隨機(jī)地震激勵下高墩橋梁碰撞可靠度分析

賈宏宇， 杜修力， 羅 楠， 張 金， 鄭史雄， 張克躍

(1.北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124;2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都610031)

地震造成橋梁不同程度的破壞，其中，橋梁上部結(jié)構(gòu)破壞是橋梁破壞中重要組成部分.然而，上部結(jié)構(gòu)破壞基本都與梁體之間的碰撞有關(guān)［1］.控制梁體碰撞最直接的方法就是提供足夠的間隙寬度.因此，適當(dāng)調(diào)節(jié)相鄰梁體的間隙寬度可避免或減小橋梁上部結(jié)構(gòu)在地震作用下的碰撞破壞［2］.山區(qū)高墩橋梁跨越峽谷使得墩的高度超過百米，縱向剛度相對較小，縱向位移大，從而增加了梁體之間碰撞的概率，所以控制山區(qū)高墩橋梁碰撞對減小高墩橋梁上部結(jié)構(gòu)破壞有著重要意義.

地震本身具有隨機(jī)性，運(yùn)用概率分析方法研究隨機(jī)性對橋梁結(jié)構(gòu)動力行為的影響是非常必要的，也符合客觀實(shí)際情況［3］.基于虛擬激勵法的可靠度方法既能反映地震動的隨機(jī)性，又能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性，是未來基于概率抗震分析方法的必然發(fā)展趨勢［4］.許多學(xué)者對橋梁碰撞問題進(jìn)行了研究，但是基于可靠度分析的梁體間隙寬度概率量化方法非常少［5-9］.文獻(xiàn)［10］考慮了多層土分布對高墩橋梁梁體間相對位移響應(yīng)均值的影響，為同類高墩橋梁間隙寬度的設(shè)計(jì)提供參考;文獻(xiàn)［11-12］將結(jié)構(gòu)簡化為兩個單自由度系統(tǒng)，研究了碰撞的臨界間隙寬度與跨度、支座屈服力和上部結(jié)構(gòu)自重的關(guān)系;文獻(xiàn)［13-15］研究了地震動空間性、場地土條件、樁-土相互作用對兩跨簡支梁梁體碰撞間隙的影響，在軟土基礎(chǔ)情況下，忽略樁-土相互作用會低估梁體間隙寬度;文獻(xiàn)［16］將兩跨橋梁簡化為6個自由度的系統(tǒng)，研究了連接系統(tǒng)參數(shù)(剛度和阻尼)對碰撞間隙的影響，合理的選擇連接系統(tǒng)參數(shù)(剛度和阻尼)可以避免碰撞，同時也能保證行車的平順性;文獻(xiàn)［17］基于隨機(jī)振動理論，分析了平穩(wěn)地震激勵下高墩橋梁在各地震強(qiáng)度作用下間隙寬度需求機(jī)理.上述學(xué)者運(yùn)用理論分析方法和數(shù)值模擬技術(shù)來研究梁體間隙寬度，但是未能進(jìn)一步體現(xiàn)間隙寬度的概率分布規(guī)律.對于碰撞間隙寬度的可靠度分析非常少，且對于高墩橋梁間隙寬度的概率分析就幾乎沒有.為了體現(xiàn)隨機(jī)地震作用下，高墩橋梁碰撞間隙寬度的概率分布，也為高墩鐵路橋梁基于性能的抗震分析做準(zhǔn)備.研究高墩橋梁梁體之間碰撞間隙寬度的概率分布情況是非常有意義的.

本文基于以上研究，以某高墩大跨度橋?yàn)檠芯繉ο?首先，在ANSYS中建立有限元數(shù)值模型;其次，將直接位移求解的虛擬激勵法引入到動力可靠度計(jì)算之中，提高其計(jì)算效率;最后，將反應(yīng)譜轉(zhuǎn)換為功率譜作為地震動輸入基礎(chǔ)，基于虛擬激勵法求得梁體相對位移響應(yīng)峰值的均值和均方值，根據(jù)首次超越理論研究不同地震強(qiáng)度作用下梁體間發(fā)生碰撞可靠度.

1 動力可靠度理論

1.1 運(yùn)動方程及求解

假設(shè)橋梁結(jié)構(gòu)具有m個墩，且被離散成為n個節(jié)點(diǎn)的線性系統(tǒng)，考慮平動地震動激勵和地震動空間變異性，地震作用下橋梁結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程用矩陣形式表示為

式中:下標(biāo)s為結(jié)構(gòu)離散節(jié)點(diǎn)，b為基礎(chǔ)節(jié)點(diǎn);Xb、 Xb、¨Xb分別為3m維列向量的地面強(qiáng)迫位移、速度和加速度;Xs、 Xs、¨Xs分別為3n維列向量的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所有非基礎(chǔ)點(diǎn)的位移、速度和加速度;Pb為3m維列向量地震力;M、C、K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;Mss為結(jié)構(gòu)離散節(jié)點(diǎn)質(zhì)量矩陣;Mbb為基礎(chǔ)節(jié)點(diǎn)質(zhì)量矩陣;Msb和Mbs為結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)相互的質(zhì)量矩陣且內(nèi)部系數(shù)符號相反，以此類推矩陣C、K中各字母所代表的意義.

將式(1)中有地震力參與項(xiàng)展開可得

因?yàn)闃蚨盏资艿降牡卣鹆Φ扔诨A(chǔ)大質(zhì)量Mbb與地面加速度¨ub的乘積，即Pb=Mbb¨ub.則

式(2)可表示為

式(3)兩邊同時乘以大質(zhì)量逆矩陣M－1bb，可得

根據(jù)上述推導(dǎo)，只要基礎(chǔ)處設(shè)置的質(zhì)量足夠大，就能保證基礎(chǔ)處的地面加速度和橋墩底部地震響應(yīng)加速度相等，從而簡化式(1)求解，且方便在通用有限元軟件中實(shí)現(xiàn)模擬.

將式(5)代入式(1)的第一項(xiàng)中展開可得

基礎(chǔ)處虛擬荷載為［3］

式中:珘u¨b、珘u·b、珘ub分別為基礎(chǔ)處的虛擬加速度、虛擬速度、虛擬位移;P由3m×3m的功率譜矩陣S0(iω)=PPT分解得到.將式(7)代入式(6)整理可得

忽略式(8)中的阻尼項(xiàng)，得到虛擬激勵動力方程，如式(9).

式(9)也為簡諧振動方程，即將平穩(wěn)隨機(jī)振動問題轉(zhuǎn)換為諧分析，求解式(9)可得到絕對位移響應(yīng)的功率譜矩陣為

求得位移響應(yīng)功率譜后，進(jìn)一步可得到各階譜矩陣，也就得到響應(yīng)均值和方差等概率特征值.本文在求得響應(yīng)功率譜矩陣后，根據(jù)Davenport提出的方法求得響應(yīng)峰值的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差.

1.2 結(jié)構(gòu)動力可靠度理論

在橋梁結(jié)構(gòu)抗震分析中，基于首次超越的破壞機(jī)制簡單實(shí)用且工程應(yīng)用廣泛.特別是在梁體碰撞問題中，以梁體間相對位移響應(yīng)峰值為隨機(jī)分布，間隙寬度作為首次超越安全界限.在基于首次超越破壞準(zhǔn)則的結(jié)構(gòu)動力可靠度分析中，假設(shè)梁體間相對位移響應(yīng)峰值與安全界限(間隙寬度)交叉次數(shù)服從一定的概率分布，此處假設(shè)其服從泊松分布和馬爾科夫分布［4］.

(1)基于Davenport假定，梁體間相對位移峰值響應(yīng)為隨機(jī)過程，且與超過間隙寬度的任意兩次交叉事件相互獨(dú)立，那么假設(shè)在時間(0，t］，內(nèi)相對位移峰值x超過間隙寬度界限k發(fā)生碰撞的次數(shù)服從泊松分布.假設(shè)橋梁碰撞為對稱雙側(cè)D界限問題，梁體碰撞可靠度表示為

式中:σx和σx分別為相對位移和相對速度峰值響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差;設(shè)(σxt)/(2πσx)=v，即為平均穿零率，可通過式(12)求得.

式中:λ0，λ2均為動力響應(yīng)功率譜譜矩，

(2)基于梁體相對位移峰值響應(yīng)與超過梁體間隙寬度界限而發(fā)生碰撞的交差次數(shù)成群出現(xiàn)，可假定梁體碰撞服從馬爾可夫過程，則梁體碰撞可靠度可表示為

式中:q為功率譜帶寬參數(shù)，如式(15).

2 工程算例

2.1 橋梁簡介及模擬

本文以某特大高墩橋梁為實(shí)際工程背景，橋總長485 m，全橋結(jié)構(gòu)為88 m+168 m+88 m預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋和33 m+56 m+33 m預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁橋相結(jié)合，總體布置如圖1.

其中，剛構(gòu)橋主梁為變截面箱型截面，跨中梁高6 m，端部梁高12 m，按二次拋物線變化，箱梁頂面寬12 m，底板寬8 m.下部結(jié)構(gòu)采用空心薄壁墩，1#墩墩身采用一次變坡，墩高76 m，橫向外坡為15∶1，橫向內(nèi)坡為 35 ∶1;2#墩高 103 m，墩型為雙變坡墩，自墩頂向下在75 m處開始第二次變坡.

剛構(gòu)橋主梁及以下4 m范圍內(nèi)墩身均采用C55混凝土，其余部分橋墩采用C40混凝土;連續(xù)梁橋主梁采用C55混凝土，橋墩采用C35混凝土.3#橋墩剛構(gòu)橋與連續(xù)梁橋主梁之間設(shè)置10 cm間隙寬度.

圖1 高墩橋梁立面示意Fig.1 Schematic view of the high-pier bridge

本文采用通用有限元軟件ANSYS建立高墩橋梁結(jié)構(gòu)有限元模型，如圖2所示.

圖2 三維有限元模型Fig.2 3-D finite element model of bridge

圖2 中:P1～P5為橋墩;A1、A2為橋臺;M1～M5為活動支座;F1、F2為固定支座;A-B為梁-橋梁碰撞處;B-B代表梁-梁碰撞處.

橋墩和主梁均采用梁單元(beam44)模擬;剛構(gòu)橋部分主梁與墩固結(jié)(共節(jié)點(diǎn));連續(xù)梁4#墩頂固定支座處采用共節(jié)點(diǎn)處理，滑動支座處采用自由度釋放.各橋墩底部6個自由度均被約束，橋臺處豎向位移約束.橋梁置于總體坐標(biāo)中(縱橋向?yàn)閄軸，橫橋向?yàn)閅軸，豎向?yàn)閆軸).

2.2 地震動輸入確定

根據(jù)實(shí)際地震危害性分析報告，該橋橋位處地震動峰值加速度為0.10g，地震動反應(yīng)譜特征周期為0.65 s，場地類別為Ⅰ類.為了研究結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震動作用下的抗震性能，本文基于隨機(jī)振動分析，運(yùn)用動力增量分析方法得到結(jié)構(gòu)地震峰值均值響應(yīng)與地震動強(qiáng)度參數(shù)之間的關(guān)系，然后根據(jù)概率分布函數(shù)得到結(jié)構(gòu)的可靠度.首先要為動力增量分析方法選取合適的地震動輸入，將反應(yīng)譜輸入轉(zhuǎn)化為功率譜，然后基于虛擬激勵法計(jì)算結(jié)構(gòu)峰值響應(yīng)，從而建立峰值響應(yīng)與地震動強(qiáng)度之間的關(guān)系.

本文選擇公路橋梁抗震設(shè)計(jì)細(xì)則(2008)給出的水平加速度反應(yīng)譜，阻尼比取0.05，水平設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜S為

式中:Tg為特征周期，s;T為結(jié)構(gòu)自振周期，s;Smax為水平設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜最大值.

根據(jù)該橋址所處的場地條件和公路橋梁抗震設(shè)計(jì)細(xì)則(2008)，反應(yīng)譜參數(shù)取值為:Tg=0.3 s;Ci=1.7;Cd=1.0;Cs=0.9;Smax=2.25CiCdCsA;A 取值分別為 0.10g、0.15g、0.20g 直到 1.0g(間隔 0.05g或 0.1g).

依據(jù) Kaul法［18］，將反應(yīng)譜轉(zhuǎn)換為功率譜，如式(17).

式中:ξ為阻尼比;Tc為持續(xù)時間;Q為反應(yīng)譜的超越概率;Ra(ω)為設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜.

參數(shù)選擇分別為 ξ=0.05;Tc=25 s;P=0.85.選擇輸入規(guī)范給定的加速度反應(yīng)譜和相應(yīng)的功率譜分別如圖3、4所示.

從轉(zhuǎn)化的功率譜來看，地震輸入能量集中在18 rad/s附近，反映Ⅰ類場地類別特征，隨著譜加速度遞增，功率譜曲線成線性增加趨勢，故類似的轉(zhuǎn)化，可只將最小和最大譜加速度反應(yīng)譜轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的功率譜，然后進(jìn)行內(nèi)插值得到其他功率譜，節(jié)約轉(zhuǎn)化計(jì)算時間.

圖3 加速度反應(yīng)譜Fig.3 Acceleration response spectra

圖4 轉(zhuǎn)換功率譜Fig.4 Power spectrum transformed from response spectrum

2.3 動力特性及碰撞響應(yīng)分析

基于ANSYS的Modal模塊，采用Block Lanczos方法計(jì)算了該大橋前20階的自振頻率.本文僅考慮相鄰梁體縱向碰撞，因此，只需考慮3#橋墩頂?shù)淖笥伊后w(主橋和引橋)縱向振動參與振型.經(jīng)試算，主橋和引橋第1階縱向振動參與貢獻(xiàn)最大，因此，此處僅列前5階振型的動力特征，如表1.

表1 動力特性Tab.1 Dynamic characteristics

為了突出研究的目的，本文僅研究剛構(gòu)橋和連續(xù)梁之間主梁碰撞可靠度.假設(shè)剛構(gòu)橋和連續(xù)梁之間設(shè)置10 cm抗震縫(即間隙寬度10 cm).根據(jù)式(17)，反應(yīng)譜轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的功率譜(圖4).基于虛擬激勵法及ANSYS中的諧分析計(jì)算，獲得3號墩墩頂處左右側(cè)主梁的位移功率譜分別如圖5、6所示，梁體間相對位移的功率譜如圖7所示.

圖5 3#墩左端主梁位移功率譜Fig.5 Displacement power spectrum of left girder on No.3 pier

圖6 3#墩右端主梁位移功率譜Fig.6 Displacement power spectrum of right girder on No.3 pier

從圖5、6可知，3#橋梁墩上左右端梁體縱向位移響應(yīng)峰值分別發(fā)生在頻率點(diǎn)0.7 Hz和1.0 Hz附近.

由表1可知，縱向碰撞振動主要由主橋和引橋各自的第1階縱向振動振型參與.由于采用大質(zhì)量法的絕對位移求解動力方程，基礎(chǔ)底部布置大質(zhì)量后，解除縱向約束而產(chǎn)生附加振型［19］，因此，在圖5、6中，位移響應(yīng)峰值在結(jié)構(gòu)真實(shí)頻率附近，低于真實(shí)頻率0.71 Hz的情況應(yīng)該舍去.相鄰梁體相對位移功率譜響應(yīng)如圖7所示，相對位移功率譜峰值發(fā)生在左側(cè)主梁縱向振動(第1階)和右側(cè)引橋縱向振動(第3階)頻率處.

按照Kiureghian［18］所提方法，將響應(yīng)功率譜值轉(zhuǎn)化為峰值響應(yīng)的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，并表示相對位移響應(yīng)，如圖8所示.

隨著地震動強(qiáng)度指標(biāo)譜加速度值增大，相對位移響應(yīng)的峰值和均方根值都呈現(xiàn)線性增加趨勢.譜加速度達(dá)到0.22g時，相對位移響應(yīng)峰值為10 cm，表明梁體之間剛好不發(fā)生碰撞;譜加速度超過0.22g時，梁體之間發(fā)生碰撞;譜加速度等于1.0g時，相對位移峰值達(dá)到了45.3 cm，遠(yuǎn)超過預(yù)留間隙寬度10 cm，表明梁體間發(fā)生嚴(yán)重碰撞.基于間隙寬度來研究梁體碰撞可靠度，未考慮梁體之間碰撞后的動力響應(yīng)，梁體發(fā)生碰撞后，梁體之間相互限制其運(yùn)動，因此本文計(jì)算結(jié)果相對保守，偏于安全.

圖7 相對位移功率譜Fig.7 Relative displacement power spectrum

圖8 主梁相對位移Fig.8 Relative displacement of main girder

圖9 給出了相對位移超過間隙寬度后發(fā)生碰撞的可靠度.從圖9可知，隨著地震強(qiáng)度的不斷增大，梁體碰撞動力可靠度逐漸減小.地震動譜加速度值小于0.22g時，結(jié)構(gòu)碰撞動力可靠度為1，即未發(fā)生碰撞;譜加速度值大于0.22g時，動力可靠度下降明顯，譜加速度值為1.0g時，碰撞動力可靠度值均接近0，表明梁體發(fā)生碰撞.

圖9 主梁碰撞動力可靠度Fig.9 Pounding dynamic reliability of main girder

3 結(jié) 論

本文以反應(yīng)譜輸入為基礎(chǔ)，將反應(yīng)譜轉(zhuǎn)化為功率譜，然后利用高效的虛擬激勵法求解隨機(jī)振動的動力學(xué)方程，獲得結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)峰值的均值和均方值，最后根據(jù)首次超越理論，得到梁體間的碰撞可靠度，得到結(jié)論如下:

(1)本文提出了基于虛擬激勵法的動力碰撞可靠度計(jì)算方法，該方法在理論上繼承了虛擬激勵法的高效性和準(zhǔn)確性，避免了費(fèi)時的時程分析，節(jié)約計(jì)算時間，便于基于可靠度的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法在實(shí)際工程中的推廣應(yīng)用;

(2)快速計(jì)算不同譜強(qiáng)度下的相鄰梁體間動力響應(yīng)的峰值與其所對應(yīng)的碰撞可靠度，可快速判斷現(xiàn)有橋梁在不同強(qiáng)度地震作用下是否發(fā)生碰撞以及碰撞概率;

(3)針對所選擇的實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)，譜加速度值大于0.22g時，動力可靠度開始下降，表明結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞;譜加速度值在0.22g～1.0g之間，基于泊松假定和馬爾可夫假定的動力可靠度計(jì)算結(jié)果在10－1～10－3量級內(nèi)差別不大，前者結(jié)果略小一點(diǎn).

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