淺談離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法

趙偉斌+楊小輝

【摘要】離散數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)重要的基礎(chǔ)課程，具有理論性強(qiáng)、知識點(diǎn)離散、概念抽象和邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn).通過該課程的學(xué)習(xí)可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯思維能力.本文從離散數(shù)學(xué)特點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)和教學(xué)方式方法等方面，探討如何學(xué)好離散數(shù)學(xué)課程.

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué)；離散量；數(shù)學(xué)模型

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的理論基礎(chǔ)，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的核心課程.離散數(shù)學(xué)研究各種離散量之間的關(guān)系，課程內(nèi)容具有離散性、抽象性、邏輯性和可行性的特點(diǎn).由于許多學(xué)生認(rèn)識不到該課程對于后續(xù)計(jì)算機(jī)課程的重要性，缺乏學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動性.也有學(xué)生對于如何運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)解決實(shí)際問題理解不夠深刻.因此，正確掌握本課程的教學(xué)方法，對培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力和分析問題和解決問題的能力具有重要意義.本文主要針對離散數(shù)學(xué)的理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐教學(xué)方法進(jìn)行初步探討.

一、明確離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)側(cè)重點(diǎn)

一般來說，計(jì)算機(jī)求解實(shí)際問題的步驟包括實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)建模、算法設(shè)計(jì)和編程實(shí)現(xiàn)，而離散數(shù)學(xué)正是利用離散結(jié)構(gòu)對實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)合適的算法并論證算法的有效性，編寫高效的程序解決問題.現(xiàn)階段本科院校計(jì)算機(jī)專業(yè)教學(xué)中，普遍增加了計(jì)算機(jī)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，因此，離散數(shù)學(xué)課程的理論學(xué)習(xí)課時有所減少.要在較短的時間內(nèi)加強(qiáng)離散數(shù)學(xué)課程的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，科學(xué)掌握離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法就顯得尤為重要.

離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容一般包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論四個部分.數(shù)理邏輯的重點(diǎn)是公式演算與推理證明，是自動機(jī)理論、編譯原理和人工智能的理論課程基礎(chǔ).集合論的重點(diǎn)是研究集合、關(guān)系和函數(shù)，這章內(nèi)容是研究數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和關(guān)系型數(shù)據(jù)庫的理論基礎(chǔ).代數(shù)結(jié)構(gòu)主要運(yùn)用代數(shù)方法研究客觀事物的各種性質(zhì)和特征，有代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)性質(zhì)、群、同構(gòu)與同態(tài)、格等知識點(diǎn)，是研究計(jì)算機(jī)編碼和糾錯碼以及數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).圖論著重研究圖、連通性、圖的矩陣表示、歐拉圖、平面圖、樹等知識點(diǎn)，也是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)[1-2].根據(jù)不同院校對計(jì)算機(jī)專業(yè)的培養(yǎng)要求和后續(xù)課程設(shè)置，學(xué)生每個章節(jié)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)也應(yīng)有所側(cè)重.

二、掌握科學(xué)的離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

（一）注重離散數(shù)學(xué)知識要點(diǎn)的歸納總結(jié)

離散數(shù)學(xué)的四部分內(nèi)容相對獨(dú)立，公式概念多且抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時會感覺知識點(diǎn)比較分散或碎片化.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)時要邊學(xué)習(xí)邊思考邊總結(jié)歸納，結(jié)合自身所學(xué)的其他相關(guān)計(jì)算機(jī)課程，將所學(xué)的知識點(diǎn)歸納成系統(tǒng)的知識體系.通過對具有規(guī)律性的內(nèi)容的歸納整理，學(xué)生也可以理清概念，理解規(guī)范表達(dá)、嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)和概括抽象的意義，逐步形成自己的學(xué)習(xí)理解和分析方法.例如，在數(shù)理邏輯的學(xué)習(xí)中，命題邏輯與謂詞邏輯中的概念公式、等值演算和推理理論，有很多共通點(diǎn)可以歸納比較和總結(jié)，加深記憶.又如，通過樹的等價命題證明，可將頂點(diǎn)之間的路徑、回路、連通、橋等概念進(jìn)行系統(tǒng)歸納，加深理解.

（二）注重理論知識與生活實(shí)際的聯(lián)系

離散數(shù)學(xué)課程涵蓋了數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論中的大量概念，深刻理解這些概念是學(xué)好這門課程的關(guān)鍵.初學(xué)者往往感覺這些概念過于抽象，難以與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題建立聯(lián)系.而事實(shí)上，離散數(shù)學(xué)課程中的很多知識都有著實(shí)際的背景和應(yīng)用.

例如，現(xiàn)準(zhǔn)備在圖1的7個居民點(diǎn)v1，v2，…，v7中設(shè)置一銀行.問設(shè)在哪個點(diǎn)最合理？要建兩個銀行呢？

此問題的理論基礎(chǔ)是圖論中的最短路徑問題，改進(jìn)后變成全局最短路徑問題.建設(shè)一個銀行時，可采用Floyd算法.先建立此無向圖的鄰接矩陣（權(quán)矩陣），使用Floyd算法生成最短路徑矩陣.再比較生成矩陣每列的和，取最小值.即可找出建造一個銀行時的最佳建造點(diǎn)[3].建造兩個銀行時，仍以Floyd算法為基礎(chǔ)，求出最短路徑矩陣.采用枚舉法，以循環(huán)的方式比較建設(shè)在v1，v2點(diǎn)，v1，v3點(diǎn)，v1，v4點(diǎn)等的最短路徑的大小.以對稱矩陣的形式輸出最短路徑的值.通過這一實(shí)際問題的解決，學(xué)生可以系統(tǒng)了解和掌握圖論這一章節(jié)的相關(guān)知識點(diǎn).

又如，利用層次分析法求解旅游地點(diǎn)的選擇問題，可將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C和方案層P.每層有若干個元素，各層元素間的關(guān)系用直線相連.通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重.最后將兩組權(quán)重進(jìn)行綜合分析，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重.所以，在學(xué)習(xí)概念之前先引入一個相關(guān)的實(shí)際問題，將定性分析與定量分析有機(jī)結(jié)合，可以加深學(xué)生對特征向量和一致性檢驗(yàn)的理解與掌握[4]，達(dá)到事半功倍的效果.

（三）注重離散數(shù)學(xué)課程的實(shí)踐教學(xué)

離散數(shù)學(xué)課程實(shí)驗(yàn)是加深理論學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，能培養(yǎng)學(xué)生分析問題和動手解決問題的能力.離散數(shù)學(xué)課程中有許多有趣的問題，如出差派遣問題、船夫過河問題、工作調(diào)度和安排問題、航空調(diào)度和航班設(shè)定問題、交通規(guī)劃與管理問題、工程工序管理問題、地面鋪磚問題、網(wǎng)絡(luò)布局問題、投資組合問題等.這些問題的求解都要求學(xué)生首先了解問題的背景知識，然后掌握相關(guān)的建模技巧和求解方法，最后通過編寫程序進(jìn)行求解.

課程實(shí)踐教學(xué)中可在每章安排一些簡單的編程練習(xí)，如集合的并、交合差運(yùn)算、關(guān)系矩陣的n次冪運(yùn)算、按圖的關(guān)系矩陣求圖中各節(jié)點(diǎn)的出入度、最小生成樹、最短路徑等，通過這些練習(xí)使學(xué)生對利用現(xiàn)有模型進(jìn)行編程具有初步的概念和認(rèn)識.

對于需要自行建模求解的問題，可采用分組完成的模式.如，某地區(qū)的交通規(guī)劃與管理問題，涉及哪些地方哪些時段比較阻塞？哪些地方應(yīng)設(shè)置單行道？立交橋和紅綠燈應(yīng)如何設(shè)置才最合理？這類問題需要考慮的因素較多，或涉及多個章節(jié)甚至其他學(xué)科的知識點(diǎn)，采用小組做題的形式能更好地發(fā)揮各成員的特長，鍛煉組員溝通與合作能力.通過實(shí)踐教學(xué)，不但能加深學(xué)生對概念的理解，也能提高學(xué)生的建模和編程能力，學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)操作的積極性也能得到有效提高.

（四）利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)強(qiáng)化學(xué)習(xí)和知識點(diǎn)延伸

離散數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)教學(xué)方式受課程教學(xué)學(xué)時限制，教師與學(xué)生很難開展有效的互動.基于網(wǎng)絡(luò)的教學(xué)平臺能利用校園網(wǎng)的優(yōu)勢，使網(wǎng)上資源共享、課后答疑成為可能，極大地提高教學(xué)效率.在離散數(shù)學(xué)的課后學(xué)習(xí)中，可以利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺進(jìn)行師生間的教學(xué)互動.教師可將授課視頻、課件和重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)共享到平臺，課程教學(xué)可回放，方便學(xué)生復(fù)習(xí)和教學(xué)存檔.學(xué)生可在平臺中將學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和疑惑發(fā)布到論壇，得到同學(xué)和教師的及時解答.在此基礎(chǔ)上，任課教師可以隨時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)動態(tài)，完善教學(xué)計(jì)劃，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度.教師也可以進(jìn)行知識點(diǎn)的適當(dāng)延伸，鼓勵學(xué)生挑戰(zhàn)其中的一些實(shí)際問題，既能鞏固課堂知識，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.

三、結(jié)束語

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，也是計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生認(rèn)為比較難學(xué)的課程之一.離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對于后續(xù)課程，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫原理、編譯原理和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等課程具有重要的影響.正確掌握學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的方法，對于培養(yǎng)計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)用理論解決實(shí)際問題的能力具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]耿素云，屈婉玲.離散數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]左孝凌.離散數(shù)學(xué)[M].上海：上海科技文獻(xiàn)出版社，2003.

[3]張曉明，戴波，趙國慶，等.計(jì)算機(jī)專業(yè)能力架構(gòu)設(shè)計(jì)及其在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)教育，2014（20）：65-69.

[4]孫嵐，王一蕾，吳英杰.離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法探討[J].計(jì)算機(jī)教育，2012（1）：57-59.endprint