隨機(jī)波浪下泰勒離散系數(shù)的時(shí)域解

郭曉夢(mèng)，黃國興，張寧川

（1.南京水利科學(xué)研究院水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210098；2.大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

隨機(jī)波浪下泰勒離散系數(shù)的時(shí)域解

郭曉夢(mèng)1，2，黃國興1，2，張寧川2

（1.南京水利科學(xué)研究院水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210098；2.大連理工大學(xué)海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

利用Wolk提出的粒子追蹤方程，通過等分頻率法劃分不規(guī)則波譜，利用MATLAB做粒子運(yùn)動(dòng)模擬計(jì)算，得到無因次化泰勒離散系數(shù)K/D隨時(shí)間t變化的曲線；通過與Huang等得到的P－M譜的泰勒離散系數(shù)K/D計(jì)算結(jié)果比較證明了本計(jì)算方法的可靠性。采用該方法研究了不規(guī)則波條件下，波序列（同一譜型不同波面序列）和譜型（譜峰周期、有效波高、譜峰升高因子）對(duì)波浪離散系數(shù)的影響；計(jì)算結(jié)果表明：同一譜型不同波序列對(duì)泰勒縱向離散系數(shù)穩(wěn)定值和穩(wěn)定時(shí)間無影響；不規(guī)則波譜峰周期越大，縱向離散系數(shù)K/D越小，穩(wěn)定時(shí)間越短；有效波高越大，縱向離散系數(shù)K/D越大，穩(wěn)定時(shí)間越長；譜峰升高因子越大，泰勒離散系數(shù)K/D越大，穩(wěn)定時(shí)間越長；與規(guī)則波相比，不規(guī)則波的泰勒離散系數(shù)K/D的值略小10%～30%。

泰勒離散；隨機(jī)波浪；粒子追蹤

目前海洋污染日益嚴(yán)重。準(zhǔn)確掌握海洋中污染物的離散規(guī)律是海洋污染預(yù)防和治理的重要理論前提之一。海洋中污染物運(yùn)動(dòng)的主要形式有輸移（advection）、擴(kuò)散（diffusion）和離散（dispersion）。海洋動(dòng)力環(huán)境條件下離散的最主要?jiǎng)恿υ词浅绷骱筒ɡ恕?/p>

關(guān)于水流為主要?jiǎng)恿l件下污染物離散問題，起點(diǎn)可上溯到Taylor（1953）對(duì)管道層流中溶解物質(zhì)的離散研究。之后，他又把這種方法直接推廣到長直管道紊流。Fischer（1979）詳盡研究了Taylor離散理論在河流中的應(yīng)用，并提出估算順直河流中一系列Taylor離散相關(guān)系數(shù)的方法。Madesen（1978）和Smith（1983）、Yasuda（1984）以長周期剪切流模型研究了潮汐流作用下的Taylor離散。

關(guān)于波浪為主要?jiǎng)恿l件的污染物離散問題，較有代表性的研究可列舉Iskandarani、Broeck、Law、Huang等人的工作，Iskandarani等（1991a，1991b）建立了波浪作用下的二維和三維輸運(yùn)模型；Broeck（1990）提出N層統(tǒng)計(jì)模型，并將Taylor機(jī)理應(yīng)用于振蕩剪切流中；Law（2000）基于Broeck（1990）的N層統(tǒng)計(jì)模型推導(dǎo)出行進(jìn)表面波的離散系數(shù)理論公式，并針對(duì)三種典型流速分布（Stokes質(zhì)量輸移流、海岸垂向環(huán)流、帶污染物表面Stokes質(zhì)量輸移流）給出了離散系數(shù)的結(jié)果。他也通過粒子隨機(jī)游走數(shù)值的方法考慮了由線性波引起的粒子擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的離散效應(yīng)。Huang等（2011）將Taylor離散引入了以用P－M譜和Wen譜為代表的隨機(jī)波浪單峰譜中，給出了泰勒縱向離散系數(shù)在隨機(jī)波浪中的計(jì)算公式及結(jié)果。閆圣等也利用粒子追蹤方程研究過規(guī)則波下泰勒縱向離散系數(shù)的變化情況（已錄用）。但迄今為止，尚未見到考慮隨機(jī)波浪下泰勒離散系數(shù)隨時(shí)間變化規(guī)律等方面的研究結(jié)果的報(bào)道。時(shí)間平均的離散系數(shù)是假定垂向穩(wěn)定狀態(tài)泰勒離散系數(shù)只是由于平均海平面和海床之間的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際波浪的其他運(yùn)動(dòng)形式（波面運(yùn)動(dòng)、波引起的振蕩軌道運(yùn)動(dòng)等）被忽略。這樣假定可以簡化分析，但這不能真實(shí)反映污染物粒子在波浪下的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡。這種方法無法準(zhǔn)確了解到行進(jìn)波表面實(shí)時(shí)的縱向離散系數(shù)的情況，也無法預(yù)測(cè)其后續(xù)變化。

本文旨在解明隨機(jī)波浪下泰勒離散系數(shù)隨時(shí)間變化規(guī)律。以等分頻率法劃分不規(guī)則波譜，通過粒子追蹤方法模擬泰勒縱向離散系數(shù)隨時(shí)間的變化過程。研究了隨機(jī)波浪下，波序列（同一譜型不同波面序列）和譜型（譜峰周期、有效波高、譜峰升高因子）對(duì)波浪離散系數(shù)的影響，同時(shí)比較了不規(guī)則波與規(guī)則波場(chǎng)中泰勒縱向離散系數(shù)的異同（離散情況達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間和離散系數(shù)的數(shù)值變化）。

1 粒子追蹤法計(jì)算隨機(jī)波浪場(chǎng)中的泰勒縱向離散系數(shù)

粒子追蹤法的原理是通過計(jì)算出流場(chǎng)中物質(zhì)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡來確定濃度分布，根據(jù)Wolk（2003）提出的粒子追蹤方程，以水底一確定點(diǎn)為（0，0）點(diǎn)，垂直海床向上為z軸正方向，沿水流方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)系，以[x，z]表示水質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)，則水質(zhì)點(diǎn)的歐拉方程為以下形式：

其中，u（x，z，t）、w（x，z，t）分別表示水質(zhì)點(diǎn)x方向和z方向的速度，Dx、Dz分別為x方向和z方向的水質(zhì)點(diǎn)分子擴(kuò)散系數(shù)（本文取Dx=Dz），z1、z2為（0，1）范圍內(nèi)的均布隨機(jī)數(shù)。

本文研究不規(guī)則波的離散情況，可以將不規(guī)則波看成由多個(gè)（理論上應(yīng)該是無限多個(gè)）不同周期和不同隨機(jī)初相位的余弦波疊加而成，則不規(guī)則波的波面方程，速度勢(shì)方程以及x，z方向速度方程可以表示為如下形式：

公式（2）～（5）中，ai，ki，ωi分別為第i個(gè)組成波的振幅，波數(shù)和圓頻率；εi為第i個(gè)組成波的初相位，此處取在（0，2π）范圍的均布隨機(jī)數(shù)。

按照不規(guī)則波模擬的等分頻率法（俞聿修等，2011），公式（2）～（5）中的i取1～100，將公式（4）、（5）代入（1）中逐項(xiàng)迭代，方程（1）中等式右端第一項(xiàng)采用歐拉法對(duì)時(shí)間積分，第二項(xiàng)采用隨機(jī)行走方法處理。若粒子在自由表面邊界和水底邊界處隨機(jī)跳出邊界，則將它們通過鏡像反射使其返回水域。

泰勒縱向離散系數(shù)無因次化K/D的表達(dá)形式（Law，2000）如下：

2 不規(guī)則波的泰勒縱向離散系數(shù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

2.1 與前人結(jié)果的比較

不規(guī)則波浪場(chǎng)中，泰勒離散系數(shù)是隨時(shí)間變化的。但隨時(shí)間的推移，該離散系數(shù)將趨于穩(wěn)定。Huang et al（2011）給出了不規(guī)則波條件下，以波頻參量εm為參數(shù)的泰勒縱向離散系數(shù)的時(shí)間均值K/D與波離散參數(shù)Ωr關(guān)系的計(jì)算結(jié)果。為考察本文計(jì)算的泰勒離散系數(shù)結(jié)果的可靠性，將本文計(jì)算的泰勒離散系數(shù)時(shí)間變化過程在穩(wěn)定區(qū)的均值與Huang et al的結(jié)果進(jìn)行比較。

取不規(guī)則波頻譜為PM譜（Pierson et al，1964）：

譜峰圓頻率ωm與有效波高Hs滿足耦合關(guān)系如下：

譜峰周期Tm=2π/ωm；波頻參量εm=ω2md/g；波離散參數(shù)

計(jì)算組別參見表1。

表1 PM譜計(jì)算參數(shù)表

下圖1給出了一組（水深6 m，水深Hs=0.801 m，分子擴(kuò)散系數(shù)D=0.005 m2/s，波頻參量εm=1.2，波離散參數(shù)Ωr=5.35）泰勒縱向離散系數(shù)K/D隨時(shí)間t的變化圖示例。從該圖可以看到K/D在t=4 h左右達(dá)到穩(wěn)定，取4 h（離散系數(shù)穩(wěn)定區(qū)起始點(diǎn)）～8 h時(shí)段K/D在時(shí)間上的平均值，可以得到該參數(shù)下K/D值穩(wěn)定在20.4。將表1中各計(jì)算組別結(jié)果與Huang et al的結(jié)果的比較（其中6個(gè)點(diǎn)表示本文計(jì)算結(jié)果），參見圖2。

圖1 P-M譜泰勒離散系數(shù)K/D隨時(shí)間t的變化圖例

圖2 Huang的K/D-Ωr圖

圖2可見，本文計(jì)算的泰勒離散系數(shù)時(shí)間變化過程在穩(wěn)定區(qū)的均值與Huang et al的結(jié)果吻合良好。原因在于粒子整體漂移速度是由于方程（1）中等右端第一項(xiàng)所決定的，而第二項(xiàng)在統(tǒng)計(jì)意義上不會(huì)對(duì)平均運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響。

2.2 同一波譜不同波序列的離散系數(shù)比較

理論上，同一波譜可對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)不同的隨機(jī)波列過程。為了考察同一波譜條件下，不同的隨機(jī)波列過程對(duì)泰勒縱向離散系數(shù)的影響，在此對(duì)比討論同一波譜、兩組不同的波列歷時(shí)所對(duì)應(yīng)的K/D隨時(shí)間t變化。

取PM譜為靶譜、分子擴(kuò)散系數(shù)D=0.005 m2/s，水深d=6 m；Hs=0.613 m，ωm=1.6 rad/s。選取兩組不同的組成波隨機(jī)初相位，得到同一波譜對(duì)應(yīng)的兩個(gè)隨機(jī)波列過程（總時(shí)間長度為8.33 h），參見圖3。

下圖4給出了兩組不同波列的K/D隨時(shí)間t變化過程曲線，可以看出，雖然初始0～2小時(shí)時(shí)段內(nèi)，K/D隨時(shí)間t變化過程略有不同，但是兩組不同的波列對(duì)應(yīng)的K/D趨于穩(wěn)定時(shí)間都為2～2.5h范圍內(nèi)，穩(wěn)定區(qū)間5～8小時(shí)時(shí)段內(nèi)K/D時(shí)間平均數(shù)值（11.9）完全一致。故可以認(rèn)為同一波譜下的不同波列對(duì)K/D在趨于穩(wěn)定后的影響可忽略不計(jì)。基于此，在下面的討論中，對(duì)同一波譜，不再區(qū)分波列的影響。

圖3 同一波譜對(duì)應(yīng)的兩組隨機(jī)波面過程示例

2.3 譜峰周期對(duì)泰勒縱向離散系數(shù)的影響

對(duì)不規(guī)則波來說，譜峰周期的變化往往會(huì)對(duì)其波浪形態(tài)造成比較大的影響，因此我們考慮泰勒縱向離散系數(shù)的變化規(guī)律時(shí)要考慮譜峰周期變化的影響。

圖4 兩組隨機(jī)波面對(duì)應(yīng)的K/D隨時(shí)間t變化過程示例

布氏－光易譜（B－M譜（Mitsuyasu et al，1968））是有效波高和周期聯(lián)合分布的二參數(shù)譜，適用于成長階段和充分成長的風(fēng)浪，其形式如下：取B－M譜，水深為d=6m，有效波高Hs=0.8 m，分子擴(kuò)散系數(shù)D=0.005 m2/s，分別取譜峰周期Tm為5 s，6 s，7 s，8 s，10 s，12 s，研究譜峰周期的變化對(duì)泰勒縱向離散系數(shù)以及離散穩(wěn)定時(shí)間的影響。

由圖5所示的圖像可以看出譜峰周期對(duì)離散系數(shù)K/D影響顯著，在本組參數(shù)下，Tm=5 s情況下的無因次化泰勒離散系數(shù)K/D為11.3，在4 h后穩(wěn)定；而Tm=12 s時(shí)K/D接近0，在0.6 h后穩(wěn)定。由此可以得出在水深和有效波高不變的情況下，譜峰周期Tm越大，譜峰頻率ωm越小，縱向離散系數(shù)K/D越小。同時(shí)可以得出譜峰周期對(duì)離散穩(wěn)定時(shí)間也有一定影響，譜峰周期越大，離散穩(wěn)定時(shí)間越短之結(jié)論。

2.4 有效波高對(duì)泰勒縱向離散系數(shù)的影響

對(duì)不規(guī)則波來說，對(duì)其波浪形態(tài)影響較大的另一重要原因就是有效波高，因此我們考慮泰勒縱向離散系數(shù)的變化規(guī)律時(shí)也要考慮有效波高的影響。

以B－M譜為例，取水深為d=6 m，譜峰周期為Tm=6 s，分子擴(kuò)散系數(shù)D=0.005 m2/s，分別取有效波高Hs為0.4 m，0.6 m，0.8 m，1 m，研究有效波高的變化對(duì)波浪縱向離散系數(shù)的影響以及離散穩(wěn)定時(shí)間的影響。

圖5 B-M譜譜峰周期變化對(duì)應(yīng)的波浪離散系數(shù)K/D隨時(shí)間t變化的圖像

由圖6所示的圖像可以看出有效波高對(duì)離散系數(shù)K/D影響顯著，在水深為d=6 m，譜峰周期為Tm=6 s，分子擴(kuò)散系數(shù)D=0.005 m2/s，Hs=1.0 m情況下的無因次化泰勒離散系數(shù)K/D為10.3，在4h時(shí)穩(wěn)定；而Hs=0.4 m時(shí)K/D接近0.3，在0.6 h后穩(wěn)定。由此可以得出在水深和譜峰周期不變的情況下，有效波高Hs越大，海面波動(dòng)越劇烈，泰勒縱向離散系數(shù)K/D越大。同時(shí)可以看出有效波高對(duì)泰勒縱向離散穩(wěn)定時(shí)間的影響表現(xiàn)為有效波高越大，離散穩(wěn)定時(shí)間越長。

圖6 B-M譜有效波高變化對(duì)應(yīng)的波浪離散系數(shù)K/D隨時(shí)間t變化的圖像

2.5 譜峰升高因子對(duì)泰勒縱向離散系數(shù)K/D的影響

JONSWAP譜（J譜）（Hasselmann et al，1973）（是由北大西洋實(shí)測(cè)得到的有限風(fēng)距譜，其形式如公式（11）所示：

其中，α為能量尺度參數(shù)（通常取0.008 1），γ為譜峰升高因子，σ為峰形參數(shù)（當(dāng)ω≤ωm時(shí)，σ=σa=0.07；當(dāng)ω＞ωm時(shí)，σ=σb=0.09）。

在J譜中，除了譜峰圓頻率（譜峰周期）外，譜峰升高因子對(duì)譜型的影響較大，故選取譜型升高因子γ=1～7，來研究譜峰升高因子對(duì)污染物縱向離散系數(shù)和離散穩(wěn)定時(shí)間的影響。取水深d=6 m，Tm=3 s，由公式（8）可得ωm=2.09 rad/s，αg2=0.78，分子擴(kuò)散系數(shù)D=0.005 m2/s。γ=1～7時(shí)，泰勒無因次化縱向離散系數(shù)K/D隨時(shí)間t的變化圖像如圖7所示：從圖中可以看到，γ越大，譜型越“尖”，無因次化泰勒離散系數(shù)K/D值越大，離散穩(wěn)定時(shí)間越長。

圖7 不同譜峰升高因子對(duì)縱向離散系數(shù)K/D隨時(shí)間t變化的影響比較

2.6 不規(guī)則波與規(guī)則波的縱向離散系數(shù)對(duì)比

首先選取一組水深較淺時(shí)規(guī)則波和不規(guī)則波算例為例進(jìn)行比較。參數(shù)選擇如下：

取分子擴(kuò)散系數(shù)D=0.005 m2/s，水深d=3 m；規(guī)則波取波高H=0.6 m，周期T=5 s；

不規(guī)則波譜型取為B－M譜，有效波高Hs=0.6m，譜峰周期Tm=5 s；圖8為上述算例條件下不規(guī)則波與規(guī)則波的縱向離散系數(shù)隨時(shí)間變化的對(duì)比圖。

圖8 一組水深較淺的不規(guī)則波與規(guī)則波的K/D隨時(shí)間t對(duì)比圖

圖8波粒子運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后的K/D值約為2.05，規(guī)則波粒子運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后的K/D值約為2.3；顯然相比于規(guī)則波，不規(guī)則波達(dá)到穩(wěn)定的泰勒離散系數(shù)K/D小10.86%。

另取一組水深較深時(shí)，相同參數(shù)下的規(guī)則波與不規(guī)則波的泰勒離散系數(shù)作對(duì)比：

取分子擴(kuò)散系數(shù)D=0.005m2/s，水深d=10m；規(guī)則波取波高H=1 m，周期T=8 s；

不規(guī)則波譜型取為B－M譜，有效波高HS=1 m，譜峰周期Tm=8 s；圖9為這組算例條件下不規(guī)則波與規(guī)則波的縱向離散系數(shù)隨時(shí)間變化的對(duì)比圖。

圖9 另一組水深較深的不規(guī)則波與規(guī)則波的K/D隨時(shí)間t對(duì)比圖

從圖9中可見，不規(guī)則波粒子運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后的K/D值約為7.05，規(guī)則波粒子運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后的K/D值約為9.2；顯然相比于規(guī)則波，不規(guī)則波達(dá)到穩(wěn)定的泰勒離散系數(shù)K/D小23.37%。

顯然，通過以上兩個(gè)算例可以得出：在水深、波高、周期相同的條件下，不規(guī)則波的泰勒縱向離散系數(shù)與規(guī)則波相比，不規(guī)則波的泰勒離散系數(shù)略小10%～30%。

3 結(jié)論

本文通過對(duì)不規(guī)則波縱向離散系數(shù)的研究，可以得出以下結(jié)論：

（1）同一譜型不同波序列對(duì)泰勒縱向離散系數(shù)穩(wěn)定數(shù)值和穩(wěn)定時(shí)間無影響；

（2）不規(guī)則波譜峰周期Tm越大，泰勒縱向離散系數(shù)K/D越小，穩(wěn)定時(shí)間越短；有效波高Hs越大，縱向離散系數(shù)K/D越大，穩(wěn)定時(shí)間越長；譜峰升高因子γ越大，泰勒離散系數(shù)K/D越大，穩(wěn)定時(shí)間越長。

（3）在水深、波高、周期相同的條件下，不規(guī)則波的泰勒縱向離散系數(shù)與規(guī)則波相比，不規(guī)則波的泰勒離散系數(shù)略小10%～30%。

致謝：感謝閆圣師兄為數(shù)值模擬提供指導(dǎo)修改建議。

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Taylor dispersion of contaminants with time by random waves

GUO Xiao－meng1,2,HUANG Guo－xing1,2,ZHANG Ning－chuan2
（1.State Key Laboratory of Hydrology－Water Resources and Hydraulic Engineering,Nanjing Hydraulic Research Institute,Nanjing 210098,China;2.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China）

Based on Wolk's particle tracking equation,this study investigated the dimensionless Taylor dispersion K/D subject to random waves in time－domain.The Aliquots frequency method was used to simulate the random waves and the simulation of the particle motion was performed by MATLAB.The simulated results were verified by comparing to the results of Huang et al.Based on the simulated results,we discussed the effect of wave series(or different surface wave series with the same spectrum)and spectral type(including spectral peak period,significant wave height and higher spectral peak factor)on the dispersion coefficient under different random waves.The results show that different wave series with the same spectral type have insignificant effects on stable value and time of the Taylor dispersion coefficient.Also,K/D was observed to increase with shorter irregular spectral peak period,larger significant wave height and larger spectral peak factor.In addition,Taylor dispersion coefficient K/D under irregular waves is approximately 0.7～0.9 times of that under regular waves.

Taylor dispersion;random wave;particle tracking

P731.22

A

1001－6932（2017）06－0638－06

10.11840/j.issn.1001-6392.2017.06.005

2016－03－11；

2016－11－27

水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放研究基金（2015491311）；海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室青年學(xué)者研究基金（LY1602）。

郭曉夢(mèng)（1990－），碩士研究生，主要從事海洋污染研究。電子郵箱：princessdream@163.com。

袁澤軼）