基于MATLAB軟件的柴油機(jī)配氣系統(tǒng)凸輪型線(xiàn)函數(shù)擬合

羅哲

摘要：針對(duì)實(shí)際生產(chǎn)難以得到具體柴油機(jī)配氣系統(tǒng)凸輪型線(xiàn)函數(shù)的情況，采用N次諧波曲線(xiàn)逼近擬合法對(duì)配氣凸輪升程數(shù)據(jù)表進(jìn)行擬合。利用MATLAB軟件建立N次諧波曲線(xiàn)逼近擬合法數(shù)學(xué)模型，通過(guò)代入凸輪升程數(shù)據(jù)求解出凸輪型線(xiàn)的N次諧波擬合函數(shù)方程。本文對(duì)兩種不同型線(xiàn)的凸輪采用該方法進(jìn)行型線(xiàn)擬合，得到整體型線(xiàn)函數(shù)方程，分析擬合參數(shù)點(diǎn)與實(shí)際測(cè)量點(diǎn)之間的剩余標(biāo)準(zhǔn)差，以及對(duì)函數(shù)方程進(jìn)行求導(dǎo)得出的速度、加速度圖形情況，驗(yàn)證了所采用的N次諧波曲線(xiàn)逼近擬合法在配氣凸輪函數(shù)擬合問(wèn)題上的有效性。

關(guān)鍵詞：N次諧波；曲線(xiàn)擬合；凸輪型線(xiàn)；配氣系統(tǒng)

中圖分類(lèi)號(hào)：TK422 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2017）11-0089-03

1 引言

配氣凸輪作為配氣系統(tǒng)的動(dòng)力提供者，一直以來(lái)其型線(xiàn)都是研究的重點(diǎn)，凸輪型線(xiàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣對(duì)于柴油機(jī)各方面性能影響顯著?，F(xiàn)今，國(guó)內(nèi)外配氣系統(tǒng)使用較為頻繁的凸輪型線(xiàn)有：多項(xiàng)式型線(xiàn)、高次方型線(xiàn)、復(fù)合正弦拋物線(xiàn)型線(xiàn)、分段函數(shù)型線(xiàn)等凸輪型線(xiàn)[1-3]。凸輪型線(xiàn)的設(shè)計(jì)過(guò)程可以概括為兩種：（1）對(duì)已經(jīng)給出的凸輪輪廓型線(xiàn)方程和幾何形狀進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)與優(yōu)化；（2）對(duì)已經(jīng)給出的凸輪基圓半徑和挺柱升程曲線(xiàn)進(jìn)行光滑與擬合。由于在實(shí)際設(shè)計(jì)中很難具體得出某一凸輪的實(shí)際型線(xiàn)方程，因此在實(shí)際計(jì)算時(shí)往往采用第二種方法，將配氣凸輪型線(xiàn)用相對(duì)于挺柱的升程曲線(xiàn)來(lái)表示，其中為凸輪轉(zhuǎn)角。目前常用的型線(xiàn)擬合方法有多項(xiàng)式法、樣條函數(shù)法、N次諧波逼近擬合法等，其中N次諧波逼近擬合法以2π為周期，利用有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)擬合型線(xiàn)函數(shù)，不僅能保持高階倒數(shù)的連續(xù)性，而且擬合精度高。

本文以柴油機(jī)配氣系統(tǒng)進(jìn)氣凸輪作為研究對(duì)象，采用N次諧波曲線(xiàn)逼近擬合的方式對(duì)凸輪型線(xiàn)進(jìn)行擬合，利用MATLAB軟件編程建立N次諧波曲線(xiàn)逼近擬合求解模型。對(duì)兩種不同型線(xiàn)的凸輪進(jìn)行升程曲線(xiàn)測(cè)量，得出每種凸輪相對(duì)應(yīng)的升程曲線(xiàn)數(shù)據(jù)表，利用上述模型對(duì)各凸輪升程曲線(xiàn)進(jìn)行N次諧波逼近函數(shù)擬合，得到每個(gè)凸輪的升程函數(shù)擬合方程，比對(duì)擬合方程與測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)的差異性情況，驗(yàn)證擬合函數(shù)的準(zhǔn)確性。

2 N次諧波曲線(xiàn)逼近擬合凸輪型線(xiàn)的原理

通常情況下，在得到一個(gè)柴油機(jī)配氣凸輪之后，可通過(guò)使用平面測(cè)量頭以凸輪對(duì)稱(chēng)中線(xiàn)點(diǎn)為零點(diǎn)向兩側(cè)延伸的方式進(jìn)行測(cè)量。每次間隔一度進(jìn)行測(cè)量，便可以測(cè)繪出配氣凸輪的升程數(shù)據(jù)表[4-5]。通過(guò)將平面測(cè)量頭所測(cè)得的凸輪升程數(shù)據(jù)進(jìn)行光順之后，便得到一系列的點(diǎn)陣，即凸輪的轉(zhuǎn)角及其相對(duì)于的升程[6]。假設(shè)凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度由到這些節(jié)點(diǎn)構(gòu)成，那么相對(duì)應(yīng)的凸輪升程便由到構(gòu)成。所謂的擬合簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是要得到一條具有顯示方程的曲線(xiàn)能夠盡最大程度的通過(guò)或者靠近這個(gè)相當(dāng)于平面上一一對(duì)應(yīng)的n+1個(gè)點(diǎn)。鑒于凸輪旋轉(zhuǎn)一周的角度為，因此可以肯定凸輪的升程函數(shù)也是以為運(yùn)動(dòng)周期的。在數(shù)值分析上可以知道，傅里葉級(jí)數(shù)可以展開(kāi)具有一定光滑性且以為周期的函數(shù)，因此，利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式可以得出下列式子：

但是就實(shí)際而言，要想通過(guò)式（2）、（3）、（4）求得參數(shù)、、是有一定困難的，因?yàn)槲覀儫o(wú)法確定的表達(dá)式，而正是我們所要擬合得出函數(shù)，因此便陷入了矛盾之中。從實(shí)際情況上來(lái)分析，我們雖然不知道的表達(dá)式，但卻知道各個(gè)所對(duì)應(yīng)的的值，因此可以通過(guò)這些點(diǎn)采用數(shù)值積分的方法求得、、的近似值。

雖然理論上我們所擬合的區(qū)間是，但是就真實(shí)情況而言，我們只需要擬合上的一段區(qū)間即可，因?yàn)樵谕馆喕鶊A上函數(shù)恒為零。通過(guò)已知的凸輪升程數(shù)據(jù)表，然后采用數(shù)值積分的方法通過(guò)這有限個(gè)節(jié)點(diǎn)去近似無(wú)限個(gè)節(jié)點(diǎn)求解、、等參數(shù)，然后用這些參數(shù)去構(gòu)造有限項(xiàng)凸輪升程曲線(xiàn)函數(shù)形式。因此，其實(shí)我們是在使用有限項(xiàng)函數(shù)去逼近凸輪升程曲線(xiàn)的真實(shí)表達(dá)式，所以，該方法稱(chēng)為“N次諧波曲線(xiàn)逼近法”。

采用N次諧波曲線(xiàn)逼近法所得到的函數(shù)具有無(wú)限階可導(dǎo)性，從而保證了曲線(xiàn)良好的光滑性，且逼近的階數(shù)N也可以根據(jù)設(shè)計(jì)需要自己選擇。通過(guò)逼近所得函數(shù)是一個(gè)整體函數(shù)表達(dá)式，這樣對(duì)于求解其他運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題便顯得十分便捷，只需將該函數(shù)方程直接代入便可輕松求解。

3 N次諧波曲線(xiàn)逼近擬合法的MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)

在MATLAB中可以通過(guò)FFT（快速傅里葉變換）工具指令來(lái)實(shí)現(xiàn)DFT（離散傅里葉變換）。這種方法是通過(guò)利用復(fù)數(shù)形式的離散傅里葉變換來(lái)計(jì)算實(shí)數(shù)形式的離散傅里葉變換。那么其具體轉(zhuǎn)換過(guò)程如下：

（1）定義FFT擬合的參數(shù)。FFT指令需要我們給出擬合的角度范圍、擬合的位移大小以及擬合的項(xiàng)數(shù)N（也可以說(shuō)是輸入信號(hào)的周期）。關(guān)于擬合項(xiàng)數(shù)的選取可根據(jù)凸輪轉(zhuǎn)角的范圍進(jìn)行選取，如凸輪轉(zhuǎn)角80°，那么擬合的項(xiàng)數(shù)N可選擇為80及以上。在參數(shù)定義完成之后，通過(guò)FFT運(yùn)算可以得到一系列復(fù)數(shù)形式的點(diǎn)陣，該點(diǎn)陣具有一定的對(duì)稱(chēng)性，一般情況會(huì)以N/2+1這個(gè)點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。其所得結(jié)果的一般形式為：

（2）將FFT擬合結(jié)果進(jìn)行DFT轉(zhuǎn)換。在已知輸入信號(hào)周期N的情況下，對(duì)于FFT到DFT的轉(zhuǎn)換，我們只需要提取FFT結(jié)果的前N/2+1項(xiàng)的值便可以正確的復(fù)原原來(lái)的位移。FFT變換為DFT之后的形式以及兩種變換之間的關(guān)系如下面式子所示：

其中：

（3）完成轉(zhuǎn)換。將轉(zhuǎn)換之后所得的系數(shù)結(jié)果全部代入到DFT合成式子（7）里面便可以得到擬合后的凸輪型線(xiàn)函數(shù)表達(dá)式。利用該函數(shù)表達(dá)式便可以進(jìn)行配氣系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文選用兩種不同型線(xiàn)的配氣凸輪作為研究對(duì)象，分別標(biāo)記為凸輪1、凸輪2。利用上述擬合方法分別對(duì)這兩種凸輪進(jìn)行凸輪型線(xiàn)函數(shù)擬合，其擬合結(jié)果如圖1所示。

從上述擬合圖中可以看出，通過(guò)采用N次諧波逼近擬合法完全可以得出進(jìn)行動(dòng)力學(xué)計(jì)算的升程函數(shù)，其中關(guān)于凸輪1、凸輪2的擬合參數(shù)如表1所示，剩余標(biāo)準(zhǔn)差顯示了擬合函數(shù)與真實(shí)值之間的準(zhǔn)確程度，越小代表擬合程度越高，從表1中可以看出兩者標(biāo)準(zhǔn)差均在10的負(fù)6次方以下，可見(jiàn)上述兩個(gè)凸輪升程數(shù)據(jù)表通過(guò)N次諧波擬合之后所得型線(xiàn)方程特性良好。endprint

通過(guò)N次諧波擬合之后，得出了凸輪升程函數(shù)，對(duì)升程函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可以得到速度、加速度圖形，其結(jié)果如圖2所示。從圖形中可以看出擬合后的函數(shù)連續(xù)可導(dǎo)，并且曲線(xiàn)具有良好的光滑性。

5 結(jié)語(yǔ)

本文利用MATLAB軟件對(duì)兩種不同型線(xiàn)的凸輪進(jìn)行了N次諧波逼近函數(shù)擬合，得到了每個(gè)凸輪型線(xiàn)的函數(shù)擬合方程，并且通過(guò)計(jì)算值與實(shí)際值的比對(duì)可以看出擬合效果良好，擬合之后的凸輪型線(xiàn)求得的速度、加速度圖光滑平順，進(jìn)一步驗(yàn)證了擬合函數(shù)的準(zhǔn)確性和有效性。

參考文獻(xiàn)

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Abstract：In view of the fact that it is difficult to obtain the cam profile simulation of the diesel valve train in actual production， the Nth harmonic method is adopted to fit the data table of the valve cam. The mathematical model of Nth harmonic method is established by using MATLAB software. By solving the cam lift data， the Nth harmonic fitting function equation of cam profile is obtained. In this paper， the method of line fitting is adopted for two different kinds of cam profile， as a result of acquiring the function equation of the whole. The figures of speed and accelerated speed are acquired by the derivation of function equation and analysis of residual standard between fitting parameters and actual measurement point. The availability of Nth harmonic method in valve cam profile is verified.

Key Words：Nth harmonic； curve fitting； cam profile； valve systemendprint