全概率公式與概率加法定理的關(guān)系

郝曉燕

【摘要】求概率問題是概率論中的一個(gè)基礎(chǔ)而重要內(nèi)容，而對所求事件的分析是求概率問題的難點(diǎn)，能夠準(zhǔn)確分析所求概率的事件對解決求概率問題起著非常關(guān)鍵的作用，而全概率公式是概率論中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，其難主要是難在學(xué)生往往不知道什么時(shí)候用全概率公式，即對全概率公式的使用條件模糊不清，判斷不準(zhǔn)，經(jīng)常與概率加法定理混淆.本文在給出全概率公式和概率加法定理的基礎(chǔ)上，分析全概率公式和概率加法定理的使用條件，進(jìn)一步澄清二者的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】全概率公式；概率加法定理；互斥

一、基礎(chǔ)知識(shí)

（一）求概率的基本步驟

1.審清題意，搞清關(guān)系；

2.明確所求概率的事件，并將其設(shè)作A；

3.分析事件A：

（?。┦录嗀不可以再分，只能把它看作單個(gè)事件來分析，考慮用古典定義或者是考慮用全概率公式來求.如果用古典定義來求，必須明確樣本空間是什么，以及樣本空間中的基本事件總數(shù)與所求事件所包含的事件數(shù)；如果用全概率公式來求，就要確定互不相容的完備事件組是什么，再用全概率公式進(jìn)行計(jì)算.

（ⅱ）事件A的發(fā)生意味著幾個(gè)事件都發(fā)生，此時(shí)該事件可以表示成某些個(gè)事件的交事件，再進(jìn)一步分析這些事件是否相互獨(dú)立.如果獨(dú)立，就可以利用獨(dú)立事件的交事件的概率等于這些事件的概率的乘積；如果不獨(dú)立，這些事件的交事件就需要用概率乘法定理計(jì)算.

（ⅲ）事件A的發(fā)生意味著幾個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生，此時(shí)該事件可以表示某些個(gè)事件的并，再進(jìn)一步分析這些事件是否互斥，即是否可以同時(shí)發(fā)生.如果互斥，就可以利用互斥事件并事件的概率等于這些事件概率之和來求；如果不互斥，這些事件的并事件的概率就需要用概率加法定理計(jì)算.

（ⅳ）條件概率，使用條件概率的計(jì)算公式即可計(jì)算.

4.計(jì)算各個(gè)事件的概率進(jìn)而得出所求事件的概率；

5.作答.

（二）全概率公式和概率加法定理

1.概率加法定理[1]：

（三）全概率公式和概率加法定理的使用條件

1.概率加法定理的使用條件：當(dāng)所求概率的事件是兩個(gè)或者多個(gè)事件中至少有一個(gè)事件發(fā)生，此時(shí)就用概率加法定理進(jìn)行求解.

2.全概率公式的使用條件：兩次試驗(yàn)概型，即所求概率的事件與兩次試驗(yàn)有關(guān)，第一次試驗(yàn)的結(jié)果直接影響第二次試驗(yàn)發(fā)生某事件的可能性大小.

【參考文獻(xiàn)】

[1]沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]盛聚，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001.endprint