利用廣義雙曲正切-余切方法求分?jǐn)?shù)階Cahn-Allen方程的行波解

尹偉石，蔡銘，楊栩智，馮玉玲

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022；2.東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)春 130024）

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是描述一些物理現(xiàn)象的有力工具。最近幾年在分?jǐn)?shù)階微積分理論的研究中發(fā)現(xiàn)非整數(shù)階的導(dǎo)數(shù)在描述很多物理現(xiàn)象時(shí)是十分有效的，比如阻尼法則和擴(kuò)散過(guò)程。分?jǐn)?shù)階偏微分方程在描述一些具有記憶過(guò)程或遺傳性質(zhì)的現(xiàn)象以及一些具有特異性質(zhì)的材料時(shí)更具優(yōu)勢(shì)。分?jǐn)?shù)階微積分方面的一些基礎(chǔ)性的工作是由Kilbas和Trujillo［1］，Caputo［2］等人做出的。Manafian和Lakestan［3］應(yīng)用廣義雙曲正切-余切方法解出了一些非線性的偏微分方程的確切解。文獻(xiàn)［4］使用廣義雙曲正切-余切方法和廣義（G/G'）展開(kāi)法求出了具有可積性的6階Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota系統(tǒng)的確切解。在文獻(xiàn)［5，6］中，作者應(yīng)用函數(shù)變量法，指數(shù)函數(shù)法以及（G/G'）展開(kāi)法解出了在改進(jìn)的Riemann-Liouville意義下的分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解。Yasar和Giresunlu［7］則利用展開(kāi)法來(lái)解決非線性時(shí)-空分?jǐn)?shù)階偏微分方程。Hariharan［8］利用Haar小波法構(gòu)造出Cahn-Allen方程的解析解。Tascan與Bekir［9］使用首次積分法解Cahn-Allen方程并得出了包含孤波解以及周期波解的結(jié)果。本文主要考慮Ju、marie［10］改進(jìn)的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下的分?jǐn)?shù)階Cahn-Allen方程，利用廣義雙曲正切-余切方法來(lái)求其行波解。

1 求解Cahn-Allen方程

近年有關(guān)相變理論中相場(chǎng)模型的研究備受矚目。由于其數(shù)學(xué)內(nèi)涵的豐富性以及復(fù)雜程度，加上其在材料科學(xué)之中的應(yīng)用，因此有關(guān)相場(chǎng)模型的研究無(wú)論是在理論意義還是實(shí)際意義下都是十分值得的。相場(chǎng)理論中的基本模型有四種，分別是：Cahn-Allen方程，Cahn-Hillard方程，Penrose-Fife系統(tǒng)Cagnalp系統(tǒng)，其中Cahn-Allen方程的一般形式如下：

考慮0＜α≤1以及t=1的情況，即只考慮時(shí)間分?jǐn)?shù)階的情形。下面對(duì)非線性的分?jǐn)?shù)階Cahn-Allen方程作變換那么原方程可化為

將上式代入（2）式，得到：

那么解的形式最終為：

則有以下的代數(shù)式：Φk的系數(shù)：

利用Mathematica解出所要求的未知量，其中p,q,r為自由未知量。由于解的情況比較有規(guī)律，可將解的情況分為以下兩類：

第一類解的情況：這一類解實(shí)際上包括8組不同的解，但由于不同解之間往往只有符號(hào)的差別，所以將其統(tǒng)一寫(xiě)成以下形式。

（1）p,q,r≠0

此時(shí)有四個(gè)解：

第二類解的情況：此時(shí)解可以寫(xiě)為：

同樣可以分為以下四種情況：

（1）p,q,r≠0

此時(shí)有四個(gè)解：

2 數(shù)值算例

為了更好地研究Cahn-Allen方程的行波解的性質(zhì)，本節(jié)將部分繪制出所求解的圖像。由于所求得的解之中含有參數(shù)且解之中出現(xiàn)了，因此需先選定參數(shù)的值并且保證Δ＞0。令p=3,q=2,r=1，i=j=0，此時(shí)有Δ=p2-4qr=1。對(duì)于參數(shù)為0的情況將單獨(dú)討論。

考慮第一類解的第一種情況，由于u1,u2為復(fù)函數(shù)，暫不考慮。

由圖1與圖2可以看出u3和u4的函數(shù)值在某一帶狀區(qū)域變化特別明顯，其他區(qū)域的變化則較為平緩。這一帶狀區(qū)域起點(diǎn)位于（0，0）附近，隨著t的增大，此區(qū)域向x軸的負(fù)方向移動(dòng)，且隨著α的增大，移動(dòng)的速度相應(yīng)變大。此外，由于u3和u4之間的函數(shù)性質(zhì)存在差異，因此它們?cè)谶@一帶狀區(qū)域的變化情況存在一定的差異。u3在這一區(qū)域是連續(xù)的且函數(shù)是在x方向是遞增的，且有在此區(qū)域存在間斷點(diǎn)且函數(shù)從這一區(qū)域向x軸的兩個(gè)方向遞減，且有

下面考慮第二類解的情況，參數(shù)如上。結(jié)果如圖3與圖4所示。從這里可以看出，這些圖像與圖1與圖2中所列的圖像是相似的，在這里分別將兩種情況下的u3和u4作差，取絕對(duì)值后做圖像如圖5（其中α=0.25）。從圖像上可以看出兩類解在x=0處的差異較為明顯。通過(guò)數(shù)值算例可以發(fā)現(xiàn)，本方法計(jì)算的結(jié)果符合文獻(xiàn)［11］中對(duì)Cahn-Allen方程行波解的漸進(jìn)估計(jì)。

圖1 u3的圖像（從左至右依次是α=0.25,0.5,0.75的情況

圖2 u4的圖像（從左至右依次是α=0.25,0.5,0.75的情況

圖3 u3的圖像（從左至右依次是α=0.25,0.5,0.75的情況

圖4 u4的圖像（從左至右依次是α=0.25,0.5,0.75的情況

圖5 兩種情況下函數(shù)的差的圖像

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本文可以看出廣義雙曲正切-余切方法對(duì)于求解Cahn-Allen方程的行波解是十分有效的，而且其得出的解無(wú)論是在數(shù)學(xué)還是物理方面都有其特殊的意義。此外還可以將此方法推廣到其他類型的分?jǐn)?shù)階偏微分方程的求解之中，從而更好地闡釋物理學(xué)、工程學(xué)和其他應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)的復(fù)雜現(xiàn)象。

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