基于遺傳混合算法的二維耦合顫振方法

鄭史雄， 朱進(jìn)波， 唐 煜， 郭俊峰

(1.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都610031;2.西南石油大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，四川成都610500)

顫振理論認(rèn)為橋梁顫振是一種氣動(dòng)彈性不穩(wěn)定現(xiàn)象，當(dāng)氣流經(jīng)過不規(guī)則橋梁斷面時(shí)，流體與結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相互激勵(lì)作用，隨著來流風(fēng)速的增大，氣流對(duì)結(jié)構(gòu)的輸送能量趨近于結(jié)構(gòu)振動(dòng)所耗散的能量，表現(xiàn)為運(yùn)動(dòng)耦合方程中系統(tǒng)振動(dòng)阻尼由正值逼近0，而當(dāng)風(fēng)速超過一定值后，系統(tǒng)振動(dòng)阻尼變?yōu)樨?fù)值，橋梁振動(dòng)幅度加大并趨于運(yùn)動(dòng)發(fā)散，線性顫振發(fā)生.針對(duì)顫振現(xiàn)象的研究，Scanlan等［1-2］首先基于風(fēng)洞模型試驗(yàn)，引入顫振導(dǎo)數(shù)的概念，描述非定常氣動(dòng)自激力，應(yīng)用于振動(dòng)微分方方程中，建立了經(jīng)典的自激力框架模型［3-4］.在此模型基礎(chǔ)上，許多研究者通過求解該框架模型，研究分析結(jié)構(gòu)的顫振機(jī)理，先后提出了不同的二維顫振分析方法.

總體上，二維顫振分析方法可以分成兩類:一類求解方法是二自由度復(fù)模態(tài)特征值解法［5-6］，其基本思想是將二維顫振問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈴?fù)特征值問題，以某階模態(tài)下的阻尼比為0時(shí)，作為系統(tǒng)發(fā)散的依據(jù)，認(rèn)為顫振發(fā)生，對(duì)應(yīng)的風(fēng)速為顫振臨界風(fēng)速.該方法通過設(shè)置風(fēng)速級(jí)數(shù)量和控制復(fù)頻率的收斂性誤差，可以得到方程組的精確解.為深入了解顫振機(jī)理，分析顫振導(dǎo)數(shù)在顫振過程中的貢獻(xiàn)，Matsumot等［7-8］對(duì)一系列簡(jiǎn)單二維斷面進(jìn)行了系統(tǒng)研究，提出了另一種求解方法，即顫振分步分析法(step by step analysis);項(xiàng)海帆和楊詠昕等［9-10］在此基礎(chǔ)上提出了描述顫振自由度參與程度的合理方法，能夠定量描述顫振形態(tài).該方法以某一自由度牽連運(yùn)動(dòng)阻尼比為0作為發(fā)散的根據(jù)，基于不同自由度間的激勵(lì)-反饋原理來解耦系統(tǒng)方程，能夠研究橋梁斷面的顫振驅(qū)動(dòng)機(jī)理.

上述兩類方法都是頻率迭代方法，即在某級(jí)風(fēng)速下，選取初始的頻率值代入頻率迭代方程，求得該級(jí)風(fēng)速下的振動(dòng)頻率與系統(tǒng)的阻尼，然后又逐級(jí)變化風(fēng)速搜索直到出現(xiàn)阻尼比為0時(shí)的風(fēng)速與頻率值.丁泉順等［11］已經(jīng)指出上述兩類方法結(jié)果的一致性.近年來，研究者分別對(duì)兩類方法進(jìn)行了優(yōu)化發(fā)展，如葛耀君等［12］提出的二維顫振直接分析法就較好地提高了傳統(tǒng)復(fù)模態(tài)特征值解法的計(jì)算效率.

本文將遺傳混合算法應(yīng)用于二維二自由度耦合顫振分步分析中，提出了基于遺傳混合算法的分析方法.該方法將二維顫振分析轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼夥蔷€性方程組的問題，引入具有自組織、自適應(yīng)和自學(xué)性能的遺傳算法［13］，不需要人為選取初始頻率，自動(dòng)搜索每級(jí)風(fēng)速下全局最優(yōu)的各自由度振動(dòng)頻率解，避免了迭代算法陷入局部收斂甚至不收斂的情況.同時(shí)，為了避免在搜索最優(yōu)解時(shí)的誤差，再引入良好的最優(yōu)算法——L-M 算法［14］——進(jìn)行局部收斂修正.算例的計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了該方法的可靠度和適用性.

1 二維二自由度耦合顫振分析方法

基于Scanlan的經(jīng)典自激力框架模型，首先給出自激力作用下二維橋梁節(jié)段僅做豎向和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)方向的顫振運(yùn)動(dòng)方程:

式中:h、α分別為橋梁斷面在豎向和扭轉(zhuǎn)方向的位移;mh和I分別為結(jié)構(gòu)豎向廣義質(zhì)量和扭轉(zhuǎn)廣義質(zhì)量慣矩;ξh0和ξα0分別為結(jié)構(gòu)豎向和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的結(jié)構(gòu)阻尼比;ωh0和ωα0分別為結(jié)構(gòu)豎向和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)的結(jié)構(gòu)固有頻率，其中，廣義質(zhì)量、廣義質(zhì)量慣矩、結(jié)構(gòu)固有頻率都為常數(shù);ρ為空氣密度;v為來流平均風(fēng)速，一般可以視來流為均勻流，風(fēng)速大小根據(jù)實(shí)際情況確定;B為橋梁實(shí)際斷面寬度;i=1，2，…，4)分別為無量綱氣動(dòng)升力導(dǎo)數(shù)和氣動(dòng)力矩導(dǎo)數(shù)，被稱之為顫振導(dǎo)數(shù);K為無量綱的折減頻率，K=Bω/v，ω為系統(tǒng)振動(dòng)圓頻率.

求解上述方程時(shí)，二維二自由度耦合顫振分步分析方法將方程解耦為扭轉(zhuǎn)牽連運(yùn)動(dòng)方程和豎向牽連運(yùn)動(dòng)方程，其振動(dòng)頻率分別對(duì)應(yīng)為系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)頻率和系統(tǒng)豎向運(yùn)動(dòng)頻率.此處扭轉(zhuǎn)牽連運(yùn)動(dòng)不僅包含扭轉(zhuǎn)自由度運(yùn)動(dòng)，還包括豎向自由度運(yùn)動(dòng)，豎向牽連運(yùn)動(dòng)也是如此.

當(dāng)二維橋梁節(jié)段運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)做單自由度扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程形式變得格外簡(jiǎn)單，如式(2).

式中:Mse(α，α)為扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)自身所產(chǎn)生的氣動(dòng)力矩.

式中:Lse(h，h)為豎向運(yùn)動(dòng)自身所產(chǎn)生的氣動(dòng)力;Lse(h，α)為由豎向和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)間的激勵(lì)-反饋效應(yīng)引起的氣動(dòng)力.

因?yàn)轭澱駷樽约ぐl(fā)散振動(dòng)，對(duì)于每個(gè)牽連運(yùn)動(dòng)方程，可以轉(zhuǎn)換為自由運(yùn)動(dòng)的形式，故將式(3)和式(4)牽連運(yùn)動(dòng)方程等式右端移到等式左端，結(jié)合為自由運(yùn)動(dòng)的形式，如式(5).

至此，成功地將一個(gè)耦合的振動(dòng)系統(tǒng)解耦，系統(tǒng)是否發(fā)散取決于某一牽連運(yùn)動(dòng)方程的阻尼比.通過頻率與阻尼比迭代求解方程組(5).

系統(tǒng)豎向運(yùn)動(dòng)頻率為

系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)牽連阻尼比為

系統(tǒng)豎向牽連阻尼比為

式(6)～(9)清楚地用顫振導(dǎo)數(shù)表達(dá)出了系統(tǒng)阻尼與系統(tǒng)剛度，且能夠反映不同狀態(tài)下系統(tǒng)阻尼所包含的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)自身阻尼和各分項(xiàng)氣動(dòng)阻尼的影響貢獻(xiàn).

無量綱系數(shù)為

不同耦合運(yùn)動(dòng)間的相位差角為

式(11)可描述為將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分解為兩種牽連主運(yùn)動(dòng)，當(dāng)系統(tǒng)以某一單自由度運(yùn)動(dòng)為結(jié)構(gòu)主運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程稱為主運(yùn)動(dòng)方程，此時(shí)自激力框架下的另一方程稱為約束耦合方程，系統(tǒng)的某一單自由度運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生耦合氣動(dòng)力，并以外荷載的形式通過約束耦合方程強(qiáng)制激起橋梁節(jié)段的另一自由度的運(yùn)動(dòng)，形成的耦合氣動(dòng)力再反饋?zhàn)饔媒o主運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，構(gòu)成了各自由度運(yùn)動(dòng)之間的激勵(lì)-反饋機(jī)制［15-16］.

在式(1)～(11)的基礎(chǔ)上，通過逐級(jí)搜索的方式找尋顫振臨界點(diǎn)，具體的做法如下:風(fēng)速?gòu)某跏硷L(fēng)速開始搜索，每級(jí)風(fēng)速下求解式(6)～(7)中的系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)牽連運(yùn)動(dòng)頻率和豎向牽連運(yùn)動(dòng)頻率，計(jì)算并記錄系統(tǒng)的各自由度牽連阻尼比.隨著風(fēng)速的增加，系統(tǒng)某一自由度阻尼比由正轉(zhuǎn)負(fù)時(shí)，即認(rèn)為系統(tǒng)發(fā)生顫振，當(dāng)前風(fēng)速的大小即該系統(tǒng)發(fā)生顫振的臨界風(fēng)速.值得一提的是，上述方法計(jì)算每級(jí)風(fēng)速下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)頻率是通過給定圓頻率初值代入式(6)和式(7)中，以不動(dòng)點(diǎn)的迭代形式求得.根據(jù)上述原理，將二維二自由度耦合顫振分析法程序化，其計(jì)算流程見圖1.

圖1 傳統(tǒng)的分步分析法流程Fig.1 Flowchart of the traditional method

2 傳統(tǒng)數(shù)值解法的收斂性問題

2.1 構(gòu)建非線性方程組

采用上述方法分析時(shí)，每級(jí)風(fēng)速下的各自由度振動(dòng)頻率都需要經(jīng)過式(6)和式(7)來迭代求得，以此得到啟發(fā)，將顫振問題的分析轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庀铝卸蔷€性方程組的問題:

方程組(12)中顫振導(dǎo)數(shù)、各自由度相位差角和無量綱系數(shù)都是關(guān)于系統(tǒng)振動(dòng)圓頻率的函數(shù)，故可以表示為

式中:X=(ωh，ωα).

求解上述形式的非線性方程組時(shí)，大量數(shù)值迭代法被提出，其主要思想是通過給定的初值代入迭代公式中逐次逼近準(zhǔn)確值.文獻(xiàn)［17］中給出了很多求解迭代的方法，有基于不動(dòng)點(diǎn)迭代的簡(jiǎn)單迭代法，即原始耦合分析方法中使用的迭代法，本文中稱為原始方法，如式(6)和式(7)所示;有為了增加方程組求解收斂速度而提出的基于泰勒展開級(jí)數(shù)思想的牛頓法;同時(shí)也涌現(xiàn)出大量的改善方法，如修正牛頓法、擬牛頓法等.牛頓法及擬牛頓法等具有比簡(jiǎn)單迭代法更高的收斂效率，完全適用于本文的求解過程，此類方法統(tǒng)一稱為傳統(tǒng)方法.

2.2 傳統(tǒng)數(shù)值解法的收斂性問題

使用傳統(tǒng)方法解非線性方程組時(shí)，首先要弄清楚方程組的性質(zhì).如線性方程組Ax=b，在理論上只要A－1存在，則解存在且唯一.而對(duì)于非線性方程組而言，情況變得尤為復(fù)雜，其可以有多解、唯一解或無解，最為重要的是迭代的收斂性與所取的閉區(qū)域有關(guān)，即傳統(tǒng)方法僅具有局部收斂性.

通過一個(gè)較簡(jiǎn)單的非線性方程組來說明上述問題.

方程組(14)的真解為 x*=(0.7，0.7)，若取初值 x0=(0.1，0.1)作為初始點(diǎn)代入牛頓法［18］中收斂到點(diǎn)(1.550 7，－0.737 8)，迭代結(jié)果如圖 2 所示;若初始點(diǎn)取 x0=(0.9，0.9)或 x0=x*+0.5，則能夠收斂到精確解，迭代結(jié)果如圖3所示.

圖2 初值不在局部收斂域中的牛頓迭代法結(jié)果Fig.2 Results of the Newton iteration method with initial value not in the local convergence domain

上述類似方法都可以解決二維耦合顫振分析方法中每級(jí)風(fēng)速下頻率的計(jì)算問題，不同迭代法的優(yōu)劣性也會(huì)因Jacobian矩陣的計(jì)算和函數(shù)求值的復(fù)雜性而不同，但都僅具有局部收斂性，初值選取不利會(huì)導(dǎo)致最終的迭代結(jié)果遠(yuǎn)離真解的情況.而用選取不動(dòng)點(diǎn)迭代方法時(shí)，將式(14)迭代形式變?yōu)?/p>

圖3 初值在局部收斂域中的牛頓迭代法結(jié)果Fig.3 Results of the Newton iteration method with initial value in the local convergence domain

方程組(15)為Jacoobi迭代格式，選取多個(gè)初值都做發(fā)散變化不曾收斂，其收斂過程如圖4所示.

圖4 Jacoobi迭代格式迭代結(jié)果Fig.4 Iteration results of Jacoobi iterative format

方程組(14)也可以轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

方程組(16)為Gauss-Seidel格式，選取真解附近的初始值(0.71，0.70)，迭代過程出現(xiàn)周期震蕩性的不收斂，如圖5所示.可見簡(jiǎn)單迭代法的收斂性受迭代形式與格式的制約.

圖5 Gauss-Seidel格式迭代結(jié)果Fig.5 Iteration results of Gauss-Seidel iterative format

對(duì)于不復(fù)雜的非線性方程組，傳統(tǒng)的數(shù)值解法計(jì)算局限性都已經(jīng)很明顯了，而本文中要求解的方程組(12)很不規(guī)則，并且參數(shù)隨著風(fēng)速變化，想要從理論上研究其在某個(gè)取值區(qū)域的收斂性質(zhì)是十分困難的.嚴(yán)格來說，在方程性質(zhì)尚不明確的條件下，采用局部收斂的迭代格式(傳統(tǒng)方法)進(jìn)行求解是存在一定風(fēng)險(xiǎn)的，可能并不能收斂到真解.為規(guī)避這一風(fēng)險(xiǎn)，研究全局收斂的數(shù)值求解方法顯得很有必要.

3 遺傳混合算法

結(jié)合遺傳算法和傳統(tǒng)方法的優(yōu)點(diǎn)提出了遺傳混合算法，規(guī)避了傳統(tǒng)方法避免局部收斂甚至發(fā)散的情況.遺傳算法具有群體搜索和全局收斂性，不需要人為選取初始點(diǎn)，具有自行適應(yīng)性，克服了傳統(tǒng)算法對(duì)初始點(diǎn)的敏感性問題.同時(shí)引入L-M算法對(duì)遺傳算法計(jì)算結(jié)果下的優(yōu)良個(gè)體進(jìn)行局部搜索，克服遺傳算法局部搜索緩慢的問題.

3.1 遺傳算法

結(jié)合求解的非線性方程組，介紹遺傳算法［19］的基本步驟.首先結(jié)合方程組(13)將求解方程組等價(jià)于求解如下的最小值優(yōu)化問題:

式中:D為方程組解的區(qū)間.當(dāng)f(ω)=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的ω即為方程組的解.通常利用目標(biāo)函數(shù)來定義適應(yīng)度函數(shù)，而適應(yīng)度為非負(fù)值，適應(yīng)度值越大對(duì)應(yīng)的解越合理.所以對(duì)于求極小值問題，將目標(biāo)函數(shù)變換為適應(yīng)度函數(shù)，如式(18).

式中:C為正常數(shù).

對(duì)上述優(yōu)化問題實(shí)現(xiàn)遺傳算法求解時(shí)，需要先進(jìn)行解的編碼與解碼.由于實(shí)數(shù)編碼容易過早收斂，本文采用具有穩(wěn)定性高、種群多樣性等優(yōu)點(diǎn)的二進(jìn)制編碼，即將問題的解即系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)頻率值分別空間映射到位串空間Bl上，其中，下標(biāo)l為位數(shù)，Bl取0或1，每串編碼上的每一位稱為基因，所在位置稱為基因位.在此基礎(chǔ)上進(jìn)行遺傳算法操作，得到的解經(jīng)過解碼還原成實(shí)數(shù)解并進(jìn)行適應(yīng)度評(píng)價(jià).

遺傳算法的基本步驟及解釋:

(1)隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)個(gè)體構(gòu)成二進(jìn)制編碼的初始群體，表示為 P(0)={ω1，ω2，…，ωN}，其中ωi={ωhi，ωαi}，i=1，2，…，N，ωi被形象地稱為染色體，其上基因的組合構(gòu)成染色體不同的表現(xiàn)型.

(2)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)f(ω)計(jì)算當(dāng)前群體中各個(gè)體的適應(yīng)度，即ffit(ωi).

(3)判斷算法終止條件是否滿足，若滿足則轉(zhuǎn)(8).

(4)根據(jù)各個(gè)體的適應(yīng)度執(zhí)行選擇操作，本文采用基于各個(gè)體適應(yīng)度概率決定它們繼續(xù)繁衍還是消亡的輪盤式選擇方法.

個(gè)體的選擇概率為pi=ffit(ωi) ∑ffit(ωi)，，生成一個(gè)［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù) r，若 p1+p2+…+pi－1＜r＜p1+p2+…+pi，則選擇個(gè)體 i.

(5)按交叉概率pc執(zhí)行交叉操作.將選擇操作后的某兩個(gè)父代個(gè)體的部分片段加以替換重組形成新的子代，在二進(jìn)制編碼中選擇交叉點(diǎn)，體現(xiàn)為部分字符串的互換.

(6)按變異概率pm執(zhí)行變異操作.以一定的概率選擇父代個(gè)體的某一基因座，通過改變?cè)摶蜃幕蜃兓癁樾聜€(gè)體，在二進(jìn)制編碼中體現(xiàn)為某段字符串的取反，即若原來為0，則變?yōu)?，若為1則取0.

(7)若已得到由N個(gè)新個(gè)體構(gòu)成的新一代群體，則轉(zhuǎn)(2)，否則轉(zhuǎn)(4).

(8)輸出搜索結(jié)果，終止.

綜上，遺傳算法［19］可以形式化描述為

式中:l為二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度，取決于解的取值范圍和精度要求;

s為選擇、交叉和變異的策略方法;

g為遺傳算子，通常包括交叉算子和變異算子;

p為遺傳算子的執(zhí)行概率，通常包括交叉概率和變異概率;

f為適應(yīng)度函數(shù);

t為迭代次數(shù)即最大進(jìn)化代數(shù)或者終止準(zhǔn)則.

依照上述流程，根據(jù)相關(guān)經(jīng)驗(yàn)選取種群規(guī)模、染色體長(zhǎng)度、最大進(jìn)化代數(shù)、交叉概率和變異概率等遺傳參數(shù)，能夠有效地找出非線性方程組(12)的全局最優(yōu)解.

3.2 L-M 算法

遺傳算法雖有很好的全局收斂性，但局部搜索能力較差，在接近準(zhǔn)確解時(shí)，搜索進(jìn)程變得緩慢甚至停止.本文引入基于約束最小二乘思想的L-M算法對(duì)遺傳算法求出的近似解進(jìn)行局部修正.首先與方程組(17)相同，確定求解目標(biāo)函數(shù):式中:F(ω)=(f1(ω)，f2(ω))T，ω=(ωh，ωα)T.

設(shè)已知第 k次的迭代點(diǎn)ωk，則由泰勒公式可知:Δ

fu(ω)≈fu(ωk)+(fu(ωk))T(ω－ωk)，u=1，2.所以 F(ω)≈F(ωk)+A(ωk)(ω－ωk).其中:

記 Ak=A(ωk)，則有

式中:dk=ω－ωk.

記 φ(ω)=［Akdk+F(ωk)］T［Akdk+F(ωk)］，那么求解φ(ω)的極小點(diǎn)則近似原問題的極小點(diǎn).而為克服雅克比矩陣的奇異致線性搜索得不到進(jìn)一步下降，故將目標(biāo)函數(shù)(20)轉(zhuǎn)為如式(23)的信賴域模型.

式中:hk為信賴域半徑.

這個(gè)方程的解可由解如式(24)得到.

適當(dāng)調(diào)整 λk，保持 AT(ωk)A(ωk)+λkI正定，從而

若 (AT(ωk)A(ωk))－1AT(ωk)F(ωk) ≤ hk，則 λk=0;否則 λk＞0.由于 AT(ωk)A(ωk)+λkI正定，從而式(25)產(chǎn)生的方向一直是下降方向，最終能夠搜索到精確解.

該算法結(jié)合傳統(tǒng)高斯-牛頓法和梯度下降法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)增加對(duì)角元改善雅克比矩陣奇異性，避免了傳統(tǒng)的Gauss-Newton算法不迭代情況，其快速的局部搜索能力得以充分發(fā)揮，具有很強(qiáng)的適用性.

3.3 遺傳混合算法的應(yīng)用

遺傳算法擁有強(qiáng)大的全局搜索能力，其理論比較成熟且得到了數(shù)學(xué)上的證明，已然逐步應(yīng)用到工程實(shí)踐領(lǐng)域，而L-M算法克服了雅克比矩陣奇異的問題且擁有較快的收斂速度，兩種方法組合的遺傳混合算法成為一種可行高效的方法.基于遺傳混合算法的二維二自由度耦合分步分析方法的思路如下:

(1)以系統(tǒng)振動(dòng)頻率為未知數(shù)，根據(jù)式(10)和式(11)分別表示各個(gè)相位角與無量綱量.

(2)以折算頻率表示各顫振導(dǎo)數(shù).若風(fēng)速已知，則顫振導(dǎo)數(shù)僅與系統(tǒng)振動(dòng)頻率有關(guān).

(3)輸入風(fēng)速v.

(4)求解關(guān)于系統(tǒng)頻率的二元非線性方程組(12).首先應(yīng)用遺傳算法全局搜索最優(yōu)近似解，其次將近似解作為L(zhǎng)-M算法迭代的初始點(diǎn)做局部精細(xì)搜索.

(5)將求解的系統(tǒng)頻率精確解代入式(8)和式(9)中計(jì)算系統(tǒng)阻尼比.若阻尼比都大于0，則風(fēng)速增加一個(gè)定值Δv，返回(3)，重新計(jì)算;若某一阻尼比等于0，則程序終止，對(duì)應(yīng)風(fēng)速為顫振臨界風(fēng)速.

4 數(shù)值算例

為驗(yàn)證上述顫振直接分析方法的可靠性和適用性，用該方法對(duì)一平板的耦合顫振問題進(jìn)行分析，并將分析結(jié)果與傳統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)迭代分析方法的結(jié)果進(jìn)行比較.

二自由度平板斷面基本參數(shù)如下:豎向振動(dòng)的固有頻率為0.120 1 Hz，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的的固有頻率為0.280 1 Hz，斷面寬度 B=38.8 m，每米長(zhǎng)度廣義質(zhì)量m=22 600 kg/m，廣義質(zhì)量慣性矩 Im=3 667 100 kg·m2/m，空氣密度 ρ=1.225 kg/m3，結(jié)構(gòu)豎向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)阻尼比均取為0.005，平板的顫振導(dǎo)數(shù)采用Theodorsen解［20］.分別用上述兩種方法進(jìn)行運(yùn)算，顫振分析結(jié)果列于表1，隨風(fēng)速變化的系統(tǒng)振動(dòng)頻率與阻尼比如圖6～7所示.

從圖6～7和表1中數(shù)據(jù)可知，在取定的多個(gè)檢測(cè)風(fēng)速節(jié)點(diǎn)處，本文方法與傳統(tǒng)方法的計(jì)算結(jié)果誤差都低于0.1‰，結(jié)果幾乎一致，對(duì)應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速完全一致.而本文建立的遺傳混合算法，由于具有全局收斂的先天優(yōu)勢(shì)，故更適宜應(yīng)用于大跨度橋梁的顫振分析中.

表1 橋梁斷面顫振分析結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison results of the bridge flutter analysis

圖6 隨風(fēng)速變化的系統(tǒng)振動(dòng)圓頻率比較Fig.6 System vibration frequency with the changing wind speed

圖7 隨風(fēng)速變化的系統(tǒng)牽連阻尼比比較Fig.7 System damping ratio with the changing wind speed

5 結(jié) 論

通過對(duì)傳統(tǒng)的二維二自由度耦合分步分析方法中數(shù)學(xué)問題的研討，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用其中的數(shù)值迭代方法存在局部收斂性的問題.

將二維二自由度耦合顫振分析轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼怅P(guān)于系統(tǒng)振動(dòng)頻率的非線性方程組問題，使得求解的方式多元化.引入了不需要自行選取初始值的遺傳混合算法進(jìn)行全局搜索和局部精細(xì)收斂運(yùn)算，建立基于遺傳混合算法的二維耦合顫振分步分析方法.

理論推導(dǎo)與算例分析均表明，本文所提出的基于遺傳混合算法的二維耦合顫振分步分析方法具有精度高、無條件收斂的優(yōu)點(diǎn).

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