基于MATLAB 和1stOpt 的非線性曲線擬合比較

孫立珍，趙樂樂

（內蒙古建筑職業(yè)技術學院信息網(wǎng)絡中心，呼和浩特 010070）

0 引言

曲線擬合是數(shù)據(jù)分析和處理時重要的方法之一，根據(jù)變量之間關系的不同可分為線性曲線擬合和非線性曲線擬合兩種[1]。線性曲線擬合通常是采用一組簡單的、線性無關的基函數(shù)來逼近測量數(shù)據(jù)，進而求解參數(shù)，許多非線性曲線擬合問題也是經過函數(shù)的非線性變換轉為線性擬合問題來處理[2]。非線性曲線擬合通常是基于MATLAB、Origin 和Maple 等數(shù)學軟件利用最小二乘法或其他優(yōu)化方法求解模型參數(shù)，文獻[3-6]是基于MATLAB 進行曲線擬合，文獻[7-9]是基于Origin進行曲線擬合，文獻[10-11]是基于Maple 進行曲線擬合，這些軟件在使用過程中經常遇到初值設定困難、收斂性差和精度低等問題。特別是參數(shù)初值的設定往往憑借經驗進行試探，具有很大的盲目性，初值設定不當直接導致擬合無法收斂或局部最優(yōu)的結果[12]。目前也存在像文獻[13-14]用的 Lingo 和文獻[15-16]用的1stOpt 不需要設定初值的數(shù)學軟件，所有用于曲線擬合的軟件各具特點。

本文以某一鋰離子電池在放電結束后的端電壓變化曲線為擬合對象，分別基于MATLAB、1stOpt 進行非線性擬合，從擬合精度和軟件的易用性兩個方面，對MATLAB 和1stOpt 這兩種常用的數(shù)學軟件所提供的曲線擬合方法進行對比分析。

1 非線性曲線擬合

非線性曲線擬合多指通過一組實驗數(shù)據(jù)（xi，yi），（i=1，2，3，…，n），尋找一個y 與x 之間的函數(shù)f（x，y），使得xi 處的函數(shù)值在最小二乘準則下與觀測值的偏差最小，讓f（x，y）盡可能準確地表示出xi 和yi 兩個被描述量之間的關系[17]。因此，對于在最小二乘準則下的非線性曲線擬合方法，可以通過殘差平方和來比較分析其擬合效果。

目前，非線性曲線擬合問題比較普遍，可利用的軟件也比較多，有需要進行參數(shù)初值設定的，也有不需要進行參數(shù)初值設定的，各種應用場景不甚相同。MATLAB是MathWorks 公司開發(fā)的商業(yè)數(shù)學軟件，提供有l(wèi)sqcurvefit（）和 lsqnonlin（）兩個非線性曲線擬合函數(shù)，這兩個函數(shù)采用同一種擬合算法，即最小二乘法。1stOpt是由七維高科有限公司開發(fā)的一套數(shù)學優(yōu)化分析綜合工具軟件包，其核心算法是“通用全局優(yōu)化算法（UGO）”，可用于非線性回歸、曲線擬合和非線性復雜工程模型參數(shù)辨識等領域。

2 非線性擬合對比分析

本文通過鋰離子電池放電結束后的二階RC 等效電路的零輸入響應對電池端電壓測量值進行非線性擬合，辨識相關參數(shù)，對比分析MATLAB 和1stOpt 兩種擬合方法易用性和精確性。鋰離子電池放電結束后的二階RC 等效電路的零輸入響應表達式如式（1）所示[18]。

式中，UL表示電池的端電壓，UOC表示電池結束放電后的開路電壓，U1和U2分別表示兩個RC 支路在放電結束時的電壓，τ1和τ2分別表示兩個RC 支路的時間常數(shù)，t 表示電池結束放電時長。

文獻[19]對某一鋰離子電池組進行脈沖放電，在其中一個脈沖放電后采集的端電壓值如表1 所示，采樣時間間隔為1s，共計20 個采樣點。

表1 采樣時間和電池端電壓

2.1 基于MAATTLLAABB的非線性曲線擬合

在已經獲取了一組自變量和因變量數(shù)據(jù)的情況下進行非線性曲線擬合，可以直接使用lsqcurvefit（）函數(shù)，否則可以使用 lsqnonlin（）函數(shù)[20]。對于式（1）而言，在給定的輸入數(shù)據(jù)t 和輸出數(shù)據(jù)UL的情況下，基于MATLAB 建立可以表達電池放電結束后的二階RC 等效電路的零輸入響應的function，設定參數(shù)初值，利用lsqcurvefit（）函數(shù)實現(xiàn)最小二乘意義上的非線性曲線擬合，進而辨識參數(shù) U1、τ1、U2和τ2。

當參數(shù)（U1，τ1，U2，τ2）的初值分別設定為（1，1，1，1）、（2，2，2，2）、（10，10，10，10）時，擬合曲線如圖 1 所示，辨識的參數(shù)和擬合殘差平方和（SSE）如表2。

表2 辨識的參數(shù)和擬合殘差平方和

圖1 電池端電壓變化曲線

從以上擬合結果來看，當參數(shù)初值設定為（1，1，1，1）時，非線性曲線擬合無法收斂，且出現(xiàn)極化電壓U2小于0 的現(xiàn)象，這與理論相悖；當參數(shù)初值設定為（2，2，2，2）時，雖然非線性曲線擬合可以收斂，SSE=1.6701E-5 較小，但僅是局部最優(yōu)化，擬合度不高；當參數(shù)初值設定為（10，10，10，10）時，SSE=1.0928E-6 小于 1.6701E-5，非線性曲線擬合度提高，擬合結果接近全局最優(yōu)。進而表明，基于MATLAB 進行非線性擬合會遇到參數(shù)初值設定困難的問題，特別是強非線性擬合，參數(shù)初值設定不當可能出現(xiàn)不能收斂或局部最優(yōu)的現(xiàn)象。

2.2 基于1ssttOOpptt的非線性曲線擬合

1stOpt 的“UGO”可以解決目前在優(yōu)化計算領域中使用迭代法所面臨的初值設定難的問題，即參數(shù)初值不需要用戶設定，代碼執(zhí)行時會隨機給出，并通過其全局優(yōu)化算法找出全局最優(yōu)解，進而可以避免因初值選取不當而導致的局部最優(yōu)或不能收斂的問題出現(xiàn)[21]。

基于1stOpt 定義參數(shù)和變量，建立鋰離子電池放電結束后的二階RC 等效電路的零輸入響應的Function，優(yōu)化算法選擇“麥夸特法（LM）”，算法參數(shù)設定選擇“標準LM+UGO”模式，執(zhí)行代碼可實現(xiàn)最小二乘意義上的非線性曲線擬合，不需要設定初值就可以辨識參數(shù)（U1，τ1，U2，τ2）。擬合曲線如圖 2 所示，辨識的參數(shù)和擬合殘差平方和如表3。

表3 辨識的參數(shù)和擬合殘差平方和

圖2 電池端電壓變化曲線

基于1stOpt 的非線性擬合無需設定參數(shù)初值，代碼編寫簡單，有多種可選的優(yōu)化算法組合。從以上擬合結果來看，擬合精度較高，殘差平方和為1.0926E-6，相對 MATLAB 在初值設定為（10，10，10，10）時的擬合殘差平方和減小0.0183%，實現(xiàn)了全局最優(yōu)化。

3 結語

對于非線性曲線擬合問題，數(shù)學軟件MATLAB 和1stOpt 還是有較大區(qū)別的。MATLAB 雖然擬合速度較快，但需要設定參數(shù)初值，且要達到1stOpt 的擬合精度需要設定合適的參數(shù)初值，否則可能出現(xiàn)無法收斂或局部最優(yōu)的問題。1stOpt 無需設定參數(shù)初值，利用“UGO”進行非線性擬合，擬合速度相比MATLAB 略低，但解決了目前在優(yōu)化計算領域中使用迭代法所面臨的初值設定難的問題，擬合殘差平方和較小，精度較高，可以實現(xiàn)全局最優(yōu)化。另外，利用1stOpt 進行非線性擬合時代碼編寫簡單，默認輸出迭代數(shù)、計算用時、殘差平方和、均方差和相關系數(shù)等結果。