?1?2?2分組,先選定2人同組,再選定2人同組,分組方案即定,考慮到如此分組則方案成倍重復(fù),故有種方案.所以,不同的分組方案有n1=20+45=65種.

再將4組人分配到四個不同場館,即將4組人作一次全排列,不同的分配方法有種.

綜上,不同分配方案的種數(shù)為N=n1·n2=1560.

評注分組問題是計數(shù)問題中的難點與易錯點,尤其涉及平均分組的問題.在1?1?1?3分組方案中,先選定3人同組,余下3人分組方案唯一,從而回避了余下3人的平均分組問題;在1?1?2?2分組方案中,計數(shù)時無法回避方案成倍重復(fù)的情況,故用除法糾正.

2.5 名額分配問題:隔板分配策略

與前述不同元素分配問題相近的有一類相同元素分配問題,常稱之為名額分配問題:將m個相同元素(名額)分配給n(n＜m)個不同的對象.處理此類問題的策略是隔板分配,即先將m個相同元素(名額)排成一列,再從元素兩兩之間的m?1個空隙中選取n?1處插入隔板,從而這些元素(名額)分成了n份,分配給對應(yīng)的n個對象,故不同的分配方案共有種.

例11某地教育部門準(zhǔn)備在當(dāng)?shù)氐?所重點中學(xué)中選派12名優(yōu)秀青年教師參加在職培訓(xùn),每所學(xué)校至少1人,則不同的分配方案有___種.

分析問題的實質(zhì)就是將12個無差異的在職培訓(xùn)名額分配給9所中學(xué),由隔板分配策略知,只需要在12個名額排列所形成的11個空隙中插入8塊隔板即可,故不同的分配方案種數(shù)為.

評注隔板分配策略解決的是無差別的名額分配問題,要注意辨析此類問題與前述不同元素分配問題的差異.

例12為預(yù)防和控制甲型流感,某學(xué)校醫(yī)務(wù)室欲將23支相同溫度計分發(fā)到高三年級10個班級中,要求分發(fā)到每個班級的溫度計不少于2支,則不同的分發(fā)方式共有( )

分析將23支相同的溫度計分發(fā)到10個班級,每班不少于2支,可分兩步完成:

第一步,給每個班級分發(fā)1支溫度計,由于溫度計無差別,故只有1種分發(fā)方法;

第二步,將剩下的13支溫度計分發(fā)到10個班級,每班至少1支,由隔板分配策略知分發(fā)方法有種.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的分發(fā)方法共有1×220=220種.

評注本題不是簡單的將23個相同元素(名額)分配到10個班級的問題,它要求每個班級至少2支,而分兩步處理巧妙地將問題轉(zhuǎn)化為單純的名額分配問題.

2.6 定序問題:分步插空策略、空位不排策略、除法倍縮策略

元素定序問題也是排列與組合中的一個典型模型.此模型中部分元素的相對順序是固定的,故計數(shù)的根本策略是“消序”,具體可通過逐個插空策略或空位不排策略或除法倍縮策略實施.

例13(2006年高考湖北卷理科第14題)某工程隊有6項工程需要單獨完成,其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行,工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行,工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行,那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是___.(用數(shù)字作答)

分析本題中,甲、乙、丙、丁四項工程的順序固定,且丙、丁相鄰,計數(shù)時有以下三種方法:

方法1(逐個插空策略)先將相對順序固定的甲、乙、丙、丁排列好,且丙、丁相鄰,從而形成3個整體,排列方法唯一;再將余下的兩項工程逐個插入3個整體所形成的空隙,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有4×5=20種排法.所以,安排這6項工程共有20種不同排法.

方法2(空位不排策略)丙、丁相鄰,視為一個整體,其余4項工程各視作一個整體,故問題可視為對5個整體進(jìn)行排列.考慮到甲、乙、丙、丁的相對順序固定,故先從5個位置中選擇2個供另外兩項工程排列,有種不同排法;再將空出的3個位置供甲、乙、丙、丁共3個整體按既定的順序排入,僅有1種排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,安排這6項工程共有20×1=20種不同排法.

方法3(除法倍縮策略)丙、丁相鄰,視為一個整體,其余4項工程各視作一個整體.對5個整體作全排列,共有種排法;其中,當(dāng)另外兩個整體的位置固定時,任意交換甲、乙、丙、丁這3個整體的位置,共有種不同的排列,而符合甲、乙、丙、丁固定順序的排列僅有1個.也就是說,在所有的種排法中,符合順序要求的僅占其中的,即安排這6項工程共有種不同排法.

評注逐個插空策略先排列定序元素,再依次插入自由元素;空位不排策略則先排列自由元素,再將空出的位置供定序元素排列;除法倍縮策略先不考慮定序的限制,再通過除法實現(xiàn)倍縮消序,其實質(zhì)是一種間接法計數(shù).在運用三種策略解題時,要注意把握實質(zhì),方能得心應(yīng)手、嫻熟自如.

例14(2013年高考浙江卷理科第14題)將A,B,C,D,E,F六個字母排成一排,且A,B均在C的同側(cè),則不同的排法共有___種(用數(shù)字作答).

分析本題中,A,B均在C的同側(cè),相對順序固定,運用上述三種策略分別求解如下:

方法1(逐個插空策略)先將順序受限的元素A,B,C按要求排列,其中A,B均在C的同側(cè),不同的排法有種;再將無順序要求的自由元素D,E,F依次、逐個插入空隙,有4×5×6=120種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的排法共有4×120=480種.

方法2(空位不排策略)先從6個位置中選出3個位置供自由元素D,E,F排列,有種不同排法;再將受限制的定序元素A,B,C按要求排列在空出的3個位置上,其中A,B均在C的同側(cè),有種排法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的排法共有4×120=480種.

方法3(除法倍縮策略)先不考慮A,B,C的順序限制,任意排列A,B,C,D,E,F這6個字母,共有個不同排列;其中,當(dāng)D,E,F的位置固定時,任意交換A,B,C這3個字母的位置,共有種不同的排列,而符合均在A,B均在C的同側(cè)這一條件的排列有個.也就是說,在所有的種排法中,符合順序要求的占其中的,即不同的排法共有種.

評注逐個插空策略與空位不排策略的區(qū)別有二:一是完成事情的步驟的順序不同,逐個插空策略先排定序元素,后排自由元素,而空位不排策略先排自由元素,后排定序元素;二是空位不排策略強(qiáng)調(diào)從所有位置中選擇部分位置供自由元素排列,空下部分位置供定序元素排列,而逐個插空策略不考慮所有位置,僅先排列定序元素,再逐個任意插入自由元素.

2.7 正難反易問題:間接計數(shù)策略

有些問題從正面考慮較為復(fù)雜而不易得出計數(shù)結(jié)果,此時不妨從反面入手考慮,借助間接計數(shù)策略,往往能化難為易、化繁為簡,取得意想不到的效果.

例15(2015年高考上海卷理科第8題)在報名的3名男教師和6名女教師中,選取5人參加義務(wù)獻(xiàn)血,要求男、女教師都有,則不同的選取方法的種數(shù)為____種.(結(jié)果用數(shù)值表示)

分析若從正面來完成“選取5人”這件事,考慮到男、女教師都有,則需要按選取的男、女教師的人數(shù)分成三類進(jìn)行加法計數(shù).考慮從反面入手,以回避較多情況的分類討論.

評注間接計數(shù)策略適用于正面計數(shù)比較困難且反面計數(shù)較為容易的情形,其實質(zhì)是從所有情形中淘汰不合要求的情況.

例16(2014年高考安徽卷理科第8題)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60°的共有( )

分析正方體的六個面共有12條對角線,從中任取兩條能得到對.注意到每對直線可能平行,可能垂直,也可能成60°的角.

先計算平行直線的對數(shù):兩條互相平行的對角線只能從相對的兩個平面中選取,每對平面中有2對對角線平行,故平行直線共有6對.

再計算垂直直線的對數(shù):兩條互相垂直的對角線可以從同一個平面中選取,每一個平面中有1對對角線垂直,共6對垂直直線;還可以從相對的兩個平面中選取,每對平面中有2對對角線垂直,共6對垂直直線.所以,垂直直線共有12對.

綜上,所成的角為60°的對角線共有66?6?12=48對.

評注本題計數(shù)的關(guān)鍵在于將每對對角線的位置關(guān)系區(qū)分為平行、垂直與成60°的角三種,進(jìn)而去除平行直線與垂直直線的情形.

3.易疏忽提醒

3.1 一類樸素的計數(shù)方法:列舉法

列舉法又稱枚舉法、窮舉法,在解決計數(shù)問題時,列舉法常受誤解,被認(rèn)為是“最繁、最沒有技術(shù)含量”的方法.其實不然,列舉法是最原始、最樸素、也頗為有效的一種計數(shù)方法,要引起足夠的重視.

例17A,B,C,D四人進(jìn)行相互傳球練習(xí),第一次由A任意傳給其他三人中的一人,第二次再由接球者將球任意傳給其他三人中的一人,這樣經(jīng)過4次傳球后,球恰好又回到A手中,不同的傳球方式共有___種.

分析“傳球”問題是一道比較經(jīng)典的計數(shù)問題,最早可見于小學(xué)中年級的奧賽練習(xí)題.對此問題的理解與處理不同,得到的解法也不一樣,甚至可以用數(shù)列遞推思想來進(jìn)行求解,但從列舉法的角度進(jìn)行計數(shù)無疑更顯質(zhì)樸與簡單.

圖1

如圖,若A第一次傳球給B,則經(jīng)過4次傳球后,球恰好又回到A手中的傳球方式有7種.

同理,若A第一次傳球給C或D,也都有7種不同的傳球方式.

所以,不同的傳球方式共有7×3=21種.

評注列舉法能直觀地反映出事物的變化規(guī)律,為我們理性地揭示事物的本質(zhì)屬性提供絕好的例證.在進(jìn)行排列組合計數(shù)思維受阻時,不妨回到最原始的列舉法上,從中尋找靈感與突破口.

例18(2013年高考福建卷理科第5題)滿足a,b∈{?1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為( )

分析方程ax2+2x+b=0可能是一次方程,也可能是二次方程,分類列舉計數(shù)如下:

當(dāng)a=0時,方程恰有一個實數(shù)解,故b∈{?1,0,1,2},有序數(shù)對(a,b)有4個.

當(dāng)a/=0時,由Δ =4?4ab≥0得ab≤1,列舉三類情況:①a=?1,b∈{?1,0,1,2};②a=1,b∈{?1,0,1};③a=2,b∈{?1,0}.所以,有序數(shù)對(a,b)有9個.

綜上,符合題意的有序數(shù)對(a,b)有4+9=13個.

評注列舉法不是簡單意義上的羅列,它需要根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行歸類羅列,從而避免遺漏或重復(fù).另外,要注意合理地借助樹狀圖、列表法等途徑來準(zhǔn)確進(jìn)行列舉計數(shù).

3.2 計數(shù)問題易錯點:遺漏與重復(fù)

在解答計數(shù)問題時,常常因?qū)︻}設(shè)認(rèn)識不夠、條件應(yīng)用考慮不周而導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)遺漏與重復(fù).要想避免這樣的錯誤,一方面要對前述計數(shù)模型與策略加深理解,另一方面更要對常見的錯誤類型加強(qiáng)分析與識別.

例19有6雙不同的鞋子,從中任取4只,恰好有兩只配成一雙的取法共有___種.

分析取鞋問題也是計數(shù)問題中的典型例子,在進(jìn)行計數(shù)時,易犯遺漏與重復(fù)這樣的錯誤:

方法1 先從6雙鞋子中任取一雙,再從剩下的5雙中任取2只左鞋,或者再取2只右鞋,由兩個計數(shù)原理,恰好有兩只配成一雙的取法共有種.

方法2 先從6雙鞋子中任取一雙,再從剩下的5雙中任取1只,最后從余下4雙中任取1只,由分步乘法計數(shù)原理,恰好有兩只配成一雙的取法共有種.

事實上,方法1認(rèn)為兩只不成雙是指2只左鞋不成雙與2只右鞋不成雙,顯然遺漏了1只左鞋與另1只右鞋不成雙的情況,故恰好有兩只配成一雙的取法共有種.方法2犯了重復(fù)計數(shù)的錯誤,則更為隱蔽:記6雙鞋子為(A1,A2),(B1,B2),(C1,C2),(D1,D2),(E1,E2),(F1,F2),按方法2的步驟,所取4只鞋子依次為A1A2B1C1與A1A2C1B1是兩種不同的取法,顯然發(fā)生了重復(fù),其余取法也是兩兩重復(fù),故不同取法共有種.調(diào)整取鞋步驟,還可以得到以下正確解法:

方法3 先從6雙鞋子中任取一雙,再從剩下的5雙中任取2雙,接著從所取2雙中各取1只,由分步乘法計數(shù)原理,恰好有兩只配成一雙的取法共有種.

評注遺漏的錯誤多半比較明顯,但重復(fù)的錯誤往往難以發(fā)現(xiàn).因此,需要加強(qiáng)計數(shù)問題的糾錯訓(xùn)練,以提高自身的免疫力.

例20(2013年高考四川卷理科第8題)從1,3,5,7,9這五個數(shù)中,每次取出兩個不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到lga?lgb的不同值的個數(shù)是( )

分析從1,3,5,7,9這五個數(shù)中,任取兩個不同的數(shù)分別記為a,b,共有種可能的情形.但需要考慮到這些可能的情形中,lga?lgb的取值重復(fù)的情況:,而,即a,b的這4種取值情況中,lga?lgb只能取2個不同值.所以,得到lga?lgb的不同值的個數(shù)是.

評注對于重復(fù)計數(shù)的問題,一般有兩種方法進(jìn)行糾正:一是調(diào)整計數(shù)思路,避免重復(fù)的情況出現(xiàn),如例19中的方法3;二是借助間接法的思路,從所有情形中去除重復(fù)的情況,如例19中方法2的修正和例20的求解.

需要指出的是,對于復(fù)雜一點的排列組合問題,需要多種方法與策略一起聯(lián)手方能破之.在學(xué)習(xí)過程中,必須重視通過解題去不斷積累經(jīng)驗,總結(jié)規(guī)律,掌握相關(guān)技巧與策略,最終達(dá)到靈活運用的境界.