行和、列和均為素?cái)?shù)的九宮格問(wèn)題探究

龔新平

在平時(shí)教學(xué)和高考復(fù)習(xí)中時(shí)常會(huì)出現(xiàn)一些關(guān)于素?cái)?shù)的問(wèn)題，而在各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽和自主招生考試中，素?cái)?shù)問(wèn)題更是經(jīng)常出現(xiàn)的熱點(diǎn)題型，有的還頗具難度.以下是對(duì)文[1]中提供的2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西賽區(qū)預(yù)賽試卷出現(xiàn)的一個(gè)關(guān)于行和與列和均為素?cái)?shù)的九宮格問(wèn)題展開(kāi)的系列探究，最終得出滿(mǎn)足條件的所有填法總數(shù)，在此以期和大家一起分享.

問(wèn)題 將前九個(gè)正整數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填寫(xiě)于一張3×3方格表的九個(gè)格子中，使得每行三數(shù)的和與每列三數(shù)的和均為素?cái)?shù)，請(qǐng)將你的填法填入圖1的方格中.

1 ?探究每行每列三數(shù)奇偶性

由于每行三數(shù)和為大于2的素?cái)?shù)，所以三數(shù)和必為奇數(shù)素?cái)?shù)，從而每行要么三數(shù)均為奇數(shù)，要么一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù)，同理每列也是三數(shù)均為奇數(shù)，或者一個(gè)奇數(shù)兩個(gè)偶數(shù).由于共四個(gè)偶數(shù)五個(gè)奇數(shù)，所以必有某一行且同時(shí)有某一列的數(shù)全都是奇數(shù).

2 ?探究最大數(shù)的奇偶性組合

考慮與最大數(shù)9同行或同列另外兩個(gè)數(shù)的可能性組合，由三數(shù)和必為奇數(shù)，故這兩個(gè)數(shù)的奇偶性一定相同：若兩數(shù)均為奇數(shù)，則只有（9+1+3），（9+1+7），（9+3+5），（9+3+7）四種情形對(duì)應(yīng)三數(shù)和為素?cái)?shù);若兩數(shù)均為偶數(shù)，則只有（9+2+6），（9+2+8），（9+4+6），（9+6+8）四種情形對(duì)應(yīng)三數(shù)和為素?cái)?shù).

3 ?探究互換行（列）及轉(zhuǎn)置情形

由于對(duì)符合條件的某種填法，任意互換兩行或者任意互換兩列，所得九宮格中每行與每列數(shù)的和仍為素?cái)?shù)，也滿(mǎn)足條件;另外，對(duì)符合條件的某種填法，同時(shí)將第i（i=1，2，3）行轉(zhuǎn)置為第i列，所得九宮格中每行與每列數(shù)的和仍為素?cái)?shù)，同樣滿(mǎn)足條件.故我們只需考慮第一行第一列為9且第一行全是奇數(shù)的情形，并且考慮第一行或第一次考慮某一列時(shí)也先不分前后順序或上下順序，然后將得到的每種填法對(duì)應(yīng)的矩陣任意互換兩行或任意互換兩列，最后再寫(xiě)出前面矩陣對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)置矩陣，這樣得到的所有矩陣就對(duì)應(yīng)著滿(mǎn)足條件的所有填法.

4 ?探究2，8不同行不同列情形

若2與8既不同行也不同列，為了方便不妨記第i行第j列的數(shù)為aij，以下分兩種情形討論：

（1）若2、8與9均不同列：如圖2，則由步驟三中分析的互換行或互換列及轉(zhuǎn)置對(duì)應(yīng)性，現(xiàn)不妨令a32=6，則a23=4，由此a12≠1，a12≠7，a31≠1，a31≠7，故a13=1或a13=7，從而a12≠5，即必有a12=3，進(jìn)而必有a31=5，所以a21=1或a21=7，但此時(shí)第一列中的三數(shù)和為15或21，均不是素?cái)?shù)，產(chǎn)生矛盾.

6 ?探求滿(mǎn)足條件所有填法總數(shù)

由前面步驟中的分析，可以得到（2×2）×4=16種不同的基本填法;然后將得到的每一種基本填法對(duì)應(yīng)的3×3階矩陣任意互換兩行或互換兩列，可以得到A2 3·A2 3=36種不同的矩陣對(duì)應(yīng)的填法，從而總共可得到16×36=576種不同的九宮格填法，然后再加上前面得到的576種填法對(duì)應(yīng)3×3階矩陣相應(yīng)的轉(zhuǎn)置矩陣，所有的576×2=1152種矩陣就對(duì)應(yīng)著滿(mǎn)足條件的所有填法，故最終可以得到滿(mǎn)足條件的所有填法總數(shù)為16×36×2=1152種.

參考文獻(xiàn)

[1] 《2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西賽區(qū)預(yù)賽》[J].中等數(shù)學(xué)，2017（5）.