用平行板電容器電容公式求非平行板電容器電容

黃紹書 王金霞

(六盤水市第23中學(xué)，貴州 六盤水 553000)

用平行板電容器電容公式求非平行板電容器電容

黃紹書 王金霞

(六盤水市第23中學(xué)，貴州 六盤水 553000)

本文從平行板電容器的電容公式出發(fā)，并基于非平行板電容器可以看作由若干個(gè)小型平行板電容器串聯(lián)與并聯(lián)的思想，給出球冠形電容器和柱冠形電容器電容的一種簡(jiǎn)易計(jì)算方法。

平行板電容器；非平行板電容器；球冠形電容器；柱冠形電容器；電容計(jì)算

電容器是一種很重要的電子元件，在各種電子產(chǎn)品和電氣設(shè)備中都是不可或缺的。關(guān)于電容器電容的求法，期刊文獻(xiàn)[1-6]通常都是先由高斯定理或通過冗繁的積分運(yùn)算求出電容器極板的空間電場(chǎng)分布，然后結(jié)合兩極板之間的電勢(shì)差，再根據(jù)電容器電容的定義進(jìn)行計(jì)算，比較復(fù)雜。而普通高等學(xué)校電磁學(xué)教材[7]，通常又僅給出球形電容器和柱形電容器的電容作典型范例。因此，普通讀者對(duì)一些非常規(guī)電容器電容的計(jì)算方法不能很好掌握。

平行板電容器是最簡(jiǎn)單的電容器，其電容公式同樣也很簡(jiǎn)單。但事實(shí)上，任意的非平行板電容器都可以看作由若干個(gè)小型平行板電容器串聯(lián)與并聯(lián)而成。因此，非平行板電容器的電容計(jì)算，完全可以從平行板電容器的電容公式出發(fā)，找出比較簡(jiǎn)單易懂的方法。本文分別將球冠形電容器和柱冠形電容器簡(jiǎn)化成由若干個(gè)小型平行板電容器串聯(lián)與并聯(lián)的組合之后，在不考慮邊界效應(yīng)的條件下,據(jù)此給出它們電容的簡(jiǎn)易計(jì)算方法，以供參考。

1 平行板電容器

在不考慮邊界效應(yīng)的條件下，平行板電容器的電容可表示為

式中，ε0電容器兩極板間電介質(zhì)的介電常數(shù);S為兩極板的正對(duì)面積;d為兩極板之間的距離。

2 球冠形電容器

如圖1所示，設(shè)球冠的高為H，對(duì)應(yīng)球半徑為R，最大圓半徑為r，最大圓的直徑兩端與球心連線的夾角為φ,那么球冠面積為

圖 1

圖 2

不難理解，球冠形電容器可認(rèn)為是由許多同心薄介質(zhì)球冠串聯(lián)而成的。因此，同心球冠形電容器的電容C滿足

所以

3 柱冠形電容器

若柱冠的長(zhǎng)為L(zhǎng)、半徑為R、圓心角為θ，那么柱冠的面積可表示為

S=L·Rθ

如圖3所示是內(nèi)外柱面半徑分別為R1和R2、長(zhǎng)為L(zhǎng)(L?R2-R1)、圓心角為θ的同軸柱冠形電容器(沿軸的一小切塊)示意圖。我們同樣可把柱冠形電容器看作是由許多同軸的薄介質(zhì)柱冠構(gòu)成的，而每一個(gè)薄介質(zhì)柱冠又可以看作是由極板面積為ΔS的平行板電容器并聯(lián)起來的。設(shè)薄介質(zhì)柱冠的半徑為r、厚度為dr，那么薄介質(zhì)柱冠的電容為

圖 3

容易理解，柱冠形電容器可認(rèn)為是由許多同心薄介質(zhì)柱冠串聯(lián)而成的。所以，同心柱冠形電容器的電容C滿足

因此

4 推論

球形電容器和柱形電容器分別是上述球冠形電容器和柱冠形電容器的特殊情況，在

中，當(dāng)φ=2π或θ=2π時(shí)，即可分別簡(jiǎn)化為

這分別就是球形電容器和柱形電容器的電容表達(dá)式。

[1] 陳鑫鑫，陳鋼.開縫橢圓柱板電容器的電容[J].物理與工程，2016(6):102-105.

Chen Xinxin, Chen Gang. Capacitance of slit-elliptical column capacitor[J]. Physics and Engineering, 2016(6): 102-105. (in Chinese)

[2] 吳正懷.兩個(gè)半圓柱面極板間電場(chǎng)和電容的初等函數(shù)表達(dá)式[J].安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1993(2):34-38.

Wu Zhenghuai. The elementary function expression of electric field and capacitance between two semi-cylindrical plates[J]. Journal of Anhui University (Natural Science Edition), 1993(2): 34-38. (in Chinese)

[3] 石東平.不共軸圓柱形電容器電容的計(jì)算[J].西南民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1996(3):363-365.

Shi Dongping. Calculation of Capacitance of Non-coaxial Cylindrical Capacitors[J]. Journal of Southwest Nationalities Institute (Natural Science Edition), 1996(3): 363-365. (in Chinese)

[4] 楊一軍，李群，呂淑玲.非平行板電容器電容的一種近似解[J].淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào),2000(3):37-39.

Yang Yijun, Li Qun, Lv Shuling. An Approximate Solution of Capacitance of Non-parallel Plate Capacitors[J]. Journal of Huaibei Coal Normal university, 2000(3): 37-39. (in Chinese)

[5] 林炳火.非平行板電容器電容的一種算法[J].泉州師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005(6):52-54.

Lin Binghuo. An algorithm for capacitance of non-parallel plate capacitor[J]. Journal of Quanzhou Normal university (Natural Science Edition), 2005(6): 52-54. (in Chinese)

[6] 洪清泉.兩種求電容方法的比較[J].泉州師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999(6)：73-75.

Hong Qingquan. Comparison of two methods for calculating capacitance[J]. Journal of Quanzhou Teachers College (Natural Science Edition), 1999(6): 73-75. (in Chinese)

[7] 趙凱華，陳熙謀.新概念物理教程 電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2006(12):63-64.

CALCULATIONOFCAPACITORCAPACITANCEOFNON-PARALLELPLATEWITHCAPACITANCEFORMULAOFPARALLELPLATECAPACITOR

HUANGShaoshuWANGJinxia

(Liu Panshui No.23 Middle School, Liupanshui Guizhou 553000)

Based on the capacitance formula of the parallel plate capacitor and the thought that the non-parallel plate capacitor can be regarded as the combination of series connection and parallel connection of several small parallel plate capacitors, this paper gives a simple calculation method for the capacitance of a ball crown capacitor and a cylindrical crown capacitor.

parallel plate capacitor; non-parallel plate capacitor; ball crown capacitor; cylindrical crown capacitor; capacitance calculation

2017-04-16；

2017-05-28

黃紹書，男，中學(xué)物理高級(jí)教師，主要從事中學(xué)物理教學(xué)，研究方向?yàn)閯?chuàng)新物理實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及大中學(xué)物理銜接問題，597015954@qq.com；王金霞，女，物理學(xué)教育碩士，主要從事中學(xué)物理教學(xué)，研究方向?yàn)閯?chuàng)新物理實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及大中學(xué)物理銜接問題,404854620@qq.com。

黃紹書，王金霞. 用平行板電容器電容公式求非平行板電容器電容[J]. 物理與工程，2017，27(6)：51-53.

■