基于廣義多項式混合效應(yīng)模型非壽險信度費率厘定

康萌萌

（山東財經(jīng)大學(xué) 保險學(xué)院，濟南 250014）

0 引言

在非壽險精算中，信度理論是常用的經(jīng)驗費率厘定方法。在該方法中，所用的損失數(shù)據(jù)為每個風(fēng)險類別若干年的損失，這種數(shù)據(jù)具有縱向數(shù)據(jù)的特點，即對每個風(fēng)險類別的損失重復(fù)觀測若干年，同一風(fēng)險類別不同年份的損失數(shù)據(jù)之間存在相關(guān)性。在統(tǒng)計中，常用線性隨機效應(yīng)模型[1-3]對這種數(shù)據(jù)進行建模。Frees等（1999）[4]將5種常見的線性信度模型表示為線性隨機效應(yīng)模型，用廣義最小二乘法估計參數(shù)并預(yù)測信度保費。線性隨機效應(yīng)模型是在經(jīng)典線性回歸模型的均值方程中加入隨機效應(yīng)來處理數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，它假設(shè)因變量服從正態(tài)分布，隨機效應(yīng)也服從正態(tài)分布。但在非壽險中，損失數(shù)據(jù)要么是損失次數(shù)數(shù)據(jù)，要么是損失金額數(shù)據(jù)，損失次數(shù)是離散型分布，損失金額通常是右偏分布，具有較厚的右尾，都不服從正態(tài)分布。如果此時仍用因變量服從正態(tài)分布的線性隨機效應(yīng)模型建模，則會導(dǎo)致參數(shù)錯誤估計從而不能預(yù)測出合理保費。因此，可以將因變量推廣到指數(shù)分布族，將線性隨機效應(yīng)模型推廣到廣義線性混合效應(yīng)模型，Mc-Culloch和Searle（2001）[5]和Demidenko（2004）[3]對該模型進行詳細介紹。目前廣義線性混合效應(yīng)模型在非壽險精算中有著廣泛應(yīng)用[6-8]。

然而，廣義線性混合效應(yīng)模型假設(shè)模型系統(tǒng)成分隨時間變化是線性的。但在精算實踐中，系統(tǒng)成分隨時間的變化并非是線性的，即不同時間系統(tǒng)成分的變化率可能不同。當(dāng)變化為非線性時，通常需要在系統(tǒng)成分中加入時間變量的多項式函數(shù)，從而將廣義線性混合效應(yīng)模型推廣到廣義多項式混合效應(yīng)模型，該模型在統(tǒng)計學(xué)中被成為曲線發(fā)展模型，也被成為廣義非線性混合效應(yīng)模型。對于非線性混合效應(yīng)模型，國外從20世紀80年代開始進行研究，現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生物、醫(yī)藥、經(jīng)濟、金融等諸多領(lǐng)域[9-11]。在精算學(xué)中，還未見有學(xué)者將非線性隨機效應(yīng)模型用于非壽險信度費率厘定中。本文利用廣義多項式混合效應(yīng)模型重新構(gòu)建了信度模型，在該框架下，估計信度模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，預(yù)測信度保費，并與廣義線性混合效應(yīng)模型進行對比。

1 理論模型

1.1 信度理論

信度理論主要研究如何利用先驗信息和標(biāo)的物的損失經(jīng)驗對后驗保費進行估計。根據(jù)Frees等（1999）[4]可以用線性隨機效應(yīng)模型對線性信度模型進行建模，以Bühlmann信度模型為例。其余的線性信度模型都可以用線性隨機效應(yīng)模型進行建模。

假設(shè)有n個風(fēng)險類別，對每個風(fēng)險類別i的損失觀測t年。若第i個風(fēng)險類別在第t年的損失額為yit，則Bühlmann信度模型可以表示為如下線性隨機效應(yīng)模型：

其中，μ為總體均值，所有風(fēng)險類別的平均損失；bi為第i個風(fēng)險類別的損失與總體均值的差額，E[bi]=0，Var[bi]=a，方差a表示每個風(fēng)險類別之間的差異，被稱為結(jié)構(gòu)參數(shù)，其分布被稱為結(jié)構(gòu)分布。εit為第i個風(fēng)險類別第t年的索賠與第1年至第T年的平均索賠之間的差額，E[εit]=0 ，Var[εit]=s2，方差 s2為結(jié)構(gòu)參數(shù)，表示同一個風(fēng)險類別不同時期損失的差異。

線性隨機效應(yīng)模型假設(shè)因變量損失金額yit服從正態(tài)分布，隨機效應(yīng)也服從正態(tài)分布，但在精算實踐中，損失金額通常是右偏分布帶有較長右尾。因此，可以將因變量的分布推廣到指數(shù)分布，用廣義線性混合效應(yīng)模型進行建模。

1.2 廣義多項式混合效應(yīng)模型

廣義多項式混合效應(yīng)模型是在廣義線性混合效應(yīng)模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。廣義線性混合效應(yīng)模型假設(shè)模型系統(tǒng)成分隨時間變化是線性的。在精算實踐中，損失金額隨時間變化并非線性變化，而是不同時間的變化率可能不同，這時應(yīng)該考慮用廣義多項式混合效應(yīng)模型進行建模。因此，在介紹廣義多項式混合效應(yīng)模型之前先介紹廣義線性混合效應(yīng)模型的相關(guān)理論。

1.2.1 廣義線性混合效應(yīng)模型

廣義線性混合效應(yīng)模型是在廣義線性模型的基礎(chǔ)上，在均值方程中加入隨機效應(yīng)。其構(gòu)成與廣義線性模型相同，是由隨機成分、系統(tǒng)成分和連接函數(shù)構(gòu)成。

（1）隨機成分為因變量的概率分布，在該模型中，假設(shè)因變量服從指數(shù)分布族。若有n個風(fēng)險類別，對每個風(fēng)險類別i的損失觀測t年。若第i個風(fēng)險類別在第t年的損失額為 Yit,則為第 i個風(fēng)險類別的觀測向量。給定第i個風(fēng)險類別的隨機效應(yīng)bi的條件下，Yit的密度函數(shù)為：

其中，φ（?）和 c（?）是已知函數(shù)，θ 是自然參數(shù)，? 為尺度參數(shù)。其均值和方差為其中，V（?）為因變量變異，它是條件均值的函數(shù)；?為離散參數(shù)（殘差變異）。

（2）系統(tǒng)成分為解釋變量的線性組合和隨機效應(yīng)線性組合，即其中，β（p×1）表示固定效應(yīng)，bi（q×1）表示第i個風(fēng)險類別的隨機效應(yīng)，隨機效應(yīng)用來表示風(fēng)險類別之間的異質(zhì)性和同一個風(fēng)險類別不同觀測之間的異質(zhì)性。 Xi（ni×p）和 Zi（ni×q）表示 p 個固定效應(yīng)和q個隨機效應(yīng)的設(shè)計矩陣。

（3）連接函數(shù)是連接系統(tǒng)成分和隨機成分的函數(shù)，即g（μ）=η 或 E[Y]=μ=g-1（η）。連接函數(shù)為可逆函數(shù)，滿足可導(dǎo)和單調(diào)的要求。

1.2.2 廣義多項式混合效應(yīng)模型

廣義多項式混合效應(yīng)模型與廣義線性混合效應(yīng)模型一樣，也是由隨機成分、系統(tǒng)成分和連接函數(shù)構(gòu)成。其中，隨機成分和連接函數(shù)與廣義線性混合效應(yīng)模型一樣。在系統(tǒng)成分中，由于系統(tǒng)成分隨時間不再是線性變化，而是不同時間的變化率不同，因此，在均值方程中建立時間變量的多項式函數(shù)。系統(tǒng)成分隨時間變化拐點越多，時間變量多項式函數(shù)的方次越高。從理論上講，對于有T次觀測的第i個風(fēng)險類別來說，時間變量多項式函數(shù)最高可能為（T-1）次方。

1.3 參數(shù)估計

本文采用限制性虛擬似然法對廣義多項式隨機效應(yīng)模型進行參數(shù)估計。若Yi為第i個風(fēng)險類別的損失向量，和為 β（p×1）和 bi（q×1）的估計值。若隨機效應(yīng) bi的均值為0，協(xié)方差為D，則在bi的條件下Yi的協(xié)方差為：

其中，Aμi（T×T）是對角矩陣，其對角線上的元素為V（μit）（t=1，…，T），Ri（T×T）為指定結(jié)構(gòu)。若 ei=Yi-μi，ei的一級泰勒級數(shù)近似值為：

其中：

Wolfinger&O’Connell（1993）[12]在?和已知下，用ei|β，bi的條件分布來近似的分布。若 Aμ中用來替代μi，近似分布為：

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)來源

本文所用數(shù)據(jù)集為1993—1998年29個馬塞諸州城鎮(zhèn)車身損失責(zé)任保險損失額數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)集中還包括每平方米人口（PPSM）和人均收入（PCI）。表1給出1993—1998年每年平均損失額的統(tǒng)計特征，表2（見下頁）給出1993—1998年6年間平均損失額的相關(guān)系數(shù)。

表1 1993—1998年平均損失額統(tǒng)計特征

從表2中可以看出，每年損失額之間存在較強的相關(guān)性，其中，相關(guān)性最大值為1995年和1997年，損失額之間的相關(guān)性為0.8752，相關(guān)性最小值為1994年和1998年，損失額之間的相關(guān)性也有0.5726。因此，在建模中應(yīng)該將每年損失額之間的相關(guān)性考慮在內(nèi)。本文采用廣義多項式隨機效應(yīng)模型來處理個體內(nèi)損失額異質(zhì)性、個體間損失額異質(zhì)性、個體損失額隨時間非線性變化等問題。

表2 1993—1998年平均損失額的相關(guān)性分析

2.2 實證模型

在非壽險精算中，由于事故發(fā)生后會存在聘請律師、法庭訴訟等問題，理賠費用往往較高，因此損失金額往往是右偏分布，具有較厚的右尾，因此，常用伽瑪分布、逆高斯分布和對數(shù)正態(tài)分布來對損失金額進行擬合。本文也采用因變量服從這三種分布的廣義多項式混合效應(yīng)模型對損失金額數(shù)據(jù)進行建模。根據(jù)前面理論部分的介紹，廣義多項式混合效應(yīng)模型由隨機成分、系統(tǒng)成分和連接函數(shù)三部分構(gòu)成。

若Yit表示第i風(fēng)險類別在第t年的損失金額，其中i=1，2，…，n，t=1，2，…，Ti。

（1）隨機成分，即因變量的分布，本文假設(shè)因變量服從伽瑪分布、逆高斯分布和對數(shù)正態(tài)分布。

①若Yit服從伽瑪分布，則其概率密度函數(shù)為：其中，均值為 E[yit|bi]=μit，方差為尺度參數(shù)為v。

②若Yit服從逆高斯分布，則其概率密度函數(shù)為：

其中，均值為 E[yit|bi]=μit，方差為尺度參數(shù)為σ。

③若Yit服從對數(shù)正態(tài)分布，則其概率密度函數(shù)為：

其 中 ，均 值 為 E[yit|bi]=exp（μit+0.5σ2），方 差 為

（2）系統(tǒng)成分，即均值方程。

為了便于將廣義線性混合效應(yīng)模型和廣義多項式混合效應(yīng)模型進行比較，首先建立廣義線性混合效應(yīng)模型的均值方程，將協(xié)變量PPSM和PCI作為固定效應(yīng)加入均值方程，將年份既看作固定效應(yīng)又看作隨機效應(yīng)，建立如下四種均值方程。

模型1：log（μit）=β0+β1PCI+ β2PPSM+bi，0

模型2：log（μit）=β0+β1PCI+ β2PPSM+ β3Yearit+bi，0

模型3：log（μit）=β0+β1PCI+ β2PPSM+bi，0+bi，1Yearit

模型4：log（μit）=β0+ β1PCI+β2PPSM+β3Yearit+bi，0+bi，1Yearit

其次，建立廣義多項式混合效應(yīng)模型，協(xié)變量PPSM和PCI還是作為固定效應(yīng)加入均值方程，將時間變量的多項式函數(shù)作為固定效應(yīng)加入均值方程。共有6年的損失數(shù)據(jù)，時間變量的多項式函數(shù)最高取5次方。在高次多項式建模中一個重要問題是模型中的線性項、平方項和高次項之間可能會存在多重共線性。Hedeker和Gibbons（2006）[13]認為具有3個時點的多項式混合效應(yīng)模型，線性項和平方項之間幾乎是完全相關(guān)的。如果將時間減去均值，則線性項和平方項就不存在多重共線性。因此，在實證中，以觀察期的中點作為中心點，對時間變量進行中心化處理。本文共有6年數(shù)據(jù)，中心點為3.5年。建立下面兩個均值方程：

其中，Yit表示第i個風(fēng)險類別第t年內(nèi)（如在（t- 1，t）時間段內(nèi)）的損失額。Yrit表示第i個風(fēng)險類別第t年中心化后的時間變量，即Yrit=Yearit-3.5，βi表示模型的固定效應(yīng)，bi，0表示第i個風(fēng)險類別的起始水平偏離模型總體平均起始水平的程度，bi，1表示第i個風(fēng)險類別損失額隨時間的變化率偏離總體隨時間的變化率程度。通常假設(shè) bi，0和 bi，1服從為二元正態(tài)分布，即（0，D），其方差/協(xié)方差矩陣為：

（3）連接函數(shù)，采用對數(shù)連接函數(shù)。

2.3 實證結(jié)果

2.3.1 廣義線性混合效應(yīng)模型參數(shù)估計

對于廣義線性混合效應(yīng)模型，模型2通過了顯著性檢驗，即兩個協(xié)變量PPSM和PCI是顯著的，時間作為固定效應(yīng)是顯著的，作為隨機效應(yīng)并不顯著，三種因變量假設(shè)下，參數(shù)估計結(jié)果如下頁表3所示。

表3表明模型固定效應(yīng)部分的變量都通過了顯著性檢驗，在隨機效應(yīng)部分，SAS軟件只給出了隨機效應(yīng)的參數(shù)估計值和標(biāo)準差，沒有給出顯著性檢驗，將兩者的比值作為隨機效應(yīng)顯著與否的參考，三個模型隨機效應(yīng)參考值都大于2，說明截距項的隨機效應(yīng)是顯著的。由于限制性虛擬似然法是使用虛擬數(shù)據(jù)進行迭代估計，不能提供真實似然值，因而-2 Res Log Pseudo-Likelihood不能用于嵌套模型比較。因此，本文通過比較模型的均方誤差來確定最優(yōu)模型。

表3 損失額廣義線性混合效應(yīng)模型參數(shù)估計

2.3.2 廣義多項式混合效應(yīng)模型參數(shù)估計

對于廣義多項式混合效應(yīng)模型，模型5通過了顯著性檢驗，即時間作為固定效應(yīng)是顯著的，作為隨機效應(yīng)并不顯著，三種因變量假設(shè)下參數(shù)估計結(jié)果如表4所示。

表4 索賠額廣義多項式混合效應(yīng)模型參數(shù)估計

表4表明固定效應(yīng)協(xié)變量PPSM和PCI，隨機效應(yīng)截距項都通過了顯著性檢驗。另外，對伽瑪多項式隨機效應(yīng)模型和逆高斯多項式隨機效應(yīng)而言，時間變量的三次項和五次項通過了顯著性檢驗，對對數(shù)多項式隨機效應(yīng)而言，時間變量的平方項、三次項和五次通過了顯著性檢驗。

六種模型六年的預(yù)測值和真實值如圖1所示：

圖1 六種索賠額模型六年預(yù)測效果

圖1給出了三種廣義線性混合效應(yīng)模型和三種廣義多項式混合效應(yīng)模型的預(yù)測值與真實值之間的比較。表5進一步給出了六種模型的均方誤差來評價模型的預(yù)測效果。

表5表明，廣義多項式混合效應(yīng)模型對索賠額預(yù)測的均方誤差比廣義線性混合效應(yīng)模型的小，說明對于此數(shù)據(jù)建立廣義多項式混合效應(yīng)模型比建立廣義線性混合效應(yīng)模型更合適。

表5 索賠額最小均方誤差

3 結(jié)論

在非壽險精算中，由于保險產(chǎn)品的復(fù)雜性和多樣性，保險產(chǎn)品定價面臨較大的不確定性，因此，精算師應(yīng)該通過分析保險產(chǎn)品的損失數(shù)據(jù)，在符合定價基本原則下，采用多種不同的方法厘定費率，比較不同方法的結(jié)果，選擇最優(yōu)保費，從而確保費率厘定的公平性和準確性。本文在廣義線性混合效應(yīng)模型的系統(tǒng)成分中加入時間變量多項式，將廣義線性混合效應(yīng)模型推廣到廣義多項式混合效應(yīng)模型，將其用于信度費率厘定中，并利用美國馬塞諸州城鎮(zhèn)車身損失責(zé)任保險的損失額數(shù)據(jù)進行實證分析，得到如下結(jié)論：

（1）廣義多項式混合效應(yīng)模型與廣義線性模型和廣義線性混合效應(yīng)模型一樣，因變量服從指數(shù)分布族，該分布族有許多常見的分布，如泊松分布、二項分布、正態(tài)分布、逆高斯分布、伽瑪分布等。該模型放寬了一般線性混合效應(yīng)模型對數(shù)據(jù)的限制條件，能擬合更廣泛的數(shù)據(jù)。

（2）廣義多項式混合效應(yīng)模型是在廣義線性混合效應(yīng)模型的系統(tǒng)成分中加入時間變量的多項式函數(shù)，用以反映系統(tǒng)成分隨時間的非線性變化，使得模型更加貼近現(xiàn)實。

（3）廣義多項式混合效應(yīng)模型彌補了傳統(tǒng)定價模型的不足，提高了估計精度，豐富了保險公司費率厘定的工具。

（4）廣義多項式混合效應(yīng)模型使得信度保費厘定更加簡單。傳統(tǒng)信度模型，需要求出信度因子，然后利用信度保費的計算公式計算出信度保費。然而，在廣義多項式混合效應(yīng)模型中，信度保費直接可以預(yù)測出，大大簡化信度保費的計算。

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