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    課堂不是給予,而是喚醒

    2018-01-08 07:30:56羅風(fēng)云
    關(guān)鍵詞:喚醒冪函數(shù)自主探究

    羅風(fēng)云

    [摘? 要] 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)自我探究、自我建構(gòu)的過程,教學(xué)中,教師應(yīng)該以問題為載體,喚醒學(xué)生進(jìn)行自主探究. 為此,筆者開設(shè)了一節(jié)校際公開課,課題是人教A版必修1的“冪函數(shù)”,本文對(duì)課堂教學(xué)過程進(jìn)行了摘錄,并針對(duì)幾個(gè)主要環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)給出了自己的思考.

    [關(guān)鍵詞] 喚醒;自主探究;冪函數(shù);思考

    近期,筆者開設(shè)了一節(jié)校際公開課,課題是人教A版必修1的“冪函數(shù)”,本節(jié)課筆者以問題為載體,喚醒學(xué)生進(jìn)行自主探究,注重學(xué)生探究能力與自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng),體現(xiàn)了“以生為本”的課改新理念,在經(jīng)歷了多次打磨后,教學(xué)時(shí)取得了較為滿意的效果. 現(xiàn)對(duì)課堂教學(xué)過程摘錄如下,并針對(duì)幾個(gè)主要環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)談一下自己的思考.不足之處,望同行批評(píng)指正.

    教學(xué)實(shí)錄

    1. 情境創(chuàng)設(shè)

    問題1:請(qǐng)寫出下列函數(shù)的解析式:

    ①如果某人購(gòu)買了每千克1元的蔬菜w千克,那么他需要付的錢數(shù)P(元)關(guān)于購(gòu)買的蔬菜量w(千克)的函數(shù)解析式為_____.

    ②如果正方形的邊長(zhǎng)為a,那么正方形的面積S關(guān)于a的函數(shù)解析式為_____.

    ③如果正方體的邊長(zhǎng)為a,那么正方體的體積V關(guān)于a的函數(shù)解析式為_____.

    ④如果正方形的面積為S,那么正方形的邊長(zhǎng)a關(guān)于S的函數(shù)解析式為_____.

    ⑤如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 km,那么他騎車的速度v(km/s)關(guān)于t的函數(shù)解析式為___________.

    問題2:如果將上述函數(shù)解析式左側(cè)的因變量改成y,右側(cè)的自變量改成x,請(qǐng)仔細(xì)觀察得到的函數(shù)解析式,它們具有什么共同特征?是指數(shù)函數(shù)嗎?

    其共同特征是:①冪的形式且系數(shù)為1;②冪的底數(shù)是自變量x;③冪的指數(shù)是常數(shù).它們都不是指數(shù)函數(shù).

    設(shè)計(jì)意圖:從特殊到一般,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,同時(shí),統(tǒng)一自變量與因變量之后,讓學(xué)生更能直觀地感知冪函數(shù)解析式的共同特征,達(dá)到鍛煉學(xué)生的觀察能力與概括能力的目的.

    2. 概念引入

    師:經(jīng)過以上的分析,我們把形如y=xα(α∈R)的函數(shù)叫作冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).

    問題3:你能說出冪函數(shù)y=xα(α∈R)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)有什么區(qū)別嗎?

    生3:很明顯,這兩個(gè)函數(shù)的自變量的位置與常數(shù)的位置是顛倒過來的.

    設(shè)計(jì)意圖:針對(duì)學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆的情況,組織學(xué)生對(duì)兩類函數(shù)的解析式進(jìn)行對(duì)比,從而達(dá)到強(qiáng)化記憶的目的.

    設(shè)計(jì)意圖:通過此題,讓學(xué)生進(jìn)一步了解冪函數(shù)的概念,掌握待定系數(shù)法.

    3. 新知探究

    問題4:研究函數(shù)一般從哪些方面著手?類比之前研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的方法你準(zhǔn)備怎樣研究?jī)绾瘮?shù)?

    生5:研究函數(shù)一般從其定義域、值域、奇偶性與單調(diào)性等方面著手,考慮借助冪函數(shù)的圖像研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì).

    設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生類比之前研究指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的思路,去研究?jī)绾瘮?shù)的圖像與性質(zhì).

    設(shè)計(jì)意圖:首先引導(dǎo)學(xué)生歸納未知函數(shù)的作圖思路與具體操作方法,其次將五個(gè)冪函數(shù)的圖像放在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,有利于對(duì)比總結(jié)出冪函數(shù)的一些共性.

    問題5:根據(jù)上述圖像的特征,填寫下面的表格(生7回答,教師板書):

    設(shè)計(jì)意圖:由形到數(shù),發(fā)現(xiàn)5個(gè)具體冪函數(shù)的性質(zhì),為探尋冪函數(shù)的共性做好鋪墊.

    師:從以上可以看出,冪函數(shù)隨著冪指數(shù)的取值不同,它們的圖像和性質(zhì)存在著較大的差異,下面就請(qǐng)同學(xué)們通過觀察上述函數(shù)的圖像來探尋冪函數(shù)的一些共性,我們來看以下5個(gè)問題:

    問題6:冪函數(shù)圖像過定點(diǎn)及象限的情況.

    生8:觀察圖1可知:冪函數(shù)過定點(diǎn)(1,1),不一定過(0,0);冪函數(shù)圖像過第一象限,不過第四象限.

    師:你能利用冪函數(shù)的解析式y(tǒng)=xα(a∈R)解釋其中的原因嗎?

    生9:1α=1,因此冪函數(shù)過定點(diǎn)(1,1);x>0,y=xα=(elnx)α=eαlnx>0,因此冪函數(shù)圖像過第一象限.

    問題7:冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性如何?

    生10:觀察圖2可知:

    α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上是增函數(shù);

    α<0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上是減函數(shù).

    師:你能通過解析式說明以上結(jié)論為何成立嗎?

    生11:y=xα=(elnx)α=eαlnx,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,由ex和lnx的遞增性可以得到上述結(jié)論.

    師:α=0呢?另外,通過冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性,你能判斷冪函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性嗎?

    生12:α=0時(shí),冪函數(shù)變?yōu)閥=x0=1(x≠0),此時(shí)無單調(diào)性. 判斷冪函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性借助函數(shù)的奇偶性判斷即可.

    問題8:α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα在(0,+∞)上的圖像的高低與指數(shù)的變化有何關(guān)系?

    問題9:冪函數(shù)y=xα(x∈(0,+∞)),α>1與0<α<1的圖像有何不同?

    生14:觀察圖3可知:當(dāng)α>1時(shí),冪函數(shù)y=xα的圖像向下凸出;當(dāng)0<α<1時(shí),冪函數(shù)y=xα的圖像向上凸出. (教師借助幾何畫板動(dòng)態(tài)檢驗(yàn),如圖4)

    問題10:減函數(shù)在(0,+∞)的圖像特征又如何呢?

    生15:觀察圖5可知:α<0時(shí),冪函數(shù)y=xα在第一象限的圖像向上與y軸無限接近,向右與x軸無限接近.

    設(shè)計(jì)意圖:設(shè)計(jì)問題串,利用學(xué)生的自主探究完成冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的梳理,一方面提高學(xué)生對(duì)教學(xué)的參與度,另一方面引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)如何透過圖像研究函數(shù)性質(zhì)的方法.

    4. 例題精析

    例1:已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)xm2-2m-2,請(qǐng)畫出該函數(shù)的草圖. (學(xué)生自行解決,之后教師利用DrawTools軟件進(jìn)行作圖,驗(yàn)證草圖的正確與否)

    設(shè)計(jì)意圖:首先利用此題強(qiáng)化了冪函數(shù)的概念,其次使學(xué)生明白為了得到函數(shù)草圖就必須要去研究函數(shù)的一般性質(zhì):定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性,讓學(xué)生體驗(yàn)得到函數(shù)圖像的過程,體現(xiàn)學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生享受成功帶來的樂趣的同時(shí),也為高考中一種常見題型(以未知函數(shù)解析式找尋圖像的選擇題)提供了解決思路.

    設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生利用之前學(xué)過的構(gòu)造函數(shù)法比較大小,此法究其本質(zhì)而言是利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小,通過例2使學(xué)生在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要注意考慮定義域,通過拓展延伸使學(xué)生關(guān)注兩點(diǎn):一是冪指數(shù)相同時(shí)構(gòu)造成冪函數(shù),底數(shù)相同時(shí)構(gòu)造成指數(shù)函數(shù);二是對(duì)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行辨析.

    思考

    布魯納說過:探索是數(shù)學(xué)的生命線,沒有探索就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展. 目前以自主、合作、探究為主的教學(xué)方式已成為課堂教學(xué)中一道亮麗的“景致”,學(xué)生開展自主探究是以問題為載體,喚醒學(xué)生自主探究,在探究活動(dòng)中充分發(fā)揮學(xué)生的自主性和能動(dòng)性,讓學(xué)生經(jīng)歷感悟、體驗(yàn)、反思和矯正的過程,從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提高. 本節(jié)課筆者采用學(xué)生自主探究式的教學(xué)方法,重視思維發(fā)生的過程,注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,注重發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有效整合,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、思維價(jià)值. 教學(xué)過程中筆者以“問題串”的形式展開教學(xué),逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、歸納、總結(jié).為了設(shè)計(jì)好本節(jié)課,筆者作了如下的思考:

    一個(gè)成功的新課導(dǎo)入能為課堂教學(xué)創(chuàng)設(shè)良好的開端,可以明確學(xué)生的思維方向和學(xué)習(xí)目標(biāo),可以拉近學(xué)生與學(xué)習(xí)材料之間的距離,降低理解學(xué)習(xí)材料的難度,同時(shí)能集中學(xué)生的注意力,激發(fā)強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望. 對(duì)于新課的導(dǎo)入,教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的問題情境,最為重要的是切中主題,應(yīng)該堅(jiān)持啟發(fā)性、目的性、關(guān)聯(lián)性和簡(jiǎn)短性等原則,要凸顯“數(shù)學(xué)味”. 為此,筆者深入挖掘課本資源,設(shè)計(jì)了一個(gè)問題串,通過從問題情境中抽象出具體函數(shù),將得到的五個(gè)函數(shù)解析式左側(cè)的因變量改成y,右側(cè)自變量改成x,使函數(shù)的解析式變成統(tǒng)一格式,使學(xué)生通過觀察迅速概括出冪函數(shù)解析式的共同特征,這樣做有效地降低了學(xué)習(xí)難度,“喚醒”了學(xué)生的“食欲”.

    在新知探究的過程中,筆者仍然通過“問題串”的形式組織教學(xué). 對(duì)于課堂提問,筆者認(rèn)為不宜過多地放在學(xué)生的“已知區(qū)”與“未知區(qū)”,也就是說問題不能過易或過難. 經(jīng)驗(yàn)豐富的教師經(jīng)常潤(rùn)物細(xì)無聲,課堂提問的起點(diǎn)雖然不高,但是通過一系列問題串的引導(dǎo),卻總能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情. 這些教師比較善于在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”與“已知區(qū)”兩者的結(jié)合處(即在知識(shí)的“增長(zhǎng)點(diǎn)”上)設(shè)計(jì)問題,這樣處理對(duì)利用學(xué)生的已有知識(shí)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行同化非常有利,有助于學(xué)生形成、鞏固和完善新的認(rèn)知結(jié)構(gòu),促使學(xué)生的認(rèn)知能力與思維能力迅速提高,從而實(shí)現(xiàn)將學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的“未知區(qū)”轉(zhuǎn)化為“已知區(qū)”的目的. 本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本概念、性質(zhì),研究了三個(gè)特殊函數(shù):二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù),對(duì)怎樣研究函數(shù)已經(jīng)有了清晰的思路和方法,因此,本節(jié)課筆者考慮放手讓學(xué)生自己進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí). 在本節(jié)課新知探究的過程中,筆者引導(dǎo)學(xué)生首先總結(jié)研究函數(shù)的思路和方法,考慮到學(xué)生對(duì)抽象的冪函數(shù)及其圖像缺乏感性的認(rèn)識(shí),于是,筆者采用從特殊到一般、再?gòu)囊话愕教厥獾姆绞桨才沤虒W(xué),根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)所涉及的相關(guān)知識(shí)都設(shè)計(jì)了問題串.通過這樣的問題串,與學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相銜接,學(xué)生對(duì)未知的情況就有了極大的興趣,同時(shí)學(xué)生對(duì)歸納冪函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)有了明確的目標(biāo)與方向,在一步一步地“自我喚醒”中,完成了對(duì)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的建構(gòu).

    高考試題“源于教材,高于教材”,很多試題是對(duì)課本的基礎(chǔ)知識(shí)與例習(xí)題進(jìn)行“深加工”后的成果,因此,筆者認(rèn)為課堂教學(xué)要用教材教,而不僅僅是教教材,在具體的實(shí)踐中絕不能照搬教材,得根據(jù)學(xué)情創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容,精心設(shè)置例習(xí)題,強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的綜合應(yīng)用能力,“喚醒”學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)急于解決問題的欲望. 在設(shè)計(jì)例題時(shí),筆者考慮到學(xué)生已經(jīng)對(duì)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)有了一個(gè)初步的了解,筆者并沒有安排教材中的例題,而是另辟蹊徑,安排例1讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)繪制未知函數(shù)f(x)=x-2的草圖,之后利用信息技術(shù)軟件進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)作圖,檢測(cè)結(jié)果正確與否,讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的、有價(jià)值的,同時(shí)針對(duì)學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆的情況,安排例2利用構(gòu)造函數(shù)法比較大小,組織學(xué)生對(duì)這兩類函數(shù)的解析式與單調(diào)性進(jìn)行辨析,找出新舊知識(shí)的銜接點(diǎn),從另一個(gè)層面進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固.

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