高中數(shù)學(xué)錯(cuò)因分析法及其教學(xué)策略
——以一道概率題的錯(cuò)因分析為例

董留蕾

(安徽省樅陽(yáng)中學(xué) 安徽銅陵 246701)

著名教育家葉圣陶先生說(shuō)：教是為了不教。這句話(huà)富含哲理。教是手段，不教才是目的，要實(shí)現(xiàn)教的結(jié)果“不教”，前提是學(xué)生能夠接受并掌握教師的教學(xué)內(nèi)容，包括知識(shí)的運(yùn)用范圍和運(yùn)用方法，教師必須對(duì)教學(xué)內(nèi)容和《課程標(biāo)準(zhǔn)》了然于心，明確學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。而要了解學(xué)生的情況，并采用有效的教學(xué)手段和方法發(fā)展學(xué)生的思維能力，從而使教學(xué)目標(biāo)得到實(shí)現(xiàn)，筆者根據(jù)十多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐得出，對(duì)學(xué)生所做的試題進(jìn)行錯(cuò)因分析，診斷錯(cuò)因形成原因，攻破思維障礙，是一種可行的教學(xué)途徑?，F(xiàn)以一道概率題為例，分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤類(lèi)型和糾錯(cuò)策略，探索出引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)策略。

一、案例分析

1.例題

某校為市運(yùn)動(dòng)會(huì)招收志愿者，從報(bào)名的6個(gè)人(其中女生4人，男生2人)中，任選3人進(jìn)入面試。

(1)求選擇女生a或男生b的概率；

(2)設(shè)“選擇女生a”為事件A,“選擇男生b”為事件B,求P(B)和P(A|B)。

這是一道極其常規(guī)的概率題，筆者在所教學(xué)的兩個(gè)班級(jí)學(xué)生中進(jìn)行測(cè)試。每個(gè)班級(jí)學(xué)生人數(shù)為60，其中，一個(gè)班級(jí)有33人出現(xiàn)失誤，另一個(gè)班級(jí)也有25人出錯(cuò)。在進(jìn)行試卷分析前，筆者對(duì)不同得分情況的學(xué)生，進(jìn)行廣泛的調(diào)查和個(gè)別的交流，了解他們解答此題的情況。

2.常見(jiàn)錯(cuò)解類(lèi)型及其歸因

根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)記錄和錯(cuò)因歸納，該題有下列常見(jiàn)錯(cuò)解類(lèi)型和原因：

出錯(cuò)歸因：審題失誤。該類(lèi)同學(xué)誤以為是求兩個(gè)概率:女生a被選中；男生b被選中。

出錯(cuò)歸因：思維錯(cuò)誤，以偏概全。該類(lèi)同學(xué)以為“選擇女生a或男生b”等于“只有a被選和只有b被選”，沒(méi)有考慮到“a,b同時(shí)被選中”。

出錯(cuò)歸因：概念原理不清。該類(lèi)同學(xué)利用公式P(AB)=P(A)·P(B)求P(AB)，以致P(AB)求錯(cuò)，忘了這個(gè)公式的前提是A,B是相互獨(dú)立事件。

錯(cuò)解4: (1) 令“既沒(méi)選女生a也沒(méi)選男生b”為事件C，則

3.常見(jiàn)的正確解法

簡(jiǎn)潔而正確的解題方法主要有下列二法：

(1)正解一：令“既沒(méi)選女生a也沒(méi)選男生b”為事件C，則

(2)正解二：選擇女生a或男生b可以看成是三個(gè)事件的和事件:選擇女生a而未選擇男生b,選擇男生b而未選擇女生a,女生a和男生b都被選中。

二、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)因分析的教學(xué)策略

1.歸納數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)因類(lèi)型

萬(wàn)物變化皆有因。學(xué)生數(shù)學(xué)解題出現(xiàn)問(wèn)題，其原因很多。從學(xué)習(xí)的主體、學(xué)習(xí)的過(guò)程、學(xué)習(xí)的目標(biāo)和學(xué)習(xí)的情境劃分，主要有知識(shí)欠缺、心理緊張、解題不規(guī)范、思維不嚴(yán)謹(jǐn)或混亂等；從解題過(guò)程分析，主要錯(cuò)因有雙基性失誤、策略性失誤、心理性失誤、邏輯性失誤等四個(gè)方面。歸納以前教學(xué)過(guò)程中記錄的學(xué)生錯(cuò)題類(lèi)型，最常見(jiàn)的幾大問(wèn)題有以下幾類(lèi)：

(1)對(duì)數(shù)學(xué)概念理解不透，以致解題時(shí)不能正確地寫(xiě)出答案。

(2)計(jì)算粗心導(dǎo)致錯(cuò)誤，一些學(xué)生計(jì)算能力較弱。

(3)思路混亂，推理過(guò)程不合理，論證欠嚴(yán)密，部分學(xué)生在證明時(shí)還多加條件。

(4)學(xué)生受思維定勢(shì)的影響，引起解題錯(cuò)誤。

(5)審題不仔細(xì)，解題過(guò)程不規(guī)范，不能熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去表達(dá)和解決問(wèn)題。

(6)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的現(xiàn)象較為嚴(yán)重。

2.學(xué)生自我糾錯(cuò)更重要

教是為了不教。學(xué)生自我糾正比老師反復(fù)講解和強(qiáng)調(diào)效果要好百倍。要真正糾正學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生的錯(cuò)誤，不僅要指出學(xué)生的錯(cuò)誤所在，還要糾正學(xué)生書(shū)寫(xiě)的錯(cuò)誤答案，更要糾正學(xué)生錯(cuò)誤的思維方式和思維習(xí)慣。這就要引導(dǎo)學(xué)生尋找答案與題目的關(guān)系，尋找自己的答案與標(biāo)準(zhǔn)答案的本質(zhì)區(qū)別，讓學(xué)生自我糾錯(cuò)。其方法是選擇學(xué)生訓(xùn)練過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤問(wèn)題作為典型例題，指導(dǎo)學(xué)生如何從題目中提取關(guān)鍵信息，如何正確地運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理，如何合理地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，如何準(zhǔn)確地組織答案，從而校正學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方式，再給出一道變形問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行分析解答，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

3.設(shè)計(jì)錯(cuò)誤類(lèi)型統(tǒng)計(jì)表

為了幫助學(xué)生解決這些問(wèn)題，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)表格并發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生自我統(tǒng)計(jì)。表格如下。

錯(cuò)誤類(lèi)型統(tǒng)計(jì)表

三、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的教學(xué)策略

1.重視基礎(chǔ)，回歸教材

教材又稱(chēng)課本，是教師教學(xué)的教科書(shū)，是學(xué)生學(xué)習(xí)的藍(lán)本，是按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求編寫(xiě)的教學(xué)用書(shū)，是一門(mén)課程的核心教學(xué)材料。課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了學(xué)科的教育目標(biāo)和教育內(nèi)容以及實(shí)施建議，它向教育者提出要面向全體學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的多樣化發(fā)展，代表著國(guó)家意志。

高考是檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果是否達(dá)到國(guó)家規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的一種手段。高考命題的基本原則就是“以考綱為準(zhǔn)，以教材為本”，教材是很多高考題的來(lái)源，許多高考題就是對(duì)教材實(shí)例和練習(xí)的改編或擴(kuò)展。因此，要想在高考中成功，教師必須掌握國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，學(xué)生必須掌握課本的內(nèi)容。比如上文中的例題就改編自人民教育出版社A版課本《數(shù)學(xué)》選修2—3第28頁(yè)第15題。題目節(jié)選如下：

從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽。

(1)如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？

(2)如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有多少種選法？

(3)如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？

高考中的數(shù)學(xué)試題與課本中的例題彼此相似的不勝枚舉，因此我們每位數(shù)學(xué)老師都應(yīng)具備對(duì)教材進(jìn)行研究的態(tài)度和專(zhuān)業(yè)素質(zhì)。

2.以人為本，聚焦素養(yǎng)

根據(jù)學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)原理，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中除了受自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維水平、智力因素等影響外，還受著自身的非智力因素的強(qiáng)烈影響。

就拿上文中的例題來(lái)說(shuō)，后期就有學(xué)生自我糾錯(cuò)時(shí)說(shuō)“考試時(shí)比較心急，題目看錯(cuò)，以為選2人” ，還有學(xué)生說(shuō)“看到6個(gè)人中選3人，題中又提到6個(gè)人中有4名女生2名男生，馬上想到分層抽樣，但在分類(lèi)處理的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)越往后越分不清，最后慌了就瞎寫(xiě)了”。這些現(xiàn)象不僅說(shuō)明學(xué)生知識(shí)層面不足，還反映出學(xué)生的心理素質(zhì)不過(guò)硬，意志力不強(qiáng)。要想收到好的學(xué)習(xí)效果，就必須促進(jìn)學(xué)生智力因素和非智力因素共同發(fā)展。

教師的教是為了學(xué)生的學(xué)，所以在課堂教學(xué)中應(yīng)留給學(xué)生充足的思考時(shí)間和充分的表達(dá)機(jī)會(huì)，老師不可滿(mǎn)堂灌。教師在教學(xué)中應(yīng)緊緊圍繞學(xué)生, 要關(guān)注到學(xué)生個(gè)體的差異，不僅要“授人以魚(yú)”，更要“授人以漁”。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)提出，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些素養(yǎng)相對(duì)獨(dú)立又交織在一起，是一個(gè)有機(jī)的整體。通過(guò)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生將獲得未來(lái)發(fā)展所需要的“四基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))和“四能”(從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力)。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，以學(xué)生發(fā)展為本，從而實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的教育目標(biāo)。