知識間融合的研究 以一次函數(shù)與二元一次方程的融合為例

廣州市鐵一中學(510660) 高華英

知識間融合的研究 以一次函數(shù)與二元一次方程的融合為例

廣州市鐵一中學(510660) 高華英

很多人認為,現(xiàn)在小學、中學到大學里所學的數(shù)學都是幾百年前甚至幾千年前創(chuàng)造出來的,這些數(shù)學的最基本的部分,已經(jīng)相當成熟了,對于這樣的數(shù)學內(nèi)容還有優(yōu)化改革的余地嗎?但換個角度,這些進入課堂的數(shù)學是在不同的年代、不同的地方、由不同的人創(chuàng)造出來,它是否還適宜目前的教學和學習呢?從數(shù)學的發(fā)展史來看,數(shù)學教學的改革一直沒有停下來,因此,這就需要我們對數(shù)學知識進行整合,以適應(yīng)時代的要求,以發(fā)揮它的最大效益.

一、研究知識融合的起因

張景中院士的《一線串通的初等數(shù)學》中指出:“在中學數(shù)學課程中,三角的內(nèi)容至關(guān)重要.三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的一座橋梁,是溝通初等數(shù)學和高等數(shù)學的一條通道.”此書主要是以三角函數(shù)為線研究了初中幾何中全等、相似、平行四邊形、解直角三角形和圓等的知識,如三角形全等用三角函數(shù)來研究,其中的邊角邊定理是可以證明的,而原教材是作為一個基本事實的定理,沒有進行證明的.在課程改革的背景下,初中數(shù)學的問題解決創(chuàng)新性越來越強,對學生的綜合應(yīng)用知識的能力要求越來越高.從張院士的思想中得到啟發(fā),代數(shù)中函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,就猶如橋梁聯(lián)系了兩者,作為教學一線的老師,能否從學生的角度和知識的角度,對這些知識進行整合以達到最佳的學習效果呢,“新課程背景下初中數(shù)學‘模塊融合’的教學實踐研究”就是在這樣的背景下進行的,是屬于教學實踐的研究.而“模塊融合”教學實驗正是針對這一教學的熱點難點問題展開的實驗研究.

二、知識融合的方法

(一)準確理解知識間的知識結(jié)構(gòu)與要求

“模塊融合”的一般思路及路徑就是本著“保留優(yōu)點、克服缺點、遵循邏輯”的原則,按照“從函數(shù)觀點看代數(shù)問題”進行重新整合,是將新人教版初中數(shù)學教材的知識體系中,知識點間的聯(lián)系發(fā)生了改變,變的更為密切和互為作用.在知識結(jié)構(gòu)上對于代數(shù)式、方程、函數(shù)這三大模塊分成6個章節(jié),幾個學段來設(shè)計,呈現(xiàn)了一定的零碎性.學生在知識結(jié)構(gòu)的連續(xù)性上缺乏思考,對于模塊間的內(nèi)容形成了斷層,脫節(jié),對于函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏深刻認識,不能很好地達成課程標準的要求,導(dǎo)致學生在學習過程中對模塊間內(nèi)容不能形成系統(tǒng)性,對知識的要求達成率就會降低.比如在方程與函數(shù)模塊,由原來的獨立模塊整合成嵌入式模塊融合,把函數(shù)分散到各個模塊中,在知識結(jié)構(gòu)上發(fā)生了大的變化,本次研究的核心就是降低函數(shù)難度,加強函數(shù)與方程的聯(lián)系.“函數(shù)”、“方程”、“不等式”都可以統(tǒng)一起來,這樣將這三者盡可能地進行串通和對接,猶如三個公交系統(tǒng)進行無縫對接,將會大大提升交通效率.

(二)重視概念的內(nèi)在關(guān)聯(lián)進行有效整合——以從函數(shù)觀點看方程為例

初中數(shù)學教材內(nèi)容在模塊間存在一些實質(zhì)性聯(lián)系,這些實質(zhì)性的聯(lián)系具有隱蔽性,為了利于學生學習的連續(xù)性,挖掘模塊間內(nèi)容之間的實質(zhì)性聯(lián)系,本次研究重點關(guān)注函數(shù)與方程模塊間內(nèi)容的實質(zhì)性關(guān)聯(lián),以一次函數(shù)和二元一次方程進行的融合為例,以往都是先學習了方程,再學習函數(shù),而此次處理是先學習一次函數(shù)再學習二元一次方程,即從函數(shù)觀點看二元一次方程,正所謂站的高看的遠.

下面有三個問題:

(1)小明的手機話費卡中存入30元,手機通話費為0.2元/min,若他的通話時間為xmin,話費卡中的余額為y元,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么?

(2)把10本書隨意放入兩個抽屜(每個抽屜內(nèi)都放),第一個抽屜放入x本,第二個抽屜放入y本,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是什么?

(3)籃球聯(lián)賽中,每場比賽都要分出勝負,每隊勝一場得2分.負一場得1分,某隊為了爭取較好的名次,想在全部22場比賽中得到40分,那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少?

第(1)、(2)個問題是函數(shù):y=30?0.2x和y=10?x.這里由函數(shù)問題引出二元一次方程,本質(zhì)上函數(shù)也是方程從而方程與函數(shù)統(tǒng)一起來.

第(3)個問題這兩個條件可以用等式x+y=22和2x+y=40表示.上面四個式子,它們都是含有未知數(shù)的等式——方程(equation).每個方程都含有兩個未知數(shù)(x和y),并且未知數(shù)的指數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.這也說明一次函數(shù)也可以看成二元一次方程.

從以上的融合發(fā)現(xiàn):通過一次函數(shù)引出二元一次方程的概念,讓學生體會到函數(shù)與方程之間關(guān)系密切,使學生理解認識事物的過程是由特殊(具體)到一般(抽象),又由一般(抽象)到特殊(具體),在不斷重復(fù)中得到提高,培養(yǎng)學生初步的辨證唯物主義觀點.同時方程與函數(shù)之間的聯(lián)系,體現(xiàn)數(shù)學知識間的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)學的內(nèi)在統(tǒng)一性.

(三)關(guān)注知識間內(nèi)容的實質(zhì)性關(guān)聯(lián)進行融合

本次研究擬將函數(shù)模塊融入到代數(shù)式、平面直角坐標系、方程、不等式這些模塊中,在物質(zhì)結(jié)構(gòu)上,函數(shù)模塊與這些模塊具有內(nèi)容的實質(zhì)性關(guān)聯(lián),在學生學習的心理結(jié)構(gòu)上,能夠遵循學生認知水平,把函數(shù)這個較難的模塊內(nèi)容分散,融入到各個有關(guān)的模塊中,既降低了函數(shù)模塊的難度,又有效地突出函數(shù)與其他模塊之間的關(guān)聯(lián).以一次函數(shù)與二元一次方程實際問題的融合為例:

例1已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(3,5)和(?4,?9)兩點,列出關(guān)于k、b的方程組.

例21號探測氣球從海拔5米處出發(fā),以1米/分的速度上升.與此同時,2號探測氣球從海拔15米處出發(fā),以0.5米/分的速度上升.兩個氣球都上升了1小時.

(1)用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔(單位:米)關(guān)于上升時間(單位:分鐘)的函數(shù)關(guān)系;

(2)在某個時刻兩個氣球能否位于同一高度?如果能,這時氣球上升了多長時間?位于什么高度?

分析例1:此題本是函數(shù)問題,但點在函數(shù)圖像上解決問題的方法就是將點帶入函數(shù)成為方程組,這說明函數(shù)和方程密不可分.

分析例2:第(2)問,在某個時刻兩個氣球位于同一高度,就是說對于x的某個值(0≤x≤60),函數(shù)y=x+5和y=0,5x+15有相同的數(shù)值.則只需求出x和y的值,這也轉(zhuǎn)化成了求方程組的解的問題.

從以上三個例題,發(fā)現(xiàn)方程組與函數(shù)之間相互聯(lián)系,從函數(shù)的角度可以把它們統(tǒng)一起來,解決問題時,應(yīng)根據(jù)具體情況靈活地把它們結(jié)合起來考慮.“實踐與綜合應(yīng)用”不作為獨立的一塊內(nèi)容,而是同與其最接近的知識內(nèi)容相結(jié)合,這樣處理,使得“實踐與綜合應(yīng)用”以多種形式分散編排,能以多種形式進行,化整為零,經(jīng)?；蜕罨?

(四)知識間的融合重視滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學思想是構(gòu)成數(shù)學知識的框架,是數(shù)學方法的升華.數(shù)學思想方法之間的橫向聯(lián)系是一個框架與其他框架之間產(chǎn)生關(guān)系的樞紐,所以知識的融合應(yīng)重視數(shù)學思想方法的滲透,這有益于學生領(lǐng)悟知識之間的聯(lián)系,同時更容易接納新的知識.以一次函數(shù)與二元一次方程實際問題的融合為例:

例3甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠,所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)的關(guān)系如圖所示,請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題:

圖1

(1)乙隊開挖到30m時,用了____h,開挖6h時甲隊比乙隊多挖了___m;

(2)請你求出:

①甲隊在0≤x≤6的時段內(nèi),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

②乙隊在2≤x≤6的時段內(nèi),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

③當x為何值時,甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等?

分析例3,此問題是函數(shù)問題,學生通過數(shù)形結(jié)合的思想意識到,第(2)問的③小問解決方法即是把兩個函數(shù)聯(lián)立方程組解決,從而此類題目均可以用同樣的思想方法進行解決.這種知識間的融合可以讓學生感受由實際問題抽象出數(shù)學問題的過程,逐步讓學生養(yǎng)成善于利用數(shù)學解決實際問題的習慣,形成“數(shù)學建模思想”.而二元一次方程、一次函數(shù)等的融合,目的就是要培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維方式,強化學生對數(shù)學思想方法的逐步滲透過程,幫助學生完善數(shù)學能力和思想意識.總之,融合的研究體現(xiàn)的宗旨是:播撒“尊重科學、熱愛科學、善于思考、勇于創(chuàng)新”的種子,搭建可持續(xù)發(fā)展的平臺.

三、知識融合將成為必然趨勢

(一)知識融合的優(yōu)勢

在知識間融合的研究中,對于方程和函數(shù)這兩部分知識的編排,改變了以往代數(shù)教科書“先集中講方程,后集中講函數(shù)”的做法(純直線式教材),而是按照“一次”和“二次”的數(shù)量關(guān)系(宏觀上是直線式),使方程和函數(shù)交替出現(xiàn)(微觀上是螺旋式),即按一次函數(shù)、一次方程(組)、二次函數(shù)、二次法則新探所采用的的模式是,把數(shù)學問題放在日常生活情境中去學習,這符合建構(gòu)主義學習理論,其學習路徑是:觀察、歸納、猜想、驗證,這也是數(shù)學思考的基本方式,在學習中不斷滲透類比、分類、數(shù)形結(jié)合等思想方法,從這些方面去綜合解讀課題學習,對提升學生思維的高度大有裨益.

三、結(jié)束語

在復(fù)習課中設(shè)計課題學習,要凸顯“讓學生又一次發(fā)展”的理念,讓學生在課題學習中經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程,在問題探究中提生思維能力.不過如何在復(fù)習課中設(shè)計出更好的課題學習素材有待于進一步的研究,期待有更好更多的成果涌現(xiàn).