不同損失下k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計(jì)

季海波

(宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800)

0 引言

k階Erlang分布的隨機(jī)變量是k個(gè)獨(dú)立的同參數(shù)的指數(shù)分布隨機(jī)變量的和,它是一種Phase-Type分布,是亞指數(shù)分布的一個(gè)特例(各階指數(shù)過程的均值都相等的k階亞指數(shù)分布就是k階Erlang分布),而指數(shù)分布是k階Erlang分布的特例．相比于指數(shù)分布,k階Erlang分布能更好地對(duì)現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合(更適用于多個(gè)串行過程,或者無記憶性假設(shè)不顯著的情況下),故在排隊(duì)論中被廣泛應(yīng)用,在保險(xiǎn)金融中也被用作索賠分布,在不同損失下對(duì)其他分布參數(shù)的研究也不少[1-3],但國內(nèi)對(duì)該分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行的研究不多．本文主要研究了在不同損失函數(shù)下k階Erlang分布參數(shù)的Bayes估計(jì)．

定義1[4]若X1,X2,…,Xk是一列獨(dú)立的隨機(jī)變量,且都服從指數(shù)分布E(μ),則隨機(jī)變量T=X1+X2+…+Xk具有概率密度

或者等價(jià)地,其分布函數(shù)為

稱T服從參數(shù)為μ的k階Erlang分布．

為便于估計(jì),令θ=kμ,則k階Erlang分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

(1)

(2)

其中θ>0．

從k階Erlang分布中抽取容量為n的簡單樣本T1,T2,…,Tn,記T(T1,T2,…,Tn),t(t1,t2,…,tn)為T的觀測(cè)值,則樣本t的似然函數(shù)為

(3)

1 不同損失函數(shù)下θ的Bayes 估計(jì)

引理1 設(shè)T=(T1,T2,…,Tn)是來自分布(1)的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本,若參數(shù)θ的先驗(yàn)分布取指數(shù)分布E(λ),λ>0,則θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

(4)

證明設(shè)參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為E(λ),λ>0,則

π(θ)=λe-λθ(λ,θ>0),

樣本t=(t1,t2,…,tn)關(guān)于θ的條件密度為

則參數(shù)θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

得證．

而在Bayes估計(jì)中,損失函數(shù)的選取將會(huì)對(duì)參數(shù)估計(jì)量的優(yōu)良性有較大影響．下面將取不同的損失函數(shù)來得到參數(shù)θ的Bayes估計(jì)．

證明由文[5]及引理1,可得在平方損失函數(shù)L(θ,δ)=(θ-δ)2下

再由文[5],在給定的Bayes決策中,若在給定的先驗(yàn)分布下,θ的Bayes估計(jì)δ0(x)唯一且是容許的．

證明由文[3]及引理1,可得在二次損失函數(shù)下

由文[5]知,在給定的Bayes決策中,若在給定的先驗(yàn)分布下,θ的Bayes估計(jì)δ0(x)唯一且是容許的．

證明由文[3]中定理1定理2,可得在平衡損失函數(shù)下

由文[5]知,在給定的Bayes決策中,若在給定的先驗(yàn)分布下,θ的Bayes估計(jì)δ0(x)唯一且是容許的．

定理4 在Linex損失函數(shù)L(θ,δ)=ec(δ-θ)-c(δ-θ)-1,(c∈R,c≠0)下,若參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為E(λ),λ>0,則分布(1)中參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為

從而

由文[5],在給定的Bayes決策中,若在給定的先驗(yàn)分布下θ的Bayes估計(jì)δ0(x)唯一且是容許的．

證明由文[6]及引理1,可得在熵?fù)p失函數(shù)下

由文[5],在給定的Bayes決策中,若在給定的先驗(yàn)分布下,θ的Bayes估計(jì)δ0(x)唯一且是容許的．

證明由文[7]及引理1,可得在對(duì)稱熵?fù)p失函數(shù)下

由文[5],在給定的Bayes決策中,若在給定的先驗(yàn)分布下,θ的Bayes估計(jì)δ0(x)唯一且是容許的．

2 超參數(shù)λ的估計(jì)

對(duì)于k階Erlang分布的密度函數(shù)用(1)式,取指數(shù)分布為參數(shù)θ的先驗(yàn)分布,則其邊緣分布為

則似然函數(shù)為

令

令

且

所以函數(shù)h1(λ)在(0,+∞)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的下凸函數(shù)．

所以函數(shù)h2(λ)在(0,+∞)內(nèi)也是嚴(yán)格單調(diào)遞減的下凸函數(shù)．

從而方程

在(0,+∞)內(nèi)有唯一解,迭代公式為

(5)

3 Monte Carlo隨機(jī)模擬

表1 參數(shù)估計(jì)的均值與均方誤差

上述模擬結(jié)果表明:

1) 參數(shù)θ的Bayes估計(jì)的均方誤差明顯比極大似然估計(jì)的均方誤差要小,所以極大似然估計(jì)的效果稍差．隨著樣本容量的增大,極大似然估計(jì)值越來越靠近真值,而且均方誤差也越來越小,這體現(xiàn)出來了極大似然估計(jì)的大樣本優(yōu)越性．

2) 在Linex損失下,參數(shù)c的符號(hào)對(duì)θ的Bayes估計(jì)的差別并不大;從均方誤差看,當(dāng)樣本容量為30和100時(shí),都是對(duì)稱熵?fù)p失下的均方誤差最小,而在樣本容量為50時(shí),平方損失下的均方誤差最小;從參數(shù)θ的估計(jì)值與真值的接近程度看,平衡損失函數(shù)下θ的估計(jì)是最接近的．

因此,由模擬結(jié)果所得出的結(jié)論可以通過選取的樣本容量的大小來選取不同的估計(jì)．當(dāng)樣本容量不是很大時(shí)盡量選取Bayes估計(jì)從而提高估計(jì)的精度,容量很小或者較大時(shí)優(yōu)先考慮對(duì)稱熵?fù)p失下的Bayes 估計(jì),容量中等時(shí)考慮選用平方損失下的Bayes 估計(jì);從估計(jì)值與真值的接近程度看,優(yōu)先考慮平衡損失下的Bayes 估計(jì)．

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