金融衍生品數(shù)學(xué)理論綜述

馬軍

[提要] 文章主要介紹各種數(shù)學(xué)理論方法在金融衍生品中的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：金融衍生品；數(shù)學(xué)理論

中圖分類號：F83 文獻標(biāo)識碼：A

收錄日期：2017年12月6日

一、金融衍生品簡介

金融衍生品，是指一種金融合約，其價值取決于一種或多種基礎(chǔ)資產(chǎn)或指數(shù)，合約的基本種類包括遠(yuǎn)期、期貨、掉期（互換）和期權(quán)。金融衍生品還包括具有遠(yuǎn)期、期貨、掉期（互換）和期權(quán)中一種或多種特征的混合金融工具。這種合約可以是標(biāo)準(zhǔn)化的，也可以是非標(biāo)準(zhǔn)化的。標(biāo)準(zhǔn)化合約是指其標(biāo)的物（基礎(chǔ)資產(chǎn)）的交易價格、交易時間、資產(chǎn)特征、交易方式等都是事先標(biāo)準(zhǔn)化的，因此此類合約大多在交易所上市交易，如期貨。非標(biāo)準(zhǔn)化合約是指以上各項由交易的雙方自行約定，因此具有很強的靈活性，比如遠(yuǎn)期協(xié)議。金融衍生產(chǎn)品是與金融相關(guān)的派生物，通常是指從原生資產(chǎn)派生出來的金融工具。

二、金融衍生品數(shù)學(xué)理論綜述

金融衍生品在現(xiàn)代金融市場中扮演著非常重要的角色，如何合理地對金融衍生品定價變得越來越重要。傳統(tǒng)的金融模型主要用隨機微分方程來描述標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化過程。然而，隨著行為金融學(xué)的興起，越來越多的學(xué)者認(rèn)識到金融市場中資產(chǎn)價格變化并不完全表現(xiàn)為隨機性。在實證研究中的眾多發(fā)現(xiàn)也表明，用隨機微分方程來描述股票價格是不合適的，如在實證中人們發(fā)現(xiàn)標(biāo)的資產(chǎn)的價格變化與來自于隨機微分方程中的正態(tài)性假設(shè)是不一致的。在現(xiàn)實的金融實踐活動中，投資者的信度常常扮演著重要的角色并且影響著市場的表現(xiàn)。

在金融領(lǐng)域中，衍生品扮演著越來越重要的角色。衍生品是由某種更為基本的標(biāo)的資產(chǎn)派生出來的產(chǎn)品，其標(biāo)的變量往往是某種交易資產(chǎn)的價格。例如，股票期權(quán)是由股票派生出來的金融衍生產(chǎn)品。隨著金融創(chuàng)新的發(fā)展，許多新的關(guān)于股權(quán)、利率、匯率等的衍生產(chǎn)品出現(xiàn)在金融市場中。其他諸如保險衍生品、氣候衍生品、信用衍生品的交易也都非?；钴S。金融衍生品的出現(xiàn)，為金融市場中的投資者和交易者提供了投機和套利的機會，以及對沖風(fēng)險的工具，金融衍生品在風(fēng)險轉(zhuǎn)移的過程中也起著相當(dāng)關(guān)鍵的作用。

隨著數(shù)理金融學(xué)的發(fā)展，對證券價格過程的描述從馬爾科夫過程到獨立增量過程，再到（幾何）布朗運動，為連續(xù)時間金融定價理論的發(fā)展提供了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。然而，越來越多的研究表明，市場并非想象中的那么完美，資產(chǎn)價格過程未必是連續(xù)的，對數(shù)回報率的分布并不都是正態(tài)的，而且存在“尖峰厚尾”現(xiàn)象。因此，對原有理論的拓展，尤其是對被尊稱為“第二次華爾街革命”的Black-Scholes定價理論的改進成為最近20年來的數(shù)理金融理論的關(guān)注重點之一。

隨著最近幾十年不連續(xù)隨機分析理論的完善，越來越多的研究工作開始用列維過程或者其他帶跳的隨機過程來模擬金融市場的波動，并推動了數(shù)理金融學(xué)理論新的發(fā)展。特別值得一提的是，通過引入更多的參數(shù)，方差伽瑪（VG）過程在數(shù)學(xué)上有很好的性質(zhì)，并且已經(jīng)被證明可以解釋一些經(jīng)濟現(xiàn)象：數(shù)學(xué)上，與布朗運動不同，方差伽瑪過程是有限變差過程，并且增量的分布有著尖峰和厚尾性；經(jīng)濟學(xué)上，基于指數(shù)方差伽瑪模型的期權(quán)定價方法可以解決經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價模型中的“波動率微笑”困境；并且在信用違約互換的定價中，方差伽瑪模型很好地刻畫了實際市場中的信用溢價曲線。

1900年，法國學(xué)者巴謝利耶在他的博士論文《投機理論》中，第一次給出了布朗運動的嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述，并對股票價格作算數(shù)布朗運動假設(shè)，這宣告了數(shù)理金融學(xué)的誕生。但遺憾的是，在20世紀(jì)的上半葉，金融學(xué)基本上是描述性的，其基本的分析范式是用會計和法律工具來分析公司的財務(wù)報表及金融要求權(quán)的性質(zhì)，這直接導(dǎo)致在長達半個多世紀(jì)的時間內(nèi)，巴謝利耶和他的著作一直被埋沒而沒有引起金融學(xué)界的重視。直到65年后，薩繆爾森通過統(tǒng)計學(xué)家薩維奇重新發(fā)現(xiàn)了巴謝利耶的工作，隨后引起了數(shù)理金融學(xué)理論發(fā)展的兩次里程碑式的革命，并對數(shù)理金融學(xué)研究的主要內(nèi)容奠定了基調(diào)：（1）金融風(fēng)險的度量；（2）未定權(quán)益的定價；（3）最優(yōu)投資消費決策。

1952年，馬柯維茨在他的博士論文《投資組合》中，用資產(chǎn)價值的波動率來刻畫風(fēng)險，建立了資產(chǎn)組合選擇理論的“均值-方差模型”；然而，當(dāng)貨幣主義學(xué)派的鼻祖、日后的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主弗里德曼將其準(zhǔn)備答辯的畢業(yè)論文斥之為非經(jīng)濟學(xué)后，馬柯維茨不得不引入馮·諾依曼-摩根斯坦利期望效用公理體系來改進模型。恰恰是這個當(dāng)時看似無奈的改進，開創(chuàng)了數(shù)理金融學(xué)理論的重要分支——最優(yōu)投資消費決策理論。隨后，夏普和林特納進一步拓展了馬柯維茨的工作，提出“資本資產(chǎn)定價模型”（CAPM模型）。為此，馬柯維茨和夏普獲得了1990年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，他們的工作也被稱為“第一次華爾街革命”。

1944年，日本數(shù)學(xué)家伊藤給出隨機分析中具有重大意義的伊藤積分的定義，并和列維、維納等數(shù)學(xué)家一起，開創(chuàng)和拓展了處理隨機變量之間變化規(guī)律的隨機微積分基本定理，從而為第二次數(shù)理金融學(xué)革命奠定了理論基礎(chǔ)。1973年，布萊克和斯科爾斯默頓基于市場無套利假設(shè)給出了著名的Black-Scholes公式，即標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)價格顯示解，從而極大地激發(fā)了在理論研究和實際工作中大量運用隨機分析的熱情。隨后考克斯開創(chuàng)了基于無套利的風(fēng)險中性定價方法，隨著哈里森和帕里斯卡、哈里森和克瑞普斯等杰出論文的發(fā)表，較理論在數(shù)理金融中占據(jù)了主導(dǎo)地位，從而確立了數(shù)理金融理論的另一個重要分支——未定權(quán)益定價理論。因此，斯科爾斯和默頓獲得了1997年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，他們的研究工作也被稱為“第二次華爾街革命”。與此同時，默頓和布里登使用貝爾曼開創(chuàng)的動態(tài)規(guī)劃方法和伊藤隨機分析技術(shù)，重新考察了不確定環(huán)境下的最優(yōu)消費/投資決策問題，獲得了連續(xù)時間跨期資源配置的一般均衡模型（ICAPM模型）和消費資產(chǎn)定價模型（CCAPM模型），從而推廣了原先比較靜態(tài)的均值-方差模型。

從數(shù)理金融學(xué)的發(fā)展歷程可以看出，未定權(quán)益定價理論的基礎(chǔ)是“有效市場假說”，即證券價格遵循隨機游走，市場是一個鞍或“公平博弈”；而對證券價格過程的描述從馬爾科夫過程到獨立增量過程，再到（幾何）布朗運動，為連續(xù)時間金融定價理論的發(fā)展提供了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具?？梢哉f，“有效市場假說”和“證券價格過程的隨機刻畫”，是數(shù)理金融理論發(fā)展的基礎(chǔ)。然而，1987年華爾街的“黑色星期一”，特別是1998年美國長期資本管理公司（LTCM）的慘敗驚醒了華爾街的金融學(xué)家們：市場并非如他們想象的那么完美，資產(chǎn)價格過程未必是連續(xù)的，對數(shù)回報率的分布未必是正態(tài)的，套利也未必不存在，而當(dāng)市場發(fā)生重大事件時，無套利假設(shè)更是一種虛幻。因此，對原有理論的拓展，甚至對基本假設(shè)的改進成為最近20年來的數(shù)理金融理論的關(guān)注重點。

其實早在1965年，F(xiàn)ama就指出金融工具資產(chǎn)回報的分布比正態(tài)分布具有更高的峰度并呈現(xiàn)出“厚尾”現(xiàn)象，特別在高頻數(shù)據(jù)或資產(chǎn)剩余持有期較短的時候更加明顯。傳統(tǒng)的Black-Scholes模型存在著著名的“波動率的微笑”和“偏斜”等問題，而且由于違約事件的發(fā)生往往是突然的，不可能通過連續(xù)的資產(chǎn)價格過程來描述，因此最近幾十年越來越多的研究工作開始用列維過程或者其他帶跳的隨機過程來模擬金融市場的波動，推動了數(shù)理金融學(xué)理論新的發(fā)展。

1976年，Merton首次引入跳擴散過程來刻畫資產(chǎn)價格回報的動態(tài)變化，并推導(dǎo)出歐式期權(quán)價格的表達式；隨后分別給出了跳擴散模型下含違約風(fēng)險的債券和資產(chǎn)證券化的定價方法。類似的工作還有方差伽瑪（VG）模型、雙曲模型、NIG模型廣義雙曲模型、Meixner模型、CGMY模型等。與此同時，不連續(xù)情形下的最優(yōu)投資消費決策問題的研究也層出不窮：基于蒙特卡羅方法給出了多維方差伽瑪模型下的（靜態(tài)）投資組合最優(yōu)化問題的求解；假設(shè)股票價格變化服從半軼過程，通過對數(shù)效用最大化給出最優(yōu)的投資組合；假設(shè)股票價格遵循指數(shù)Levy過程，分別給出了冪效用、對數(shù)效用和指數(shù)效用最大化的投資組合顯式解；探討了指數(shù)Levy模型下，基于特殊效用函數(shù)（如HARA效用）的最優(yōu)交易策略和資產(chǎn)配置問題。

特別值得一提的是，1987年Madan首次將方差伽瑪（VG）過程引入金融建模，發(fā)現(xiàn)VG分布相比原來的正態(tài)分布更準(zhǔn)確地刻畫了資產(chǎn)的對數(shù)收益率。在之后20余年里，大量學(xué)者研究了基于指數(shù)方差伽瑪（EVG）模型的金融衍生品定價問題：1990年給出了基于EVG模型的期權(quán)定價方法，并與經(jīng)典的BS模型進行比較；1998年，通過對VG過程特征函數(shù)的刻畫，給出了基于EVG模型的標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)價格閉形解，并發(fā)現(xiàn)基于EVG模型的期權(quán)定價方法可以很好地解決經(jīng)典的BS模型中的“波動率的微笑”困境；1999年，給出基于EVG模型下期權(quán)定價的快速傅立葉變換方法；則給出PIDE的顯隱式差分?jǐn)?shù)值求解方法，特別的，將其推廣到EVG模型下美式期權(quán)的定價中；將EVG模型應(yīng)用到信用違約互換（CDS）的定價中，很好的刻畫了實際市場的信用溢價曲線；將VG分布推廣到多維的情形，并應(yīng)用到CDOs定價中。

可轉(zhuǎn)換債券是一種既有債權(quán)屬性又有期權(quán)屬性的混合型金融工具，其定價理論大致有兩類。第一種是結(jié)構(gòu)化方法：1977年，以公司資產(chǎn)價值為標(biāo)的變量，用BS方法首次對可轉(zhuǎn)債進行定價研究；同年使用類似的方法，考慮股票分紅和帶贖回條款的情形，并使用有限差分的方法進行數(shù)值求解；到了1980年，開始把隨機利率引入到可轉(zhuǎn)換債券定價中，對上述方法進行了擴展；第二種是約化方法：1986年，fuel首次以公司股票價格作為標(biāo)的變量來對可轉(zhuǎn)換債券進行定價，同樣通過有限差分法得到數(shù)值解。

但是，在上述的研究工作中，無論是結(jié)構(gòu)化方法還是約化方法，都對基礎(chǔ)變量的對數(shù)回報動態(tài)變化作高斯過程假設(shè)，其根本上與Black-Scholes模型中對標(biāo)的資產(chǎn)作幾何布朗運動假設(shè)是一樣的。考慮到VG過程在數(shù)學(xué)上有很好的性質(zhì)，并且已經(jīng)被證明可以解釋一些經(jīng)濟現(xiàn)象：數(shù)學(xué)上，VG過程增量的分布有著尖峰和厚尾性；基于對指數(shù)Levy模型基本理論歸納總結(jié)的基礎(chǔ)上，將指數(shù)方差伽瑪模型（（EVG）推廣到可轉(zhuǎn)換債券的定價研究中。