函數(shù)基本性質(zhì)在數(shù)列不等式證明中應(yīng)用

席天琦

【摘要】本文運(yùn)用函數(shù)區(qū)間單調(diào)性、凸凹性等基本性質(zhì)，提出了構(gòu)造數(shù)列不等式特征函數(shù)，對(duì)比分析函數(shù)的圖像構(gòu)成的幾何圖形面積，解析數(shù)列不等式的方法;推導(dǎo)得出了等差數(shù)列不等式和交錯(cuò)數(shù)列不等式的一般形式.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列不等式;凸凹性;區(qū)間單調(diào)性;區(qū)間面積

一、引言

本文構(gòu)造數(shù)列不等式特征函數(shù)，分析特征函數(shù)區(qū)間單調(diào)性、凸凹性，對(duì)比分析函數(shù)的圖像構(gòu)成的幾何圖形面積，證明數(shù)列不等式.

二、定理與證明

如圖1所示，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x2，則|DE|=x2-x1.

設(shè)曲線AC與AD，DE，EC圍城區(qū)域的面積為S.

則SADEF<S<SADEC.

如曲線方程為y=f（x），則S=∫x 2x1f（x）dx，

SADEC=SADEB-S△ABC=f（x1）·（x1-x2）-1/2（x1-x2）·[f（x1）-f（x2）]，

即∫x 2x1f（x）dx<f（x1）·（x1-x2）-1/2（x1-x2）·[f（x1）-f（x2）]，

曲線y=f（x）在A點(diǎn)的切線方程為

y=f′（x1）·（x-x1）+f（x1），

則|EF|=f′（x1）·（x2-x1）+f（x1），

|BF|=-f′（x1）·（x2-x1），

可得∫x 2x1f（x）dx>f（x1）·（x2-x1）+1/2（x2-x1）2·f′（x1），

即f（x1）·（x2-x1）+12（x2-x1）2·f′（x1）<∫x 2x1f（x）dx<f（x1）·（x1-x2）-1/2（x1-x2）·[f（x1）-f（x2）].

定理一指數(shù)數(shù)列不等式

1/2+1/p-1-1/（p-1）·（n+1）p-1<1+1/2p+1/3p+1/4p+…+1/np<2/p-11-1/（n+1）p-1（n≥2，n∈N，p≥2）.

證明構(gòu)造特征函數(shù)y=1/xp，x≥1;

因?yàn)閥′=-p/xp+1<0，y″=p·（p+1）xp+2>0，

所以，當(dāng)x≥1時(shí)，y=1xp單調(diào)遞減，圖像下凹;

∫n+111xpdx<1+1/2p+1/3p+1/4p+…+1/np×1-1/np×1-1/2×1×11/p-12/p+12/p-13/p+13/p+…+1/（n-1）p-1/np+1/np-1/（n+1）p=∑ni-11ip-1np-1/2×1-1/（n+1）p，

∫n+111xpdx=-1p-1×x-p+1n+11

=-1p-1×1（n+1）p-1-1

=1p-11-1（n+1）p-1.

代入上式整理可得

12+1p-1-1（p-1）·（n+1）p-1<1+12p+13p+14p+…+1np.

任一點(diǎn)（x=k，y=k-p），

y′|x=k=-p·x-p-1=-p·k-p-1，

曲線y=1xp，在點(diǎn)（k，k-p）處切線方程為

y=-p·k-p-1·（x-k）+k-p，

可得|EF|x=n+1=k-p-p·k-p-1，

|BF|x=k+1=p·k-p-1，

SADEF=1kp×1-12×1×p·k-p-1=k-p-12p·k-p-1，

SADEC=∫k+1k1xpdx，

SADEF<SADEC，

1+12p+13p+14p+…+1np×1-12×1×∑nk=1p·n-p-1<1p-11-1（n+1）p-1，

∑nk=11kp<1p-11-1（n+1）p-1+12P∑nk=1k-p-1<1p-11-1（n+1）p-1+12∑nk=11kp-12∑pk=11kp（p-1），

整理得∑nk=11kp<2p-11-1（n+1）p-1.

指數(shù)數(shù)列不等式的一般形式為

12+1p-1-1（p-1）·（n+1）p-1<1+12p+13p+14p+…+1np<2p-11-1（n+1）p-1.（1）

定理二等差數(shù)列不等式

1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑i=n-1i=01（a+id）p<2d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]，a>0，d>0，n≥2，n∈N，p≥2.

證明構(gòu)造特征函數(shù)y=1（a+dx）p，x≥0;

因?yàn)閥′=-d·p（a+dx）p+1<0，y″=d2·p·（p+1）（a+dx）p+2>0，

所以，當(dāng)x≥0時(shí)，y=1（a+dx）p單調(diào)遞減，圖像下凹;

∫n01（a+xd）pdx<a+1（a+d）p+1（a+2d）p+1（a+3d）p+…+1[a+（n-1）d]p+1（a+nd）p×1-1（a+nd）p×1-12×d×1ap-1（a+d）p+…-1（a+nd）p，（2）

∫n01（a+xd）pdx=1d（1-P）（a+xd）1-pn0=1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p].（3）

將（2）（3）合并整理可得

1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑k=n-1k=01（a+kd）p.

任一點(diǎn)（x=k，y=（a+k·d）-p），y′|x=k=-p·d·（a+xd）-p-1=-p·d·（a+k·d）-p-1，

曲線y=1xp，在點(diǎn)（k，（a+kd）-p）處切線方程為

y=-p·d·（a+kd）-p-1·（x-k）+（a+kd）-p，

可得|BF|x=n+1=p·d·（a+kd）-p-1，

SADEF=（a+kd）-p-12p·d·（a+kd）-p-1，

SADEC=∫k+1k1（a+xd）pdx，

SADEF<SADEC，

∑n-1k=01（a+kd）p×1-12×1×∑n-1k=0pd（a+kd）-p-1<1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]，

∑n-1k=01（a+kd）p<2d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p].

等差數(shù)列不等式的一般形式為

1d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p]+12×d×1ap<∑i=n-1i=01（a+id）p<2d（1-P）×[（a+nd）1-p-a1-p].（4）

定理三交錯(cuò)數(shù)列不等式

12+1p-11-12p-1-1p-11（n+1）p-1+12np<2∑nk=1（-1）k-1k-p<1-2-p+12（p-1）+21-1（n+1）p-42-p-1（n+2）p，n≥2，n∈N，p≥2.

證明構(gòu)造特征函數(shù)y=1xp，x≥1;

M=1-12p+13p-14p+…+（-1）n+11np，

M1=1+12p+13p+14p+…+1np，

M2=12p+14p+…+1（2k）p，

則M=M1-2M2，

M2=12p+14p+…+1（2k）p=（2）-p×1+12p+13p+…+1kp.

又因?yàn)閷?duì)于任?。?k+1～2k+4）區(qū)間存在

S1=2×1（2k+1）p-12×2×1（2k+1）p-1（2k+3）p-∫2k+32k+11xpdx，

S2=2×1（2k+2）p-12×2×1（2k+2）p-1（2k+4）p-∫2k+42k+21xpdx，

S1-S2=2×1（2k+1）p-1（2k+2）p-1（2k+1）p-1（2k+3）p-1（2k+2）p+1（2k+4）p-∫2k+32k+11xpdx+∫2k+42k+21xpdx，

圖2交錯(cuò)數(shù)列面積對(duì)比示意圖

S1-S2=2×1（2k+1）p-1（2k+2）p-1（2k+1）p-1（2k+3）p-1（2k+2）p+1（2k+4）p+11-p[（2k+4）-p+1-（2k+3）-p+1-（2k+2）-p+1+（2k+1）-p+1]=1（2k+1）p-1（2k+2）p+1（2k+3）p-1（2k+4）p+11-p1（2k+4）p-1-1（2k+3）p-1+1（2k+2）p-1-1（2k+1）p-1.

當(dāng)p≥2時(shí)，顯然S1-S2>0.

又因?yàn)镸1=SACGE-S1，M2=SBDHF-S2，

M1-M2=SACGE-SBDHF-（S1-S2）<SACGE-SBDHF，

∫n+111xpdx-2·2-p∫k+111xpdx<1+12p+13p+14p+…+1np×1-12×1×11p-12p+12p-13p+13p+…+1（n-1）p-1np-21-p1+12p+13p+14p+…+1kp×1-12×1×11p-12p+12p-13p+13p+…+1（k-1）p-1kp=∑ni-11ip-12×1-1np-21-p∑ki-11ip-12×1-1kp，

1p-11-1（n+1）p-1-21-p1p-11-1（k+1）p-1<∑ni-11ip-21-p∑ki-11ip-12×1-1np+21-p·12×1-1kp，

1p-11-1（n+1）p-1-21-p·1p-11-1（k+1）p-1+12-12（2k）p-12p+1（2k）p<∑ni-11ip-21-p∑ki-11ip=M，

12+1p-11-12p-1-1p-11（n+1）p-1-1（n+2）p-1+12np<1-12p+13p-14p+…+（-1）n+11np.

任一點(diǎn)（2k+1，（2k+1）-p），y′|2k+1=-p·x-p-1=-p·（2k+1）-p-1，

曲線y=1xp，在點(diǎn)（2k+1，（2k+1）-p）處切線方程為

y=-p（2k+1）-p-1·（x-2k-1）+（2k+1）-p，

可得|EF|x=2k+3=-2p（2k+1）-p-1+（2k+1）-p，

|BF|x=k+1=2p（2k+1）-p-1.

圖3交錯(cuò)數(shù)列面積對(duì)比示意圖

S=1（2k+1）p×2-12×2×2p（2k+1）-p-1=2（2k+1）-p-2p（2k+1）-p-1，

SACGFE=∫2k+32k+11xpdx=1P-11（2k+1）p-1-1（2k+3）p-1，

SADEF<SADEC，

2∑nk=1k-p-2-p+2∑n 2k=1k-p-∑nk=12pk-p-1+2-p+1∑n2k=12pk-p-1<∫n11xpdx-2·2-p∫n 211xpdx=1p-1（1-n1-p）-2-p+1p-11-n21-p，

整理得2∑nk=1（-1）kk-p<1-2-p+1p-1+∑nk=12pk-p-1-2-p+1∑n2k=12pk-p-1，

∑nk=1（-1）kk-p<1-2-p+12（p-1）+21-1（n+1）p-42-p-1（n+2）p.

交錯(cuò)數(shù)列不等式的一般形式為

12+1p-11-12p-1-1p-11（n+1）p-1+12np<2∑nk=1（-1）k-1k-p<1-2-p+12（p-1）+21-1（n+1）p-42-p-1（n+2）p.（5）

三、結(jié)語

構(gòu)造特征函數(shù)，利用特征函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性和凹凸性，通過函數(shù)圖形構(gòu)成的幾何圖形面積對(duì)比，構(gòu)建并證明了指數(shù)數(shù)列不等式、等差數(shù)列不等式和交錯(cuò)數(shù)列不等式的一般形式.

【參考文獻(xiàn)】

[1]匡繼昌.常用不等式[M].長沙：湖南教育出版社，1993.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1981.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]王磊.調(diào)和級(jí)數(shù)的應(yīng)用[J].林區(qū)學(xué)報(bào)，2014（9）：87-88.

[5]李動(dòng)本.構(gòu)造函數(shù)證明一類不等式[J].濮陽教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（4）：55.

[6]張建波.M階等差數(shù)列的前N項(xiàng)和[J].濮陽教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（9）：220-221.

[7]聶輝華.等冪和不等式[J].湖南大學(xué)邵陽分校學(xué)報(bào)，1991（1）：8.

[8]孫燮華.Eluer公式的推廣及其精確化[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1983（1）：22-25.

[9]關(guān)于Eluer公式的推廣及其精確化[J].甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1992（2）：24-27.