不同失穩(wěn)判據(jù)下邊坡穩(wěn)定性的規(guī)律性

王飛陽　潘泓

摘要：

以塑性區(qū)貫通、位移增量突變、計算不收斂3種邊坡失穩(wěn)判據(jù)為依據(jù)，采用強度折減有限元法和重度增加有限元法對簡單邊坡進行了分析。結(jié)果表明：以邊坡潛在滑動面上某點位移增量突變作為邊坡失穩(wěn)判據(jù)是準確的；對于不同土體強度參數(shù)下，以位移增量關(guān)系曲線突變?yōu)榕袚?jù)得到的邊坡的安全系數(shù)較另外兩種方法穩(wěn)定；對應(yīng)于塑性區(qū)貫通、位移增量曲線突變和計算不收斂的3種判據(jù)，邊坡潛在滑動面依次向深層發(fā)展，邊坡的安全系數(shù)依次增加。

關(guān)鍵詞：

強度折減法；重度增加法；邊坡安全系數(shù)；等效塑性應(yīng)變；位移增量

中圖分類號：TU43

文獻標志碼：A文章編號：16744764（2016）06001007

Abstract：

Under the slope failure criterion based on the breakthrough of the plastic zone， the mutation of displacement increment of slope and calculation convergence， strength reduction FEM and gravity increase FEM are used to analyze the stability of simple slope. Studies indicate that it is accurate to regard the mutation of displacement increment of slope as slope failure criterion； slope safety factor for different strength parameters based on the criterion of mutation of displacement increment is more stable than based on the other two failure criterion. According to three failure criteria， the breakthrough of the plastic zone， the mutation of displacement increment of slope and calculation convergence， the potential slip surface is in turn to develop in depth， and the safety factor of the slope is increased in turn.

Keywords：

strength reduction method； gravity increase method； slope safety factor； equivalent plastic strain； displacement increment

邊坡的穩(wěn)定性、地基承載力、支護結(jié)構(gòu)的土壓力問題是土力學(xué)中三大經(jīng)典問題。其中，邊坡的穩(wěn)定性問題主要包括邊坡安全系數(shù)的定義、邊坡安全系數(shù)的求解及滑動面的確定。目前，邊坡穩(wěn)定性分析最常用的兩種方法是極限平衡法和有限元分析法。極限平衡法應(yīng)用最廣的是條分法，條分法是通過假定條塊間的相互作用力及滑動面的位置，求得邊坡的最小安全系數(shù)及相應(yīng)滑動面。有限元分析法無法直接求取邊坡的安全系數(shù)，需要和其他方法諸如極限平衡法、強度折減法、蒙特卡洛法等相結(jié)合求解邊坡的安全系數(shù)及相應(yīng)的滑動面。

文獻[13]通過有限元分析計算得到邊坡的真實應(yīng)力場，然后根據(jù)極限平衡法求得邊坡穩(wěn)定的安全系數(shù)及相應(yīng)的滑動面。文獻[4]對有限元邊坡穩(wěn)定分析法中的強度折減法和滑面應(yīng)力分析法進行了探討，認為兩種方法的安全系數(shù)定義均是基于強度折減法的概念，并且兩種方法得到的安全系數(shù)及相應(yīng)的滑動面形狀和位置均十分接近。文獻[5]根據(jù)有限元與臨界滑動面搜索相結(jié)合的思想提出了蒙特卡洛法與有限元相結(jié)合的方法，克服了多數(shù)優(yōu)化方法容易陷入局部最小的問題，且基于有限元—強度折減法所得的安全系數(shù)及相應(yīng)的滑動面與基于極限平衡法所得的安全系數(shù)及相應(yīng)的滑動面均較一致。文獻[3，67]采用有限元法計算得到的邊坡安全系數(shù)普遍要大于極限平衡法計算得到的結(jié)果，文中還指出有限元不需假定條分間的相互作用力，因此結(jié)果更加合理。文獻[8]認為將有限元數(shù)值計算不收斂性作為破壞的判別標準，物理意義不明確且具有很大的人為因素。文獻[9]為了克服將解不收斂作為破壞標準的缺點，利用有限元軟件的圖形的可視化技術(shù)繪制出邊坡廣義剪應(yīng)變的分布圖，將某一幅值廣義剪應(yīng)變自坡腳到坡頂貫通作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)，并用實例證實了這一判別標準的可行性。文獻[4，10]認為塑性應(yīng)變從坡腳到坡頂貫通并不意味著邊坡失穩(wěn)，還要看塑性變形和位移不可控，因此，塑性區(qū)貫通是邊坡破壞的必要不充分條件。文獻[1011]均建議用邊坡土體變形的變化規(guī)律作為邊坡失穩(wěn)破壞的依據(jù)。

目前，對不同失穩(wěn)判據(jù)下邊坡安全系數(shù)的規(guī)律及有限元法如何確定滑動面還缺乏研究。筆者采用強度折減法及最近幾年盛行的重度增加法[12]，對簡單均質(zhì)邊坡在3種常見的邊坡失穩(wěn)判據(jù)下的安全系數(shù)進行了對比分析，并繪制出不同判據(jù)下邊坡的潛在滑動面，最后分析了摩擦角和粘聚力對邊坡安全系數(shù)的影響。另外，本文對不同判據(jù)下簡單均質(zhì)邊坡潛在滑動面的位置進行了分析，為不同土體參數(shù)下邊坡失穩(wěn)判據(jù)的選擇提供參考。

1邊坡失穩(wěn)判據(jù)

根據(jù)引言邊坡失穩(wěn)判據(jù)的綜述，可將目前常用的邊坡失穩(wěn)判據(jù)歸納為3類：1）將有限元計算不收斂作為邊坡破壞的標志；2）以塑性應(yīng)變從坡腳到坡頂貫通作為邊坡失穩(wěn)的標志；3）以邊坡內(nèi)某點變形的變化規(guī)律作為邊坡失穩(wěn)的標志。endprint

以有限元計算不收斂作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)物理意義不明確，受人為因素的影響，主要是因為多數(shù)有限元軟件有多種收斂標準可供選擇，收斂誤差也可以調(diào)整。對于不同的收斂標準或收斂誤差，有限元分析得到的邊坡的安全系數(shù)也會不同。

對于第2種判據(jù)中的塑性應(yīng)變應(yīng)用最廣泛的就是等效塑性應(yīng)變，所謂等效塑性應(yīng)變即為整個變形過程中總的塑性應(yīng)變的大小。等效塑性應(yīng)變從坡腳到坡頂?shù)呢炌ū砻髟谶吰轮行纬闪素炌ǖ乃苄詭?，但由于土體為復(fù)雜的彈塑性材料，但等效塑性應(yīng)變的貫通與邊坡失穩(wěn)并非完全等效。有的學(xué)者提出了采用幅值塑性應(yīng)變的貫通作為邊坡破壞的依據(jù)，但由于幅值塑性應(yīng)變很難確定，采用幅值塑性應(yīng)變反而不能取得更好的效果。

而以邊坡內(nèi)某點變形的變化規(guī)律包括邊坡內(nèi)某點位移的變化規(guī)律和邊坡內(nèi)某點塑性應(yīng)變的變化規(guī)律。以邊坡內(nèi)某點塑性應(yīng)變突變作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)不能與實測資料進行對比，一方面，邊坡的監(jiān)測一般是位移的監(jiān)測；另一方面，塑性應(yīng)變突變點的位置與位移監(jiān)測的位置有所不同，邊坡位移監(jiān)測的控制點一般在坡面和坡頂位置，而塑性應(yīng)變的突變點通常位于邊坡內(nèi)部的塑性區(qū)。而以邊坡位移的突變作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)可以將計算結(jié)果與監(jiān)測資料進行對比，更加直觀地反映邊坡所處的狀態(tài)。另外，為了考慮強度折減或重度增加的影響，本文選取邊坡內(nèi)某點位移增量與強度折減系數(shù)（重度增加系數(shù)）的比值與強度折減系數(shù)（重度增加系數(shù)）的關(guān)系曲線作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)。

根據(jù)上述分析，為了研究不同邊坡失穩(wěn)判據(jù)對強度折減法和重度增加法的影響，筆者選取以下3種邊坡失穩(wěn)判據(jù)：1）有限元計算不收斂；2）等效塑性應(yīng)變貫通；3）邊坡內(nèi)某點位移增量與強度折減系數(shù)（重度增加系數(shù)）的比值和強度折減系數(shù)（重度增加系數(shù)）關(guān)系曲線（以下簡稱位移增量關(guān)系曲線）的突變。

2邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)

工程中，邊坡一般是具有一定安全儲備的穩(wěn)定邊坡。邊坡的穩(wěn)定性分析的提法：施加怎樣的外界干擾，才能使一個穩(wěn)定的邊坡達到極限平衡狀態(tài)。穩(wěn)定邊坡達到極限平衡狀態(tài)的方法有兩種：1）重度增加法：通過增加荷載，使邊坡處于極限平衡狀態(tài)；2）強度折減法：通過折減土體抗剪強度，使邊坡達到極限平衡狀態(tài)。

Bishop[13]首次給出了極限平衡法邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)的定義

K1=τfτ（1）

強度折減法邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)

ct=cK2φt=arctantan φK2 （2）

重度增加法安全系數(shù)的定義

K3=gg0 （3）

式中：g、g0分別為增加的重力加速度和重力加速度。強度折減法安全系數(shù)定義與Bishop所提出的極限平衡法邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)的定義是一致的[8，14]，鄭斌等認為基于有限元—強度折減法得到的邊坡穩(wěn)定性的安全系數(shù)與基于極限平衡法邊坡穩(wěn)定的安全系數(shù)是一致的。而重度增加法采用的安全系數(shù)是指荷載增大系數(shù)，強度折減法所得到的安全系數(shù)實際上是邊坡的安全儲備系數(shù)。

與優(yōu)化搜索相結(jié)合的邊坡穩(wěn)定性有限元法、滑面應(yīng)力法等，其邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)定義為沿滑動面的抗滑力之和與滑動力之和的比值，即

K4=∫sτf dl∫sτdl（4）

式中：τ為沿潛在滑動面任意一點的剪應(yīng)力；τf該點處法向正應(yīng)力對應(yīng)的抗剪強度。文獻[4，8]指出按照式（4）定義的邊坡安全系數(shù)K4表示邊坡整體達到極限平衡狀態(tài)時沿著相應(yīng)的潛在滑動面邊坡安全系數(shù)的平均值。

本文主要采用的邊坡穩(wěn)定性有限元法為強度折減法和重度增加法，其對應(yīng)邊坡安全系數(shù)的定義為式（2）和式（3）。從其定義式中可以發(fā)現(xiàn)兩種方法得到的邊坡的安全系數(shù)具有本質(zhì)的區(qū)別；從邊坡失穩(wěn)的機理上，邊坡失穩(wěn)破壞時，兩種方法最終計算結(jié)果中邊坡土體所處的應(yīng)力水平不同，土體的強度也不同。由上述分析可知，重度增加法和強度折減法得到的邊坡的安全系數(shù)是有所不同的。

3算例

3.1工程概況

采用文獻[2，15]中的算例，采用ABAQUS有限元分析軟件。某均質(zhì)邊坡，邊坡具體尺寸及網(wǎng)格劃分如圖1所示，坡角β=45°，土體容重20 kN/m3，粘聚力c=40 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°。

考慮到相關(guān)聯(lián)流動法則會高估土的剪脹性，所以選用非相關(guān)聯(lián)的屈服準則，剪脹角ψ=0°。ABAQUS中MohrCoulomb模型通過指定粘聚力c與等效塑性應(yīng)變之間的關(guān)系來控制粘聚力c的大小，從而控制屈服面大小的變化，即硬化或軟化，本例不予考慮。

3.3有限元計算結(jié)果及分析

3.3.1有限元計算不收斂

ABAQUS計算不收斂時，強度折減法和重度增加法等效塑性應(yīng)變見圖2。有限元計算不收斂的標志是以程序終止計算，強度折減法得到的邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)為1.34，而重度增加法得到的邊坡安全系數(shù)為1.56。

以計算不收斂作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)時，強度折減法土體強度為原來的1～1.34倍，重度增加法則將土體重度增加1.56倍。從圖2中可以看出，強度折減法邊坡的等效塑性應(yīng)變要遠大于重度增加法邊坡的等效塑性應(yīng)變。其主要原因是兩種方法計算不收斂時，土體的強度不同，邊坡所處的應(yīng)力水平也是不同的，這也使得兩種方法得到的邊坡的安全系數(shù)有較大的差異。

3.3.2等效塑性應(yīng)變貫通

從圖2可以看出重度增加法計算不收斂時，邊坡的等效塑性應(yīng)變尚未貫通，因此，本例無法以等效塑性應(yīng)變貫通作為重度增加法判斷邊坡失穩(wěn)的依據(jù)。

圖3為強度折減法分析得到的邊坡的等效塑性應(yīng)變貫通過程圖。由圖可知邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)為1.27，這一值比以計算不收斂作為判斷標準邊坡安全系數(shù)小了5%。其原因是等效塑性應(yīng)變的貫通并不意味著邊坡的破壞。邊坡的破壞表示沿滑動面產(chǎn)生無限大的流動塑性應(yīng)變，而等效塑性應(yīng)變的貫通顯然是邊坡破壞的必要條件而非充分條件。因此，以等效塑性應(yīng)變貫通作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)得到的安全系數(shù)要小于以計算不收斂得到的邊坡的安全系數(shù)。endprint

3.3.3位移增量關(guān)系曲線

在重度增加法計算不收斂之前，位移增量關(guān)系曲線沒有明顯的突變點，因此本例無法將位移增量關(guān)系曲線作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)。

圖4為強度折減法計算得到位移增量關(guān)系曲線。由圖中位移增量與折減系數(shù)比值的突變點，可知邊坡穩(wěn)定性安全系數(shù)為1.28，這一數(shù)值在以計算不收斂得到的安全系數(shù)1.34和以等效塑性應(yīng)變貫通得到的安全系數(shù)1.27的中間。

由圖4及有限元后處理分析結(jié)果可知，以等效塑性應(yīng)變貫通為邊坡失穩(wěn)判據(jù)，邊坡的安全系數(shù)為1.27，對應(yīng)的邊坡位移增量與折減系數(shù)的比值為18×10-5m；以位移增量關(guān)系曲線為邊坡失穩(wěn)判據(jù)，邊坡的安全系數(shù)為1.28，對應(yīng)的邊坡位移增量與折減系數(shù)的比值為2.5×10-2m；而以計算不收斂為邊坡失穩(wěn)判據(jù)時，邊坡的安全系數(shù)為1.34，對應(yīng)的邊坡位移增量與折減系數(shù)的比值為4.1 m。3種失穩(wěn)判據(jù)下，邊坡位移增量與折減系數(shù)的比值的變化很大。

3.5邊坡失穩(wěn)時的滑動面

邊坡的失穩(wěn)是由于滑動面上產(chǎn)生了無限發(fā)展的流動塑性應(yīng)變，因此，筆者據(jù)此采用等效塑性應(yīng)變的等值線獲取邊坡破壞時的滑動面。具體做法：利用ABAQUS的可視化處理方法，繪制出邊坡的等效塑性應(yīng)變等值線圖，其中最大等效塑性應(yīng)變的連線即為滑動面的位置。

根據(jù)上述過程繪制出不同失穩(wěn)判據(jù)下邊坡的潛在滑動面，見圖5。圖5（a）～（c）邊坡的安全系數(shù)逐漸增加，相應(yīng)的邊坡的潛在滑動面逐漸向深層發(fā)展，且邊坡潛在滑動面上最大的等效塑性應(yīng)變由80×10-2增加到4.6×10。圖5（b）中邊坡潛在滑動面上最大的等效塑性應(yīng)變?yōu)閳D5（a）中的2.4倍，而與圖5（b）相比，圖5（c）中邊坡潛在滑動面上最大等效塑性應(yīng)變增加了24倍。從圖5（a）～（c），邊坡失穩(wěn)時最大塑性應(yīng)變依次增加，邊坡潛在滑動面依次向深層發(fā)展，邊坡的安全系數(shù)也依次有所增加。

4材料參數(shù)對邊坡的安全系數(shù)的影響

本節(jié)模型選取算例中模型，土體參數(shù)以粘聚力c=30 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°為基本參數(shù)，粘聚力變化范圍1～40 kPa，摩擦角變化范圍1°～40°。

不同判據(jù)下，邊坡安全系數(shù)隨粘聚力和摩擦角的變化規(guī)律分別見圖6、圖7。

當c=30 kPa時，當摩擦角較大時以計算不收斂為判據(jù)得到的邊坡的安全系數(shù)略大于以位移增量突變?yōu)榕袚?jù)得到的邊坡的安全系數(shù)；當摩擦角較小時，以計算不收斂為判據(jù)得到的邊坡的安全系數(shù)跳躍性很大，是不準確的；當摩擦角很小時，邊坡出現(xiàn)等效塑性應(yīng)變貫通，以等效塑性應(yīng)變貫通為判據(jù)得到的邊坡安全系數(shù)比以位移增量突變?yōu)榕袚?jù)得到的邊坡的安全系數(shù)小很多（圖7）。

由以上分析可知：對于簡單均質(zhì)邊坡，以位移增量突變?yōu)榕袚?jù)得到的邊坡的安全系數(shù)較其他方法穩(wěn)定，因此，以位移增量關(guān)系曲線突變?yōu)榕袚?jù)得到的邊坡的安全系數(shù)是可靠的。而當摩擦角較小時，以計算不收斂為判據(jù)得到的邊坡的安全系數(shù)比其他方法大數(shù)倍，且邊坡已產(chǎn)生很大的變形，早已破壞。當粘聚力較大或摩擦角較小時，邊坡才會出現(xiàn)等效塑性應(yīng)變貫通，其計算結(jié)果與其他判據(jù)下邊坡的安全系數(shù)基本一致。因此，筆者建議在邊坡的分析時，綜合利用多種判據(jù)對邊坡的穩(wěn)定性分析。

5結(jié)論

采用強度折減法和重度增加法對簡單均質(zhì)邊坡進行了分析，并得出不同失穩(wěn)判據(jù)下邊坡的安全系數(shù)及潛在滑動面的位置，從中得出以下結(jié)論：

1）將邊坡潛在滑動面上某點位移增量與強度折減系數(shù)的比值突變作為邊坡破壞的判據(jù)更加準確。從算例中得到位移增量與強度折減系數(shù)的比值突變作為邊坡失穩(wěn)的判據(jù)與極限平衡法得到的安全系數(shù)相接近。

2）強度折減法和重度增加法邊坡安全系數(shù)的定義和破壞時土體的強度參數(shù)及應(yīng)力水平不同，兩種方法得到的邊坡的安全系數(shù)沒有可比性。

3）對應(yīng)于等效塑性應(yīng)變貫通、位移增量曲線突變和計算不收斂的3種判據(jù)，邊坡失穩(wěn)時最大塑性應(yīng)變依次遞增，同時，邊坡潛在滑動面依次向深層發(fā)展，邊坡的安全系數(shù)也依次有所增加。

4）對于不同的土體參數(shù)，以位移增量關(guān)系曲線突變?yōu)榕袚?jù)得到的簡單均質(zhì)邊坡的安全系數(shù)較另外兩種方法穩(wěn)定。

以等效塑性應(yīng)變貫通作為邊坡破壞的判據(jù)可以較為直觀的得到邊坡的安全系數(shù)，但原則上等效塑性應(yīng)變貫通與邊坡失穩(wěn)并非完全等效。另外，如何能夠使重度增加法和強度折減法得到的結(jié)果具有可比性，可以從兩種方法安全系數(shù)的定義考慮，使其統(tǒng)一起來。重度增加法由于與傳統(tǒng)意義上的荷載放大系數(shù)方法較為一致，具有廣泛的應(yīng)用前景。

參考文獻：

[1]

張?zhí)鞂? 土坡穩(wěn)定分析和土工建筑物的邊坡設(shè)計[M]. 成都：成都科技大學(xué)出版社， 1987.

ZHANG T B. Slope stability analysis and slope design of geotechnical structures [M]. Chengdu： Chengdu University of Science and Technology Press， 1987. （in Chinese）

[2] 孫小三. 邊坡穩(wěn)定性的條分法與有限元法耦合分析[D]. 杭州：浙江大學(xué)， 2005.

SUN X S. Couple analysis of slice method and finite element method for slope stability [D]. Hangzhou： Zhejiang University， 2005.（in Chinese）

[3] 曾亞武， 田偉明. 邊坡穩(wěn)定性分析的有限元法與極限平衡法的結(jié)合[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2005， 24（2）： 53555359.

ZENG Y W， TIAN W M. Slope stability analysis by combining FEM with limit equilibrium method [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2005， 24（2）： 53555359.（in Chinese）endprint

[4] 趙杰， 邵龍?zhí)? 平面應(yīng)變條件下兩類有限元邊坡穩(wěn)定分析方法比較研究[J]. 大連理工大學(xué)學(xué)報， 2007， 47（6）： 873879.

ZHAO J， SHAO L T. Comparison of two kinds of finite element methods for slope stability analysis under plane strain condition[J]. Journal of Dalian University of Technology， 2007， 47（6）： 873879.（in Chinese）

[5] 李育超， 凌道盛. 蒙特卡洛法與有限元相結(jié)合分析邊坡穩(wěn)定性[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2005， 24（11）： 19331941.

LI Y C， LING D . Slope stability analysis using Monte Carlo technique with FEM [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2005， 24（11）： 19331941. （in Chinese）

[6] 馬建勛， 賴志生. 基于強度折減法的邊坡穩(wěn)定性三維有限元分析[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2004， 23（16）： 26902693.

MA J X， LAI Z S. 3D FEM analysis of slope stability based on strength reduction method [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2004，23（16）： 26902693. （in Chinese）

[7] 張魯渝，鄭穎人. 有限元強度折減系數(shù)法計算土坡穩(wěn)定安全系數(shù)的精度研究[J]. 水利學(xué)報， 2003（1）： 2127.

ZHANG L Y， ZHENG Y R. The feasibility study of strength reduction method with FEM for calculating safety factors of soil slope stability [J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2003（1）： 2127.（in Chinese）

[8] 鄭宏， 田斌. 關(guān)于有限元邊坡穩(wěn)定性分析中安全系數(shù)的定義問題[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報， 2005， 24（13）： 22252230.

ZHENG H， TIAN B. On definitions of safety factor of slope stability analysis with finite element method [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2005， 24（13）： 22252230. （in Chinese）

[9] 連鎮(zhèn)營， 韓國城， 孔憲京. 強度折減有限元法研究開挖邊坡的穩(wěn)定性[J].巖土工程學(xué)報， 2001， 23（4）： 407 411.

LIAN Z Y， HAN G C， KONG X J. Stability analysis of excavation by strength reduction FEM [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2001， 23 （4）： 407411. （in Chinese）

[10] 康亞明， 楊明成. 基于重度增加法的邊坡穩(wěn)定性三維有限元分析[J]. 建筑科學(xué)與工程學(xué)報， 2006， 23（4）：4953.

KANG Y M， YANG M C. 3D FEM analysis of slope stability based on gravity increase method [J]. Journal of Architecture and Civil Engineering， 2006， 23（4）：4953. （in Chinese）

[11] 徐衛(wèi)亞， 肖武. 基于強度折減和重度增加的邊坡破壞判據(jù)研究[J]. 巖土力學(xué)， 2007， 28（3）： 505511.

XU W Y， XIAO W. Study on slope failure criterion based on strength reduction and gravity increase method[J]. Rock and Soil Mechanics， 2007， 28（3）： 505511（in Chinese）

[12] LI L C， TANG C A.N analysis of slope stability based on the gravity increase method [J]. Computers and Geotechnics， 2009， 36： 12461258.

[13] BISHOP A W. The use of the slip circle in the stability analysis of slopes[J]. Geotechnique， 1995， 5（1）： 717.

[14] 趙尙毅， 鄭穎人， 時衛(wèi)民， 等. 用有限元強度折減法求邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)[J]. 巖土工程學(xué)報， 2002， 24（3）： 333336.endprint

ZHAO S Y， ZHENG Y R， SHI W M， et al. Analysis of safety factor of slope stability by strength reduction FEM [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2002， 24（3）： 333336. （in Chinese）

[15] 遲世春， 關(guān)立軍. 基于強度折減的拉格朗日差分方法分析土坡穩(wěn)定性[J]. 巖土工程學(xué)報，2004， 26（1）： 4246.

CHI S C，GUAN L J. Slope stability analysis by Lagrangian difference method based on strength reduction[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2004， 26（1）： 4246. （in Chinese）

[16] DAWSON E， YOU K， PARK Y. Strengthreduction stability analysis of rock slopes using the hoekbrown failure criterion[J]. Asce Geotechnical Special Publication， 2000，290：6577.

[17] PANTELIDIS L， GRIFFITHS D V. Stability assessment of slopes using different factoring strategies[J]. Journal of Geotechnical & Geoenvironmental Engineering， 2012， 138（9）：11581160.

[18] ZHAO L， YANG F， ZHANG Y， et al. Effects of shear strength reduction strategies on safety factor of homogeneous slope based on a general nonlinear failure criterion[J]. Computers & Geotechnics， 2015， 63：215228.

（編輯王秀玲）endprint