角谷猜想證明

王錦根

【摘要】本文應用反證法，通過數(shù)的互質，4x-1與4x+1相互轉換，證明3x+1猜想成立.

【關鍵詞】角谷猜想;黑洞;互質

一、“角谷猜想”概念

“角谷猜想”又稱“冰雹猜想”“哈塞猜想”“烏拉姆猜想”或“敘拉古猜想”它首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷的日本人把它帶到亞洲，因而，人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”又叫奇偶歸一猜想（英語：Collatz conjecture），是指對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對它乘3再加1，如果它是偶數(shù)，則對它除以2，如此循環(huán)，最終都能夠得到1.

取一個數(shù)字，如x=11（考慮屬于自然數(shù)范疇，在此處不用x表示，用n表示），根據上述公式，得出11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.簡化一下就是，11→34→17→52→13→40→5→16→1.（→未特別說明，表示按照角谷猜想運算規(guī)則進行運算）

應該說，角谷猜想是一種數(shù)學黑洞現(xiàn)象，它最終進入1→4→1的循環(huán)圈.倒推過來可以得到這樣一類數(shù)，當n=4k-13時，n展開來就是4k-1+4k-2+…+4+1，k∈N;具體為：1，5，21，85，…，4k-13（我們可以稱為“類黑洞數(shù)”），始終滿足角谷猜想，可惜不是全部奇數(shù)自然數(shù).

二、角谷猜想的黑洞

假設任一奇數(shù)n（n≠1），經過3x+1若干步驟計算，仍能回到n，且n不等于1，那它就會在其他數(shù)字循環(huán)，則3n+1猜想不成立.

（一）一步循環(huán)

假設：3n+12k1=n，且n≠1，k1∈N，∴n=12k1-3.

（二）二步循環(huán)

假設33n+12k1+12k2=n，且n≠1，k1，k2∈N，

∴n=2k1+32k1+k2-32.

（三）三步循環(huán)

由于命題列式表示麻煩，我們直接得出其解

n=2k1+k2+3·2k1+322k1+k2+k3-33，且n≠1，k1，k2，k3∈N.

……

（四）i步循環(huán)

（同上）

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i，

且n≠1，k1，k2，…，ki∈N.

在證明之前，我們先了解兩個概念，一是互質，二是公約數(shù)，公約數(shù)只有1和-1的兩個整數(shù)，叫作互質整數(shù)，公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫作互質自然數(shù).

現(xiàn)在我們看看

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i，

且n≠1.

當k1，k2，…，ki不全相等時，分子分母互質，證明很簡單（略）.

當且僅當，k1=k2=，…，=ki時，其最大公約數(shù)為2（i-1）·k1+3·2（i-2）·k1+32·2（i-3）·k1+…+3i-2·2k1+3i-1，否則沒有整數(shù)解.

當k1=k2=，…=ki時，

n=2k1+k2+…+ki-1+3·2k1+k2+…+ki-2+32·2k1+k2+…+ki-3+…+3i-2·2k1+3i-12k1+k2+…+ki-3i

=12ki-3.

當ki=2時，n=1與原命題矛盾，故3n+1猜想結果是1.

上述證明只在1→4→1中循環(huán)，大于1的奇數(shù)是如何回到1的呢？

三、證明

在證明之前，我們來說明幾個普遍現(xiàn)象，如果x→1，則4x+1→1，16x+5→1，64x+21→1，….

所以我們說所有奇數(shù)回到“1”的唯一途徑必須符合4x+1形式，如n=4k-13時，n展開來就是4k-1+4k-2+…+4+1，k∈N;具體為：1，5，21，85，…，4k-13.

需要強調的是，除以1以外，奇數(shù)可表現(xiàn)為4x-1和4x+1兩種形式或集合（這里奇數(shù)“1”是特例，黑洞）.

例1假設奇數(shù)x經過3x+1規(guī)則→1，則4x+1經過3x+1規(guī)則必然→1.

證明當3x+1→1，那么3·（4x+1）+14=3x+1→1，即證.容易求得進行黑洞1前的4x+1形式是4k-13（也可稱為類黑洞數(shù)）.說明任一個奇數(shù)，經過3x+1規(guī)則要進入黑洞1時，前提必須是4x+1形式，再次是類黑洞數(shù)，直至黑洞1.

例24x-1形式轉換4x+1形式.

解第一步：4x-1→6x-1=

12x1-7（當x為奇數(shù)，屬于4x+1形式）

12x1-124x2-13（當x為奇數(shù)，屬于4x-1形式）

24x2-1（當x為偶數(shù)，仍屬于4x-1形式）（1）

（2）

（3）

對于（2）式，24x2-13→36x2-19屬于4x+1形式，….

對于（3）式，當x1=2x2，x2=2x3，x3=2x4，…，為符合4x-1這一形式的奇數(shù)必為2（k+1）-1，k∈N（自然數(shù)）.

第二步：2（k+1）-1按照3x+1規(guī)則運行k次化為2·3k-1，即4x+1形式.

結論4x-1形式經過3x+1規(guī)則轉換，一定能夠轉換為4x+1形式.4x+1形式經過3x+1規(guī)則可經過4x-1形式，但僅僅是中間過程.基于不存在1以外的黑洞，4x-1形式、4x+1形式經過3x+1規(guī)則轉換的最終結果，肯定是類黑洞數(shù)的4x+1形式.

綜上所述，任何一個奇數(shù)，經過3x+1規(guī)則，均在形式4x-1與形式4x+1之間轉換，最終定格在4x+1形式而落入類黑洞數(shù)4k-13.

證畢