基于數(shù)學(xué)軟件Mathematica的高職數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐

韋潔華

【摘要】本文通過(guò)幾個(gè)教學(xué)實(shí)例展示了基于數(shù)學(xué)軟件Mathematica的高職數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐.在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中引入Mathematica，可以有效地使抽象的概念形象直觀(guān)化，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念、定理，簡(jiǎn)化計(jì)算，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高課堂教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】高職數(shù)學(xué)；Mathematica；教學(xué)實(shí)踐

【基金項(xiàng)目】廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院2016年度校級(jí)教育教學(xué)改革立項(xiàng)資助項(xiàng)目（nyjg2016016）.

一、Mathematica的特點(diǎn)

Mathematica是美國(guó)Wolfram公司開(kāi)發(fā)的一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語(yǔ)言、文本系統(tǒng)以及與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接.很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于世界領(lǐng)先地位，它也是目前為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一.Mathematica作為一種專(zhuān)門(mén)工具，具有其顯著的特點(diǎn)，主要包括：

（1）內(nèi)容豐富，功能齊全.Mathematica可以對(duì)初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)等進(jìn)行各種數(shù)值計(jì)算及符號(hào)運(yùn)算.特別是它的符號(hào)運(yùn)算功能，極大地方便了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo).它具有很強(qiáng)大的繪圖能力，能快速畫(huà)出各種美麗的曲線(xiàn)和曲面，甚至可以設(shè)計(jì)動(dòng)畫(huà).

（2）語(yǔ)法簡(jiǎn)潔，編程效率高.Mathematica的語(yǔ)法規(guī)則簡(jiǎn)潔，語(yǔ)句簡(jiǎn)單.和其他高級(jí)語(yǔ)言（如，C語(yǔ)言、Fortran語(yǔ)言）對(duì)比，其語(yǔ)法規(guī)則和表達(dá)方式更接近數(shù)學(xué)運(yùn)算的思維和表達(dá)方式.使用該軟件編程，用較少的語(yǔ)句，就可以完成復(fù)雜運(yùn)算和公式推導(dǎo)等任務(wù).

（3）操作簡(jiǎn)單，易于使用.Mathematica命令容易學(xué)習(xí)和記憶，操作也非常方便.用戶(hù)可以和Mathematica互動(dòng)“對(duì)話(huà)”，一個(gè)一個(gè)地執(zhí)行命令，也可以完成“批處理”，將多個(gè)命令組成的程序，一次性地交給Mathematica，完成指定的任務(wù).

二、教學(xué)實(shí)踐

我們選取高職數(shù)學(xué)中幾個(gè)典型案例來(lái)展示基于Mathematica的高職數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合多媒體的使用，將大大提升教學(xué)效果.

（一）Mathematica輔助理解極限概念

極限知識(shí)是微積分的基礎(chǔ)，要學(xué)好微積分，必須理解極限思想.極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想.對(duì)于高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，極限知識(shí)是非常抽象的，學(xué)生在理解極限思想時(shí)倍感吃力.現(xiàn)在有了Mathematica，在課堂上可以結(jié)合多媒體的使用，利用Mathematica強(qiáng)大的操作命令和圖像功能幫助學(xué)生通俗地理解極限知識(shí).Mathematica計(jì)算函數(shù)極限的命令格式是：

limx→af（x）：Limit[f[x]，x->a]

limx→∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity]

limx→a+f（x）：Limit[f[x]，x->a，Direction->-1]

limx→a-f（x）：Limit[f[x]，x->a，Direction->+1]

limx→+∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity，Direction->+1]

limx→-∞f（x）：Limit[f[x]，x->Infinity，Direction->-1]

畫(huà)一元函數(shù)圖像的命令格式是：

Plot[f[x]，{x，a，b}]

例1在學(xué)習(xí)第一個(gè)重要極限 limx→0sinxx時(shí)，我們?cè)贛athematica窗口輸入命令：

Limit[Sin[x]/x，x->0]

按shift+enter運(yùn)行后輸出結(jié)果為1.利用作圖命令：

Plot[Sin[x]/x，{x，-10，10}，PlotRange {-0.3，1.1}]

運(yùn)行后輸出圖像（如圖1所示）.

圖1

通過(guò)觀(guān)察函數(shù)圖像，可以知道當(dāng)x無(wú)限接近于0時(shí)，函數(shù)值會(huì)無(wú)限接近于1.數(shù)學(xué)軟件計(jì)算極限速度快且準(zhǔn)確，通過(guò)作出函數(shù)圖形，讓學(xué)生從直觀(guān)上理解極限的定義，極大地提高學(xué)生聽(tīng)課的積極性，達(dá)到良好的教學(xué)效果.

（二）函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)——零點(diǎn)定理

零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)（即f（a）f（b）<0），則在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，

即至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ

對(duì)于高職學(xué)生來(lái)說(shuō)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及零點(diǎn)的教學(xué)是一個(gè)難點(diǎn)，基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生遇到這類(lèi)問(wèn)題更是無(wú)從下手.有了Mathematica輔助教學(xué)，高職學(xué)生解決零點(diǎn)問(wèn)題就輕松很多，而且從直觀(guān)上更容易理解零點(diǎn)定理的本質(zhì).

例2利用Mathematica尋找函數(shù)f（x）=sinx-0.5cos25x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn).

首先，利用Mathematica的畫(huà)圖功能畫(huà)出函數(shù)的圖像，觀(guān)察圖像和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Clear[f]；

f[x_]：=Sin[x]-0.5 Cos[25 x]；

Plot[f[x]，{x，0，2}]

圖2

圖2所示的是一條很有意思的曲線(xiàn)，從圖像可以看出有5個(gè)零點(diǎn)，全在0和0.6之間，它們?nèi)杭谧筮叄晕覀兛梢岳肕athematica在一個(gè)更合適的區(qū)間里畫(huà)出函數(shù)的圖形，如圖3所示.

Plot[f[x]，{x，0，0.55}]

圖3

最后將零點(diǎn)定位在0.2附近，用命令

FindRoot[f[x]，{x，0.2}]

{x0.205293}

得到零點(diǎn)是x=0.205 293，其他4個(gè)零點(diǎn)也可類(lèi)似求出，這里就不再重復(fù).

（三）利用Mathematica設(shè)計(jì)微元法求平面圖形的面積

在講授定積分微元法求平面圖形面積時(shí)，我們可以借助Mathematica提供的三種操作命令Plot、Solve和Integrate分別求平面曲線(xiàn)圍成的平面圖形描繪、積分區(qū)間和面積的定積分表達(dá)式.這三種操作命令格式如下：

（1）作圖：Plot[{f[x]，g[x]}，{x，min，max}]

（2）求交點(diǎn)，確定積分區(qū)間：

Solve[y==f[x]，y==g[x]，{x，y}]

（3）確定積分變量即面積微元：

dA==（f[x]-g[x]）dx

（4）計(jì)算定積分求所求面積：

Integrate[f[x]-g[x]，{x，a，b}]

例3求由拋物線(xiàn)y+1=x2與直線(xiàn)y=1+x圍成的平面圖形的面積.

利用Mathematica操作命令求解：

Plot[{x^2-1，1+x}，{x，-1，2}，AxesLabel{x，y}]

運(yùn)行后輸出圖形（如圖4所示）：

圖4

由圖4可知所圍平面圖形應(yīng)該選x為積分變量，為確定x的變化范圍，利用Mathematica的Solve命令求它們的交點(diǎn)：

Solve[{y==x^2-1，y==1+x}，{x，y}]

運(yùn)行后輸出結(jié)果：{{x -1，y 0}，{x 2，y 3}}

在Mathematica窗口輸入命令：

所求面積微元：dA=（（1+x）-（x^2-1））dx

所求面積：Integrate[（1+x）-（x^2-1），{x，-1，2}]

最后輸出結(jié)果9/2.

由此可以看出，利用Mathematica的Plot命令畫(huà)出所求平面圖形，用Solve求出圖形的交點(diǎn)，進(jìn)而確定積分范圍，最后用Integrate求出所圍平面圖形的面積，學(xué)生對(duì)求解定積分的應(yīng)用——平面圖形的面積的步驟理解起來(lái)非常直觀(guān)，學(xué)生只要掌握這幾個(gè)命令的用法就可以很快求出所求的平面圖形的面積.

三、結(jié)束語(yǔ)

高職教育以培養(yǎng)生產(chǎn)、建設(shè)、服務(wù)和管理第一線(xiàn)的專(zhuān)業(yè)技能型專(zhuān)門(mén)人才為主要任務(wù)，而高職數(shù)學(xué)的原則是“以應(yīng)用為目的，以必須夠用為度”，在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中引入Mathematica進(jìn)行輔助教學(xué)，正是符合這樣的教學(xué)原則.利用Mathematica的繪圖功能，能直觀(guān)、形象地展示抽象概念的邏輯演變過(guò)程，將抽象的理論具體化，將煩瑣復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)單化，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，豐富了高職數(shù)學(xué)課堂，提高課堂教學(xué)質(zhì)量.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（理工類(lèi)·高職高專(zhuān)版）[M].第3版.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011.