歐拉函數(shù)方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))的正整數(shù)解

袁合才， 宋倩倩， 賈媛媛

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

歐拉函數(shù)方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))的正整數(shù)解

袁合才， 宋倩倩， 賈媛媛

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

討論了歐拉函數(shù)方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))，其中a,b為不小于2的正整數(shù).利用初等數(shù)論方法，得到該方程所有234組正整數(shù)解.

歐拉函數(shù)；丟番圖方程；正整數(shù)解

設(shè)φ(n)為歐拉函數(shù)，其值為在1,2,…,n-1中與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).近年來，含有歐拉函數(shù)φ(n)的丟番圖方程吸引了國內(nèi)外越來越多學(xué)者的關(guān)注.1960年，MAKOWSKI[1]研究了方程φ(m+k)=φ(m)+φ(k)，得出結(jié)論：對于任意k，方程φ(m+k)=2φ(n)至少有一個(gè)解；BROWKIN[1]證明了若k=3，則方程φ(m+k)=φ(m)+φ(k)沒有正整數(shù)解x<37 182 142.2000年EL-KASSAR[2]研究了方程kφ(n)=φ(n+1)及方程kφ(n+1)=φ(n)的整數(shù)解.對于歐拉函數(shù)方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))，2010年孫翠芳等[3]研究了當(dāng)k為素?cái)?shù)時(shí)方程的可解性問題，給出了當(dāng)k=2時(shí)該方程的全部正整數(shù)解；最近,文獻(xiàn)[4-9]分別得到了當(dāng)k=4,5,6,7,8,9時(shí)該方程的全部正整數(shù)解.本文將研究歐拉函數(shù)方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))當(dāng)k=15時(shí)的可解性問題，利用初等數(shù)論方法給出了該方程的所有正整數(shù)解.

1 若干引理

引理3當(dāng)n≥2時(shí)，有φ(n)

2 主要結(jié)論及其證明

定理1歐拉函數(shù)方程φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))共有234組正整數(shù)解，即為下述正整數(shù)解及其對稱形式：

(17,241),(17,287),(17,305),(17,325)，(17,369)，(17,385)，(17,429)，(17，465)，(17，482)，

(17，488)，(17，495)，(17,496)，(17，525)，(17,572)，(17,574)，(17,610),(17,616)，(17,620)，

(17，650)，(17，700)，(17，732)，(17，744),(17,770)，(17，792)，(17,858),(17,900),(17,924),

(17,930),(17,990),(17,1 050),(32,241)，(32,287)，(32,305),(32，325)，(32，369)，(32，385)，

(32,429)，(32，465)，(32,495)，(32,525)，(34，241)，(34，287)，(34，305)，(34，369)，(34,385)，

(34，429)，(34，465)，(34，495)，(34，525)，(40,241)，(40,287)，(40，369)，(40，429)，(48，241)，

(48，287)，(48,305)，(48，325)，(48，385)，(60,241)，(60，287)，(16,286),(16,310),(16,350),

(16,366)，(16,450)，(16,462)，(20,286),(20,366),(20,462)，(24,286)，(24,350),(30,244),

(30,248),(30,286)，(30,308)，(22,62)，(26,44)，(26,50),(26,66),(28,50)，(28,66)，

(36,50),(42,44),(42,50),(21,93),(21,99),(21,186),(21,198)，(36,93)，(42,93)，

(42,99),(16,244),(16,308),(16,372),(16,396)，(20,244)，(20,308)，(20,372)，(20,396),

(20,248),(24,244)，(24,308),(28,44),(36,44),(40,65),(40,105),(60,65),(60,105)，

(35,45)，(35,90)，(45,70)，(16,248)，(24,248)，(36,99)，(20,70),(20,90)，(30,70).

證明考慮歐拉函數(shù)方程

φ(ab)=15(φ(a)+φ(b)),

(1)

φ(a)=q1φ(d)，φ(b)=q2φ(d)，

由引理2

(2)

由(1)、(2)式整理得

φ(ab)=15(φ(a)+φ(b))=15(q1φ(d)+q2φ(d))=dq1q2φ(d) ，

即

(3)

又d=1,φ(d)=1，得

又由gcd(a,b)=d=1，可得此時(shí)方程(1)的正整數(shù)解為

(17,241),(17,287),(17,305),(17,325)，(17,369)，(17,385)，(17,429)，(17，465)，(17，482)，

(17，488)，(17，495)，(17,496)，(17，525)，(17,572),(17,574),(17,610),(17,616)，(17,620)，

(17，650)，(17，700)，(17，732)，(17，744)，(17,770)，(17，792)，(17,858),(17,900),(17,924),

(17,930),(17,990),(17,1 050),(32,241)，(32,287)，(32，305)，(32，325)，(32，369)，(32，385)，

(32,429)，(32，465)，(32,495)，(32,525)，(34，241)，(34，287)，(34，305)，(34，369)，(34,385)，

(34，429)，(34，465)，(34，495)，(34，525)，(40,241)，(40,287)，(40，369)，(40，429)，(48，241)，

(48，287)，(48,305)，(48，325)，(48，385)，(60,241)，(60，287).

又d=2,φ(d)=1，得

又由gcd(a,b)=d=2，可得此時(shí)方程(1)的正整數(shù)解為

(16,286),(16,310),(16,350),(16,366),(16,450)，(16,462),(20,286),(20,366),(20,462)，

(24,286)，(24,350),(30,244),(30,248),(30,286),(30,308),(22,62),(26,44),(26,50),

(26,66),(28,50),(28,66),(36,50),(42,44),(42,50).

又由

gcd(a,b)=d=3，可得此時(shí)方程(1)的正整數(shù)解(21,93),(21,99),(21,186),(21,198)，(36,93)，(42,93)，(42,99).

又由gcd(a,b)=d=4，可得此時(shí)方程(1)的正整數(shù)解(16,244),(16,308),(16,372),(16,396),(20,244),(20,308),(20,372),(20,396),(20,248),(24,244)(24,308),(28,44),(36,44).

又由gcd(a,b)=d=5，可得此時(shí)方程(1)的正整數(shù)解(40,65),(40,105),(60,65),(60,105)，(35,45)，(35,90)，(45,70).

又由gcd(a,b)=d=6，此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.

又由gcd(a,b)=d=8，此時(shí)方程(1)正整數(shù)解(16,248),(24,248).

又由gcd(a,b)=d=9，此時(shí)方程(1)正整數(shù)解(36,99).

又由gcd(a,b)=d=10,此時(shí)方程(1)正整數(shù)解(20,70),(20,90),(30,70).

又由gcd(a,b)=d=15,此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.

又由gcd(a,b)=d=16,此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.

又由gcd(a,b)=d=20,此時(shí)方程(1)無正整數(shù)解.

綜合上述討論并根據(jù)歐拉函數(shù)方程(1)的解的對稱形式可知，方程(1)共有234組正整數(shù)解.

[1] GUY R． Unsolved Problems in Number Theory[M]．3rd ED.Beijing：Science Press，2004．

[2] EL-KASSAR. On the equationskφ(n)=φ(n+1) andkφ(n+1)=φ(n)[C]//Number theory and related topics. Seoul:Yonsei University Institute of Mathematics Science, 2000:95-109.

[3] 孫翠芳，程智． Some kind of equation involving Euler function[J].Journal of Mathematical Study，2010，43(4) :364-369．

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[5] 孫樹東.一個(gè)與Euler函數(shù)φ(n)有關(guān)的方程的正整數(shù)解[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015，16(2)：161-164.

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[7] 魯偉陽，高麗，王曦浛．有關(guān)Euler函數(shù)φ(n)的方程的可解性問題[J]．江西科學(xué)，2016,34(1)：15-16．

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[9] 張四保，席小忠．有關(guān)方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整數(shù)解[J]．南京師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016,39(1):41-47.

PositiveIntegerSolutionsofEulerFunctionEquationφ(ab)=15(φ(a)+φ(b))

YUAN Hecai， SONG Qianqian， JIA Yuanyuan

(SchoolofMathematicsandStatistics,NorthChinaUniversityofWaterResourceandElectricPower,Zhengzhou450046,China)

Discussed the positive integer solutions of Euler function equationφ(ab)=15(φ(a)+φ(b))， wherea,bare positive integers not less than 2. By using the method of elementary number theory, we obtained a total of 234 positive integer solutions.

Euler function; Diophantine equation; positive integer solutions

2017-08-30

華北水利水電大學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目

袁合才(1978—)，男，河南蘭考人，華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要研究方向：微分方程數(shù)學(xué)建模、丟番圖方程.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.04.001

O156

A

1007-0834(2017)04-0001-05