一類(lèi)二元接龍函數(shù)極值問(wèn)題的構(gòu)造性解法及推廣

張靖華

函數(shù)F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g中的后一個(gè)根號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)是前一個(gè)根號(hào)內(nèi)的末項(xiàng)，從第二項(xiàng)起至倒數(shù)第二項(xiàng)止，根號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)是該根號(hào)內(nèi)兩個(gè)變量積的倍數(shù).把形如這樣的函數(shù)稱(chēng)之為接龍函數(shù).求這類(lèi)接龍函數(shù)的極值問(wèn)題，無(wú)論是采用常規(guī)的初等數(shù)學(xué)方法，還是采用高等數(shù)學(xué)的微分法都很難奏效，本文將借助余弦定理，采用數(shù)形結(jié)合的構(gòu)造性方法，給出接龍函數(shù)F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g在給定條件下的最值定理，并加以推廣.

定理1 若a，c，e，g∈R+，且Δ1=4ca-b2≥0，Δ2=4ae-d2≥0，Δ3=4eg-f2≥0.則函數(shù)

F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g.

當(dāng)x=cg·sin（α+β+γ）ca·sinα+ag·sin（β+γ），y=cg·sin（α+β+γ）eg·sinγ+ce·sin（α+β） 時(shí)，

有最小值：

F（x，y）min=c+g-2cg·cos（α+β+γ）;

或當(dāng)x=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ1-2afΔ2-2adΔ3，y=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ3-2beΔ2-2deΔ1 時(shí)，

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf，

其中cosα=-b2ca，cosβ=-d2ae，cosγ=-f2eg，α，β，γ，∈[0，π].

證明 F（x，y）的三項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，故f（x，y）存在最小值是顯然的.

（1）當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，

∵4ca-b2≥0，4ae-d2≥0，4eg-f2≥0，

∴-b2ca≤1，-d2ae≤1，-f2eg≤1.

令-b2ca=cosα，-d2ae=cos，β-f2eg=cosγ，

則F（x，y）=（c）2+（a·x）〗2-2c·a·x·-b2ac

+（a·x）2+（e·y）2-2a·xe·y·-d2ae

+（e·y）2+（g）2-2g·e·y·-f2eg

=（c）2+（a·x）2-2ca·x·cosα

+（a·x）2+（e·y）2-2ae·x·y·cosβ

+（e·y）2+（g）2-2eg·y·cosγ.

=f（x）+f（x，y）+f（y）.

以線(xiàn)段BC=c，曲線(xiàn)CD=f（x）;DE=f（x，y）;EA=f（y），線(xiàn)段AB=g為邊，以線(xiàn)段BD=ax，BE=ey為對(duì)角線(xiàn)，構(gòu)造如圖所示的動(dòng)態(tài)“五邊形ABCDE”.于是在△ABC中，由余弦定理得：

F（x，y）=f（x）+f（x，y）+f（y）≥AC

=c+g-2cg·cos（α+β+γ）.

利用余弦三角函數(shù)和差公式展開(kāi)并整理得：

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf.

由圖知：僅當(dāng)D，E在AC上時(shí)等號(hào)成立，設(shè)BE，BD分別交AC于E′，D′，

故S△CBD′+S△D′BA=S△ABC，S△ABE′+S△E′BC=S△ABC.

利用正弦三角函數(shù)面積公式，及相關(guān)的正弦三角函數(shù)和差公式并整理知：

當(dāng)x=cg·sin（α+β+γ）ca·sinα+ag·sin（β+γ），y=cg·sin（α+β+γ）eg·sinγ+ce·sin（α+β） 時(shí)，

F（x，y）min=c+g-2cg·cos（α+β+γ）;

或當(dāng)x=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ1-2afΔ2-2adΔ3，y=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ3-2beΔ2-2deΔ1 時(shí)，

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf.

（2）當(dāng)x<0，y<0時(shí)，令x=-u，y=-v，F(xiàn)（x，y）=φ（-u，-v），仿（1）易證定理成立.

（3）當(dāng)x≥0，y<0或x<0，y≥0時(shí)仿上做類(lèi)似變換，易證定理仍然成立.

對(duì)上述定理稍加推廣便得到如下定理

定理2 若ai∈R+，Δi=4aiai+1-b2i≥0，且x0=xn+1=1，則n元接龍函數(shù)

F（x1，x2，…xn）=∑ni=0aix2i+bixixi+1+ai+1x2i+1的最小值為

F（x1，x2，…，xn）min=a0+an+1-2a0an+1·cos∑ni=0αi，

其中i=0，1，2，3…n，cosαi=-bi2aiai+1，αi∈[0，π]證明從略.