淺談矩陣的運(yùn)算

吳惠仙

【摘要】矩陣是線性代數(shù)最基本的工具，也是工科專業(yè)后繼課程的常用工具，但對(duì)于剛進(jìn)大學(xué)校園的學(xué)生來(lái)講是個(gè)無(wú)比抽象的概念，特別是對(duì)它的運(yùn)算感覺(jué)從天而降、莫名其妙.本文從與數(shù)的運(yùn)算做比較來(lái)理解矩陣的幾個(gè)主要運(yùn)算.

【關(guān)鍵詞】矩陣；逆矩陣；分塊矩陣

一、引言

線性代數(shù)是大學(xué)理、工、經(jīng)管、醫(yī)、農(nóng)等學(xué)科所有專業(yè)必修的一門(mén)重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課.而矩陣是線性代數(shù)最基本的概念，也是最重要的工具.只要把矩陣的運(yùn)算、矩陣的分塊、矩陣的初等變換與矩陣的秩等都弄懂了，線性代數(shù)就學(xué)好了一大半.而作為一名剛進(jìn)入校園的大一學(xué)生，對(duì)線性代數(shù)，感覺(jué)很是困惑，就會(huì)問(wèn)教師：矩陣究竟是什么東西？矩陣的乘法規(guī)則為什么這樣定義？矩陣到底有什么用？……一系列問(wèn)題.我們都說(shuō)“矩陣是線性空間里的變換的描述”“矩陣是線性空間里躍遷的描述”等，這些說(shuō)法對(duì)大一的本科生來(lái)講未免過(guò)于抽象.至于矩陣的應(yīng)用有多廣，等他們學(xué)了后繼課程自然也能明白.本文主要從矩陣與實(shí)數(shù)的比較來(lái)理解矩陣的運(yùn)算.

二、矩陣的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算

我在上課時(shí)常常跟學(xué)生說(shuō)，矩陣其實(shí)就是數(shù)的推廣，其中一行一列的矩陣就是數(shù).所以矩陣這個(gè)用括號(hào)括起來(lái)的數(shù)表，本身沒(méi)有任何意義，只不過(guò)是個(gè)符號(hào)罷了.如同數(shù)字“1”本身也沒(méi)有任何意義，但它可以表示一根粉筆、一本書(shū)、一個(gè)教室等，不同的場(chǎng)合有不同的含義，正因?yàn)槿绱?，才體現(xiàn)出了“數(shù)”的重要性和使用的廣泛性.矩陣也一樣，只不過(guò)比“數(shù)”更高級(jí)一點(diǎn)，使用的范疇也更高深一些，中學(xué)課程用不到，但在大部分工科專業(yè)的后繼課程都會(huì)有所接觸.

下面我們從與數(shù)的運(yùn)算做比較來(lái)理解矩陣的幾個(gè)主要運(yùn)算.

1.矩陣的線性運(yùn)算.包括矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算.這兩種運(yùn)算很簡(jiǎn)單，加法就是兩矩陣對(duì)應(yīng)位置的元素相加，數(shù)乘是矩陣的每個(gè)元素都乘這個(gè)數(shù)，所以這兩種運(yùn)算與數(shù)的加法、乘法相比差異不大，只是量的增多而無(wú)質(zhì)的變化，從而線性運(yùn)算的八條運(yùn)算法則也容易被學(xué)生接受.

2.矩陣的乘法.乍一看會(huì)顯得很不自然，讓學(xué)生們難以接受.這時(shí)我們講完乘法定義后，需要先舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子讓學(xué)生們熟練熟練，這個(gè)乘法到底是怎么算的.順便得到矩陣乘法不滿足的幾個(gè)常見(jiàn)的運(yùn)算規(guī)則（如，交換律、消去律、含零因子，這幾條在以后需要反復(fù)強(qiáng)調(diào)）.到這時(shí)學(xué)生們心里會(huì)更納悶了，既然這樣為什么還要這樣定義乘法，像加法似的相應(yīng)位置的元素相乘不是很方便？所以，接下來(lái)我們需要舉幾個(gè)例子說(shuō)明下這樣定義乘法的意義，如，前面一直出現(xiàn)的線性方程組用矩陣乘法怎么表示，兩個(gè)線性變換的和如何用矩陣的乘法來(lái)表示，等分塊矩陣講了后更能體現(xiàn)矩陣乘法的便利.

3.逆矩陣運(yùn)算.引進(jìn)逆矩陣實(shí)質(zhì)上是希望在某些方陣中可以做除法，其方法是類似數(shù)中的倒數(shù)的概念.我們做如下比較：

（1）方陣A可逆|A|≠0（數(shù)中：a有倒數(shù)a≠0）.

（2）設(shè)A為可逆矩陣（|A|≠0），且AB=0，則B=0（設(shè)a≠0，且ab=0，則b=0），即沒(méi)有零因子.

（3）設(shè)A為可逆矩陣（|A|≠0），且AB=AC，則B=C（設(shè)a≠0，且ab=ac，則b=c），即消去律成立.

（4）設(shè)A為可逆矩陣（|A|≠0），則AX=B有唯一解 X=A-1B（設(shè)a≠0，則ax=b有唯一解x=a-1b），即含可逆矩陣的矩陣方程可解.

（5）設(shè)0為n階零矩陣，E為n階單位矩陣，則對(duì)任意n階方陣A有A0=0A=0，AE=EA=A（對(duì)任意數(shù)a滿足a0=0a=0，a1=1a=a），即零矩陣與單位矩陣在矩陣乘法中的特殊性.

注：矩陣只有逆矩陣運(yùn)算而沒(méi)有除法運(yùn)算，因?yàn)榫仃嚥粷M足交換律，不然AB=A-1B還是AB=BA-1.

4.分塊矩陣的乘法運(yùn)算.分塊矩陣的線性運(yùn)算與轉(zhuǎn)置運(yùn)算很簡(jiǎn)單，重點(diǎn)與難點(diǎn)是分塊矩陣的乘法.但分塊矩陣的乘法非常有用，等學(xué)了向量這一章后，更能體現(xiàn)出矩陣分塊的便利.分塊矩陣的乘法關(guān)鍵有兩點(diǎn)：分塊前，前矩陣的列數(shù)與后矩陣的行數(shù)相同；分塊后，前分塊矩陣的列數(shù)與后分塊矩陣的行數(shù)相同.只要滿足這兩個(gè)條件就可以隨便分塊（當(dāng)然盡量為了運(yùn)算方便），其中最常見(jiàn)的是按行分塊與按列分塊，因?yàn)榘葱谢虬戳蟹謮K后，得到的子塊是向量，就可以與后面的向量知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合.

三、總結(jié)

矩陣的運(yùn)算，特別是矩陣的乘法與矩陣的分塊，對(duì)于大一學(xué)生來(lái)講很難理解，但只要掌握了以上幾點(diǎn)，對(duì)學(xué)習(xí)線性代數(shù)就能達(dá)到事半功倍的效果.

【參考文獻(xiàn)】

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