并聯(lián)系統(tǒng)分布預(yù)測控制

張舒展，趙東亞，朱全民

(中國石油大學(xué)(華東)化學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266580)

0 引言

分布式模型預(yù)測控制(distributed model predictive control,DMPC)是為了避免控制器計算負(fù)擔(dān)過重而提出的一類新型預(yù)測控制方式[1-3]。過程網(wǎng)絡(luò)按照結(jié)構(gòu)分解后，分為串聯(lián)和并聯(lián)兩種基本的連接形式[4-6]。并聯(lián)系統(tǒng)，例如全混流反應(yīng)器(continuous stirring tank reactor，CSTR)乙醇生產(chǎn)過程控制系統(tǒng)[7-9]。其特點是各個子系統(tǒng)之間都存在信息和能量的耦合，在工藝和結(jié)構(gòu)上存在干擾與競爭，其狀態(tài)矩陣為全系數(shù)矩陣，優(yōu)化問題需要考慮競爭關(guān)系。目前，關(guān)于并聯(lián)系統(tǒng)分布式預(yù)測控制問題的研究鮮有報道。

本文結(jié)合并聯(lián)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)，提出了一種新型并聯(lián)系統(tǒng)生產(chǎn)過程的分布式預(yù)測控制算法。該算法考慮了并聯(lián)系統(tǒng)的競爭性耦合，保證了優(yōu)化問題的可行性和穩(wěn)定性。以燃?xì)忮仩t供暖系統(tǒng)為例，驗證了該算法的有效性和可行性。

1 問題描述

并聯(lián)系統(tǒng)物理模型如圖1所示。整個系統(tǒng)包含N個子系統(tǒng)。每個子系統(tǒng)都有一個DMPC，并具有對應(yīng)的子系統(tǒng)控制律uN。每個子控制器之間通過控制網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行信息交流。系統(tǒng)的控制目標(biāo)是使每個子系統(tǒng)輸出跟蹤設(shè)定值，并實現(xiàn)系統(tǒng)整體最優(yōu)控制。

圖1 并聯(lián)系統(tǒng)物理模型圖

并聯(lián)過程的特點是每個子系統(tǒng)與其他各子系統(tǒng)的輸入存在耦合。

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：

定義1 若子系統(tǒng)i與子系統(tǒng)j在整個系統(tǒng)中并聯(lián)于同一條總線，在滿足常規(guī)約束的同時，由于總線資源一定，則||ui||+||uj||≤||u||稱為競爭性耦合的線性約束。

對于傳遞函數(shù)矩陣，可以采用傳統(tǒng)的集中式預(yù)測控制。當(dāng)子系統(tǒng)較多時，會導(dǎo)致控制器計算負(fù)擔(dān)過重。分布式預(yù)測控制通過多個控制器協(xié)調(diào)工作，可較大程度地提高系統(tǒng)的工作效率?？紤]Na個子系統(tǒng)及參考目標(biāo)的動態(tài)方程如下：

xi(k+1)=Aixi(k)+Biui(k)i∈Na

(1)

式中：xi∈Rn和ui∈Rm分別為子系統(tǒng)i(參考目標(biāo))的可測狀態(tài)和控制輸入；Na為指標(biāo)集。

在k時刻，各子系統(tǒng)i的成本函數(shù)為：

(2)

式中：zij為第i個子系統(tǒng)與第j個子系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測偏差；zir為第i個子系統(tǒng)與第r個子系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測偏差；uir為第i個子系統(tǒng)與第r個子系統(tǒng)的輸入預(yù)測偏差；Pi(k)為終端權(quán)重矩陣；Qi(k)和Ri為相應(yīng)的局部權(quán)重矩陣。

(3)

全局權(quán)重矩陣R=diag{R1，R2， …，RNa}∈RmNa，Q(k)=GW(k)GT∈R(Na×Na)，其中，G=[G1,G2,…,GNa]∈Rn(Na×M)為指定的全局通信耦合關(guān)系矩陣，G′=[gpqIn]∈Rn(Na×Mi)，W(k)=diag{W1(k)，W2(k),…,WNa(k)}∈Rn(M×M)為k時刻的全局權(quán)值矩陣。

(4)

(5)

第i個子系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為：

(6)

整個過程可以由狀態(tài)方程(7)和輸出方程(8)描述：

(7)

(8)

式(2)、式(7)和式(8)表明了并聯(lián)結(jié)構(gòu)中各子系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系。

2 分布式預(yù)測控制設(shè)計

在分布式預(yù)測控制中，采用以下條件(即終端約束條件)來保證系統(tǒng)穩(wěn)定性：

(9)

式中：εi(k)和Pi(k)分別為待定的標(biāo)量和終端控制律；Si為滿足diag{S1,…,SN}≥G的任意正定矩陣；xi和uir分別為子系統(tǒng)i的狀態(tài)和輸入約束集。

令Ωi(N|k)={xi(N|k)}表示子系統(tǒng)i在k時刻的終端約束集。

(10)

(11)

由于各子系統(tǒng)通過求解優(yōu)化問題來計算當(dāng)前時刻的控制輸入，因此，設(shè)計預(yù)測控制器需要保證優(yōu)化問題在任意時刻都有可行解[10-19]，即遞歸可行性。

定理1 針對并聯(lián)系統(tǒng)(1)，在式(9)的約束下，設(shè)計式(11)的控制率。如果式(10)在k=0時刻可解的條件下，對給定有限時域T>0，基于并聯(lián)系統(tǒng)的分布式預(yù)測控制算法在任意k>0時刻收斂。

上述定理保證了優(yōu)化問題的遞歸可行性和多子系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，即保證了控制器的有效性?；谝陨辖Y(jié)論，為各個子系統(tǒng)設(shè)計如下分布式預(yù)測控制應(yīng)用算法。

3 并聯(lián)燃?xì)忮仩t供暖系統(tǒng)仿真

為了驗證算法的有效性，本文選擇了燃?xì)忮仩t供暖系統(tǒng)這一并聯(lián)過程進(jìn)行仿真。系統(tǒng)簡化物理模型如圖2所示[19-21]。

圖2 系統(tǒng)簡化物理模型圖

動態(tài)特性分析如下。

單獨考慮用戶1時，有：

c(uik)ΔT=cQ1(Tin1-Tout1)

(12)

Rn1c(u1k)ΔT=Tin1-Tout1

(13)

經(jīng)過拉式變換，得到：

Tin1(s)=csΔTRnu(s)+Tout1(s)

(14)

設(shè)Kn=ckΔTRn，得到：

Tin1(s)=Knu(s)+Tout1(s)

(15)

整體考慮用戶室內(nèi)散熱，可以得到二次網(wǎng)供水、回水的熱量損失等于室內(nèi)空氣及墻體熱量獲取和窗口熱量散失。

(16)

(17)

(18)

本文以二次網(wǎng)回水溫度為被控量，傳遞函數(shù)為：

(19)

以上公式中：Q1為二次網(wǎng)流量;Tin1、Tout1分別為用戶1二次網(wǎng)進(jìn)水與回水溫度，Tout1=T1；ΔT為一次網(wǎng)供水溫度與回水溫度之差；M為室內(nèi)物質(zhì)總體加權(quán)質(zhì)量；c′為室內(nèi)物質(zhì)總體加權(quán)比熱；r1為窗口傳熱系數(shù)；S1為窗口散熱面積；T′為室外溫度。

根據(jù)供暖系統(tǒng)二次網(wǎng)回水溫度，進(jìn)行模型參數(shù)識別試驗，測量得到回水溫度數(shù)據(jù)。多次采集溫度數(shù)據(jù)并取平均。

根據(jù)采集到的數(shù)據(jù)，將溫升曲線離散化，求出階躍響應(yīng)曲線，建立預(yù)測模型。系統(tǒng)以二次網(wǎng)回水溫度為被控量，以雙通閥開度為控制量，采樣周期Ts=500 s，采樣長度N=100，預(yù)測長度P=25，控制時域M=1。如果采用分布式預(yù)測控制，對20組子系統(tǒng)進(jìn)行仿真，前兩組子系統(tǒng)的分布式預(yù)測控制仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 分布式預(yù)測控制仿真結(jié)果圖

從圖3可以看出，兩個并聯(lián)用戶都可以較快地達(dá)到需要的溫度，兩者區(qū)別僅僅在于控制作用不同，控制效果幾乎相同。由此可見，該分布式預(yù)測控制對于這類并聯(lián)系統(tǒng)具有良好的控制效果，算法計算時間為1.35 s。如果采用PID控制同樣的系統(tǒng)，前兩組子系統(tǒng)的PID控制仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 PID控制仿真結(jié)果圖

并聯(lián)過程的分布式預(yù)測控制采用PID控制算法，算法計算時間為2.04 s。如果采用集中式預(yù)測控制同樣系統(tǒng)，前兩組子系統(tǒng)的集中式預(yù)測控制仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 集中式預(yù)測控制仿真結(jié)果圖

分布式預(yù)測控制與集中式預(yù)測控制性能相當(dāng)，但分布式預(yù)測控制算法的計算時間為1.86 s，比分布式預(yù)測控制算法的計算時間長。

4 結(jié)束語

并聯(lián)系統(tǒng)是過程連接最基本的形式之一。本文針對并聯(lián)系統(tǒng)的全系數(shù)耦合與線性約束問題，研究了分布式預(yù)測控制算法。根據(jù)并聯(lián)系統(tǒng)的各個子系統(tǒng)的輸出與各子系統(tǒng)輸入競爭性的特點，采用迭代分布式預(yù)測控制算法，解決了并聯(lián)系統(tǒng)的全系數(shù)耦合問題。在此基礎(chǔ)上，提出了并聯(lián)系統(tǒng)分布式預(yù)測控制器算法。根據(jù)其迭代計算條件，得出各子系統(tǒng)競爭性的平衡關(guān)系。在優(yōu)化問題中考慮了線性約束，保證了優(yōu)化問題的遞歸可行性和整個系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。通過對燃?xì)忮仩t供暖系統(tǒng)的仿真[20-22]，驗證了該方法的可行性和有效性。

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