淺談多元函數的極限的存在性

張志會

摘 要 本文主要闡述了在計算多元函數的極限時，討論多元函數的極限是否存在。

關鍵詞 多元函數 極限

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A

0引言

一元函數的微積分，所討論的均是單變量函數，在現(xiàn)實生活中，這樣的情形是少數。在很多實際問題中，往往牽涉到多方面因素，反映到數學上，就是一個變量依賴于多個變量的情形，這就提出了多元函數以及多元函數的微分和積分問題。在一元函數中，如果，當且僅當，即當時，的極限存在，只需要左極限和右極限同時存在且相等即可。對于多元函數來說，極限存在的要求更復雜。要討論極限是否存在，只有當以任何方式趨于點時，對應的函數值趨近于確定的常數A，才能說有極限。反之，如果沿著兩條不同的路徑趨于點，函數值趨于不同的常數，那么函數的極限不存在。本文主要闡述了在計算多元函數的極限時，要討論多元函數的極限是否存在。

1證明極限不存在

解 顯然當點沿軸趨于點時，

又當點沿軸趨于點時，

雖然點以上述兩種特殊方式（沿軸或沿軸）趨于原點時，函數的極限存在并且相等。但并不存在，這是因為動點沿直線趨近于點時，有容易看出函數極限的值隨的不同而改變的

例如當時，極限值為0

當時，極限值為

所以極限不存在。

2討論極限是否存在，說明理由

解 顯然，當點沿軸趨于點時，

又當點沿軸趨于點時，

雖然點以上述兩種特殊方式（沿軸或沿軸）趨于原點時，函數的極限存在并且相等。但并不存在，這是因為動點沿直線趨近于點時，極限為0；動點沿直線時，極限為1，因為兩個極限不相等，所以極限不存在。

參考文獻

[1] 同濟大學數學教研室.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 黃立宏.高等數學上冊[M].上海：復旦大學出版社，2010.endprint