一類(n+2)維n-李代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究

吳興慧 顏蓉

【摘要】本文研究了導(dǎo)代數(shù)維數(shù)是1時(shí)，（n+2）維n-李代數(shù)的乘法表，并且計(jì)算了導(dǎo)代數(shù)維數(shù)是1時(shí)，（n+2）維n-李代數(shù)的乘法表與內(nèi)導(dǎo)子結(jié)構(gòu).

【關(guān)鍵詞】（n+2）維n-李代數(shù);乘法表;內(nèi)導(dǎo)子結(jié)構(gòu)

n-李代數(shù)是李代數(shù)的推廣.研究n-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)形式對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的發(fā)展有著重要作用.在數(shù)學(xué)、物理學(xué)中都有著重要應(yīng)用，特別是度量3-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征在弦理論及BLG理論中有著極其重要的作用.因此，對(duì)n-李代數(shù)結(jié)構(gòu)研究有著重要意義.本文重點(diǎn)研究一類特殊的（n+2）維 n-李代數(shù)的結(jié)構(gòu).

定義1[1] 設(shè)n-李代數(shù)A是域F（ch（F）≠2）上的向量空間，具有n-元線性運(yùn)算，也稱n元方括號(hào)運(yùn)算[x1，x2，…，xn]，對(duì)于任意的x1，x2，…，xn，y2，…，yn∈A，[x1，x2，…，xn]滿足

[x1，x2，…，xn]=sgn（σ）[xσ1，xσ2，…，xσn]，

[[x1，x2，…，xn]，y2，y3，…，yn]=∑ni=1[x1，…[xi，y2，y3，…，yn]，xi+1，…，xn]，

其中σ∈Sn，當(dāng)σ是偶排列，sgn（σ）=1;當(dāng)σ是奇排列，sgn（σ）=-1.

定義2[1] 設(shè)A是任意n-李代數(shù)，對(duì)任意的x1，x2，…，xn∈A，線性變換

R（x1，x2，…，xn-1）：A→A，

（xn）R（x1，x2，…，xn-1）=[xn，x1，x2，…，xn-1]，

稱為由元素x1，x2，…，xn-1∈A決定的右乘算子.

定義3[2] Z（A）={x|[x，A，…，A]=0}稱為A的中心.

引理1[3] A是特征為0的代數(shù)閉域F上的（n+1）維n-李代數(shù)（n≥3），e1，e2，…，en+1是A的基，dimA1=1，在同構(gòu)意義下，A的乘法表有兩種情況為：

（a1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1.

或（a2）[e1，e2，e3，…，en]=e1.

引理2[4] A是特征為0的代數(shù)閉域F上的（n+2）維n-李代數(shù)（n≥3），dimA1=1，則存在余維數(shù)為1的包含A1的非Abel子代數(shù).

下面的陳述中，假設(shè)F是特征為0的代數(shù)閉域，并且任何沒有在乘法表中列出的n-李代數(shù)的方括號(hào)運(yùn)算為0.

定理1 A是域F上的n+2維n-李代數(shù)，e1，e2，e3，…，en+2是A的基，dimA1=1且A1=Fe1，則在同構(gòu)意義下，A的乘法表有兩種情況如下：

（a1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1，

（a2）[e1，e2，e3，…，en]=e1.

證明 由引理2知，存在n+1維n-李代數(shù)包含A1，則A的乘法表有以下兩種可能

（1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1，

[e1，…，êi，…，êj，…，en+2]=aije1，aij∈F，1≤i<j≤n+1，

（2）[e1，e2，e3，…，en]=e1，

[e1，…，êi，…，êj，…，en+2]=aije1，aij∈F，1≤i<j≤n+1.

先討論第（1）種情況，當(dāng)i>1時(shí)，把（1）中的[e2，e3，e4，…，en+1]=e1代入（1）中第二個(gè)等式中，得

aije1=[e1，…，êi，…，êj，…，en+2]=[[e2，e3，e4，…，en+1]，…，êi，…，êj，…，en+2]=0，

即aij=0（1<i<j≤n+1）.

所以（1）等價(jià)于

（1）′[e2，e3，e4，…，en+1]=e1，

[ê1，e2，…，êj，…，en+2]=a1je1，a1j∈F，2≤j≤n+1.

注意到，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，用en+2-a1，n+1en+1+a1，nen-…+a13e3-a12e2替代en+2，得

[ê1，e2，…，êj，…，en+2-a1，n+1en+1+a1，nen-…+a13e3-a12e2]=0.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，用en+2-a1，n+1en+1+…-a13e3+a12e2替代en+2，得

[ê1，e2，…，êj，…，en+2-a1，n+1en+1+…-a13e3+a12e2]=0.

所以（1）′等價(jià)于

（a1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1.

同理討論（2），得（2）等價(jià)于

（a2）[e1，e2，e3，…，en]=e1.

因?yàn)椋╝1）中A1Z（A），（a2）中A1Z（A），即（a1）與（a2）不同構(gòu).所以A的乘法表有兩種情況如下：

（a1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1，

（a2）[e1，e2，e3，…，en]=e1.

證畢.

下面討論A的內(nèi)導(dǎo)子結(jié)構(gòu).其中Eij表示（i，j）位置值為1，其余位置值為0的矩陣.對(duì)任意的導(dǎo)子R∈ad（A），R對(duì)應(yīng)的矩陣形式為R=∑ni，j=1aijEij.

定理2 設(shè)A是域F上的n+2維n-李代數(shù)，e1，e2，e3，…，en+2是A的基，dimA1=1且A1=Fe1，有下列結(jié)論成立：

（1）A的乘法表是（a1）時(shí)，A的內(nèi)導(dǎo)子結(jié)構(gòu)為

ad（A）=FE21+FE31+FE41+…+FEn+1，1，

且ad（A）是維數(shù)為n的可交換李代數(shù).

（2）A的乘法表是（a2）時(shí)，則

ad（A）=MFE11，

其中M=FE21+FE31+FE41+…+FEn，1是可交換的理想，并且dimad（A）=n.

證明 （1）A的乘法表為（a1）時(shí)，當(dāng)2≤j

（ei）R（e1，e2，…，êj，…，êk，…，êl，…，en+2）=[ei，e1，e2，…，êj，…，êk，…，êl，…，en+2]=0.

又因?yàn)椋╡i）R（e2，…，êj，…，en+1）=[ei，e2，…，êj，…，en+1]=（-1）je1，

所以R（e2，…，êj，…，en+1）=（-1）jEj1，2≤j≤n+1.

即R（e2，…，êj，…，en+1），2≤j≤n+1是ad（A）的一組基.

所以ad（A）=FE21+FE31+FE41+…+FEn+1，1且dimad（A）=n.

又因?yàn)閇Ei1，Ej1]=0（i，j=2，3，…，n+1），

所以ad（A）是維數(shù)為n的可交換李代數(shù).

（2）A乘法表為（a2），當(dāng)1≤j<k<l≤n+1或1≤j<k<l≤n+2（j，k，l≠n+1）時(shí)，

（ei）R（e1，e2，…，êj，…，êk，…，êl，…，en+1，en+2）=[ei，e1，e2，…，êj，…，êk，…，êl，…，en+1，en+2]=0.

又因?yàn)椋╡i）R（e2，…，êj，…，en）=[ei，e1，e2…，êj，…，en]=（-1）j+1e1（i=j），

令M=FE21+FE31+FE41+…+FEn，1，

因?yàn)閇Eji，E11]=Ej1，[Ej1，Ei1]=0，

M是可交換的理想，并且dimad（A）=n，ad（A）=MFE11.

證畢.

【參考文獻(xiàn)】

[1]FILIPPOV V T.n-Lie Algebras[M].Sib Mat Zh，1985（6）：126-140.

[2]Sh.M.Kasymov.On a theory of n-Lie algebras[J].Algebra Logika，1987（3），277-297.

[3]R Bai，G Song.The classification of six-dimensional 4-Lie algebras[J].A：Math.Theor，2009（35）：207.

[4]Bai Ruipu，Liu Ning ning.The 6-dimensional 3-Lie algebras[J].Journalof Tangshan Teachers college，2009（3）：195-205.