大穩(wěn)定 小創(chuàng)新

安學(xué)保

【摘 要】 ?研究2018年全國新課標(biāo)Ⅰ卷23道試題，該試卷堅持大穩(wěn)定小創(chuàng)新、深度融合數(shù)學(xué)思想，全面考查數(shù)學(xué)能力、注重創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識的考查，由此對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和高三復(fù)習(xí)提出合理化的建議.

【關(guān)鍵詞】 ?2018年高考;新課標(biāo)Ⅰ卷;試卷分析;復(fù)習(xí)建議

2018年山東省高考數(shù)學(xué)恢復(fù)使用全國課標(biāo)Ⅰ卷.今年的新課標(biāo)Ⅰ卷依然延續(xù)了往年試題的風(fēng)格，進一步以“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”作為高考的核心功能，加強“必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值”四個層次的考查，體現(xiàn)“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”四個方面的要求.命題嚴格遵循《2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)實驗版）》（以下簡稱《考試大綱》）和《2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（課程標(biāo)準(zhǔn)實驗版）全國卷考試說明》（以下簡稱《考試說明》）.整份試卷以知識為載體，以思維為核心，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科特點.試題難度安排適當(dāng)，題設(shè)立意新穎，文、理科兩份試卷難、中、易的比例分配恰當(dāng).試卷具有很高的信度、效度和區(qū)分度.達到了考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考素養(yǎng)的考試目標(biāo).今年的全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題主要呈現(xiàn)如下幾個特點：

1 堅持大穩(wěn)定，追求小創(chuàng)新

每年的高考試題都在穩(wěn)定中追求創(chuàng)新，今年新課標(biāo)Ⅰ卷也不例外.試卷全面考查基礎(chǔ)知識，重點考查核心知識，重視對數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，強調(diào)通性通法，淡化數(shù)學(xué)技巧.但同時也鼓勵考生發(fā)散思維、不拘一格.

復(fù)數(shù)運算、集合運算、函數(shù)、平面向量、概率統(tǒng)計、線性規(guī)劃、三角函數(shù)、文科的解三角形、理科的數(shù)列、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識在選擇填空題中均進行了有效的考查，這部分試題有利于穩(wěn)定考生的情緒;解答題中，理科的解三角形、文科的數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計、直線與圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及選做題等高中的主干內(nèi)容也進行了重點考查，充分體現(xiàn)了試卷對高中數(shù)學(xué)知識考查的基礎(chǔ)性、全面性和綜合性.

試題對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般的思想及常用的數(shù)學(xué)基本方法均有考查，很多問題具有典型性、示范性，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，百考不厭、?？汲Ｐ拢缋砜?1題的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的單調(diào)性討論及不等式的證明.

試題注重題型的設(shè)計創(chuàng)新，綜合考查數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，試題設(shè)問新穎.理科填空題第10題以古希臘數(shù)學(xué)家研究的幾何圖形為情境，設(shè)計了幾何概型的概率計算問題;填空題的第16題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)工具在研究函數(shù)最值問題中的一般性應(yīng)用;解答題的第20題還重點對概率統(tǒng)計知識及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值進行有機的 結(jié)合.

2 深度融合數(shù)學(xué)思想、全面考查數(shù)學(xué)能力

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的高度凝結(jié)，是數(shù)學(xué)的核心，對數(shù)學(xué)的理解和學(xué)習(xí)都要圍繞著對數(shù)學(xué)思想和方法的認識展開，對數(shù)學(xué)思想和方法的認識是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)，高考試題作為對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的檢驗，必須體現(xiàn)這樣的目的，必須充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的考查，要達到這個目的，通過設(shè)計知識交匯處的題目，每個試題要在知識的涵蓋下，深度融合數(shù)學(xué)的思想和方法，達到看不到思想，卻處處體現(xiàn)思想的目的，充分考查考生掌握的數(shù)學(xué)知識是否全面，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法是否全面、靈活，能否快速準(zhǔn)確找到解決問題的數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)方法.這一點在 2018年的新課標(biāo)Ⅰ卷中得到了充分體現(xiàn).

（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD;

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

在第（1）問的證明中，既可以由幾何方法利用面面垂直的判定定理由線面垂直證明面面垂直，或過P直接做面ABFD的垂線，證明垂線在面PEF內(nèi)，還可以做出二面角的平面角繼而證明該平面角是直角;當(dāng)然也可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明其中的線線垂直或是面面垂直.

第（2）問線面角的求法，除了常用的向量法，當(dāng)然還可以使用幾何方法求解.

立體幾何是考查學(xué)生空間想象能力，運算求解能力和邏輯推理能力的重要載體，本題借助平面圖形的折疊，考查了空間幾何圖形中的面面垂直，以及直線與平面所成的角.解決本題，不可或缺的當(dāng)然還有數(shù)形結(jié)合的思想.本題平均得分6.89分.

解析幾何是考查數(shù)形結(jié)合思想的重要載體，2018年的新課標(biāo)Ⅰ卷，理科和文科分別選擇橢圓和拋物線為曲線背景，理科與文科采用相同的設(shè)問，問題題設(shè)簡明扼要，設(shè)問清晰.

通過問題的分層設(shè)計，由淺入深，考查直線和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，給不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供了思想的空間和展示才華的平臺.其中理科將該題的位置調(diào)到19題，難度較往年略低，考查通性通法和常規(guī)的運算技巧，但同時堅持能力立意.

【理19】設(shè)橢圓C： x2 2 +y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為 2，0 .

（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程;

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

第（1）問解答較容易，第（2）問中考生答題方法大體有以下幾個角度：

①把證角度相等問題，轉(zhuǎn)化為角的正切值相等，繼而轉(zhuǎn)化為斜率互為相反數(shù)（或斜率和為零）;

②把證角度相等問題，轉(zhuǎn)化為證角平分線上的點到角兩邊距離相等;

③把證角度相等問題，利用余弦定理或向量的夾角公式轉(zhuǎn)化為證角的余弦值相等;

④利用三角形內(nèi)角平分線定理的逆定理，證明線段成比例;

⑤證明兩直線在y軸上的截距相等.

本題理科平均得分6.03分，文科平均得分2.66分.導(dǎo)致學(xué)生失分的幾個主要方面為：

①受高三復(fù)習(xí)思維慣性的影響，直接放棄了第二問;

②無法正確地將幾何問題進行解析;

③利用直線方程或是曲線方程進行消元時目標(biāo)不明確;

④消元和整理化簡的過程不完整，或是化簡出現(xiàn)錯誤，無法得出正確結(jié)論.

解析幾何考查學(xué)生運算求解能力、分類討論思想的同時側(cè)重考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸的能力，給學(xué)生提供了從不同角度去分析問題和解決問題的可能，突出考查了用解析方法解決幾何問題的能力，使學(xué)生體會到幾何問題“解析化”途徑的研究探索和選擇.平面解析幾何重點考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，在高考的命題中是兼顧著數(shù)學(xué)壓軸題和考查基本活動經(jīng)驗的首選載體.

3 注重創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識的考查

數(shù)學(xué)的應(yīng)用與創(chuàng)新是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個非常重要的方面，數(shù)學(xué)的應(yīng)用應(yīng)該包括兩個方面，首先是如何將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題的求解，用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個重要方面.另一方面，如何在已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上推陳出新，建立更新的數(shù)學(xué)結(jié)果，也是數(shù)學(xué)的一個非常重要的應(yīng)用方面，后者我們常常稱之為創(chuàng)新，2018年的高考數(shù)學(xué)試題中，有相當(dāng)數(shù)量的試題是考查考生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的.

文理選擇題第3題，以新農(nóng)村建設(shè)為背景，考查統(tǒng)計學(xué)中的識圖，試題貼近生產(chǎn)生活實際，具有濃厚的時代氣息，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.理科20題以產(chǎn)品質(zhì)量檢查為背景，設(shè)計的問題具有很強的現(xiàn)實意義，如何根據(jù)數(shù)學(xué)期望進行科學(xué)合理的決策，不僅考查考生對概率統(tǒng)計知識的理解，更是考查概率統(tǒng)計知識在數(shù)學(xué)和生活中的應(yīng)用，使考生體會到數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的息息相關(guān).

【理20】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0<p<1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p 0.

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p 0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（?。┤舨粚υ撓溆嘞碌漠a(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;

（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

解 （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），則

f（p）=C220p2 （1-p） 18，所以f′（p）=2C220p （1-p） 17（1-10p），

令f′（p）=0，得p=0.1，

當(dāng)p∈（0，0.1）時，f′（p）>0，

當(dāng)p∈（0.1，1）時，f′（p）<0，

所以f（p）的最大值點p 0=0.1.

（2）（?。┯桑?）知p=0.1，

令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1），

X=20×2+25Y，即X=40+25Y，

所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ⅱ）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元，因為EX>400，

所以應(yīng)該對余下的產(chǎn)品進行檢驗.

對于剛剛恢復(fù)使用全國卷的山東考生對該題表現(xiàn)出了明顯的不適應(yīng)，再加上本題安排在解答題20題壓軸題的位置，理科考生的平均得分只有2.13分，甚至低于21題的平均得分3.12分.同時也說明，提升學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識應(yīng)該是我們數(shù)學(xué)教學(xué)一直努力的目標(biāo).

4 對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)及高三復(fù)習(xí)的啟示

今年的高考命題為今后的課程改革和高考改革提供哪些重要的信息成為人們關(guān)注的焦點. 高考命題的導(dǎo)向在很大程度上決定著中學(xué)推行新課改的力度和發(fā)展新課改的深度.因此，今年的高考試題和考生答卷情況備受關(guān)注.為了更好地進行深化課程改革，更全面地推進中學(xué)素質(zhì)教育，需要認真研究和分析學(xué)生在高考答題中出現(xiàn)的問題，以反思我們在中學(xué)教學(xué)過程中的問題，促進中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)與學(xué)習(xí).

4.1 注重基本知識和技能的學(xué)習(xí)，加強對數(shù)學(xué)本質(zhì)的研究

高考的最終目的是為高校輸送合格的人才，考生要能夠順利完成未來高校的學(xué)習(xí)， 必須具備一定的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)， 所有這些都應(yīng)該是高考試題中重點體現(xiàn)的， 而這些知識和思想又恰恰是我們中學(xué)數(shù)學(xué)中強調(diào)的基本知識和基本技能.中學(xué)的課程無論怎么改革，都不會丟掉“四基”：基本數(shù)學(xué)知識、基本數(shù)學(xué)技能、基本數(shù)學(xué)思想方法和基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.高考無論如何變化，對基本知識和基本技能的考核永遠是不會變的，這是不能有任何含糊的原則.從今年乃至近幾年甚至自高考以來我們看到，不重視“四基”的考生，期望取得高分是很難的.

高三復(fù)習(xí)應(yīng)重點抓住以下幾個方面的復(fù)習(xí)：一是和“圖”有關(guān)的內(nèi)容.如：統(tǒng)計圖、函數(shù)的圖象性質(zhì)及變換、空間線面位置關(guān)系、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、數(shù)形結(jié)合的思想方法等;二是與“函數(shù)”有關(guān)的內(nèi)容，如函數(shù)的性質(zhì)及圍繞研究函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)知識和方法（導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何等）、函數(shù)與方程的思想方法、特殊與一般的思想方法、變換的思想方法;三是數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和應(yīng)用，如統(tǒng)計與概率、線性規(guī)劃等相關(guān)的應(yīng)用問題，體現(xiàn)必然與或然的數(shù)學(xué)思想.

4.2 要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等能力

數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的兩條，可以體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本功，近幾年全國卷高考試題一直重視考查學(xué)生這兩方面的能力，而且還有愈演愈烈的趨勢.最直觀的感覺就是今年高考的每一道試題無論難易程度如何，學(xué)生都得動筆認真算一算才能得到答案，很少有用眼睛觀察或稍微演算一下就能得到正確結(jié)果的，這要求我們老師在平常教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，要加大運算的訓(xùn)練量，要有提升學(xué)生運算能力的方法和措施，以應(yīng)對高考中的大量運算問題.

全國新課標(biāo)Ⅰ卷非常重視考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，不難推測試題命制將繼續(xù)以統(tǒng)計和統(tǒng)計案例為載體，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，因此在高三復(fù)習(xí)課中要重視培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，要借助統(tǒng)計案例知識創(chuàng)造平臺引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)據(jù)分析，并提升應(yīng)用數(shù)據(jù)進行科學(xué)、合理決策的 能力.