立體幾何中的典型錯誤及錯因剖析

立體幾何重點培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象能力，高考中重點考查空間點、線、面的位置關(guān)系及空間幾何體的表面積和體積.但不少同學(xué)常因概念不清晰，平行與垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理理解出現(xiàn)偏差等等導(dǎo)致概念辨析題出現(xiàn)錯誤，證明題條件不全面導(dǎo)致格式不規(guī)范等.故在高三復(fù)習(xí)中，要在這些易錯點上，強化正誤辨析意識，加強訓(xùn)練的針對性，提高復(fù)習(xí)效率.本文意在從剖析立體幾何的常見錯誤出發(fā)，給同學(xué)們指引方向，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

易錯點一：概念不清導(dǎo)致錯解

例1給出以下四個命題：

①不共面的四點中，其中任意三點不共線；

②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；

③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；

④依次首尾相接的四條線段必共面.

則以上命題正確的是（填序號）.

錯解：①②③

錯因分析：不理解確定一個平面的依據(jù)，思考問題時還停留在平面圖形中，空間想象能力不夠.①假設(shè)其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面.這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形.故④錯誤.

正解：①

例2如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，給出以下四個結(jié)論：

①直線AM與CC1是相交直線；

②直線AM與BN是平行直線；

③直線BN與MB1是異面直線；

④直線AM與DD1是異面直線.

其中正確的結(jié)論為（填序號）.

錯解：①②③④

錯因分析：沒有掌握空間幾何體中兩條直線位置關(guān)系的判斷方法.其中異面直線的判定可以通過其判定定理，相交直線必須有一個公共點.A，M，C1三點共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線，①②錯，④正確；M，B，B1三點共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直線BN與MB1是異面直線，③正確.

正解：③④

易錯點二：定義理解不清導(dǎo)致錯解

例3若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是.

錯解：b與α相交或b∥α

錯因分析：直線與平面的位置關(guān)系的定義理解不清，在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.直線b與平面α的位置關(guān)系還有bα.所以b與α相交或bα或b∥α都可以.

正解：b與α相交或bα或b∥α

例4已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題：

①若α，β垂直于同一平面，則α與β平行；

②若m，n平行于同一平面，則m與n平行；

③若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線；

④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面.

其中正確的是（填序號）.

錯解：③④

錯因分析：沒有真正理解線面平行、線面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理.對于①，α，β可能相交，故錯誤；對于②，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；對于③，若mα，α∩β=n，m∥n，則m∥β，故錯誤；對于④，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n與已知m，n不平行矛盾，所以原命題正確，故④正確.

正解：④

總之，判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理.要善于結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.

易錯點三：忽視判定定理中的條件導(dǎo)致解題格式不規(guī)范

例5在四棱錐PABCD中，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點.

（1）求證：AP∥平面BEF；

（2）求證：GH∥平面PAD.

錯解：證明：（1）連接EC，

∵AD∥BC，BC=12AD，

E為AD的中點，∴BC平行且等于AE，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴O為AC的中點，

又∵F是PC的中點，

∴FO∥AP，

∴AP∥平面BEF.

（2）連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，

∴FH∥PD，

又∵O是BE的中點，H是CD的中點，

∴OH∥AD，

又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.

錯因分析：在第（1）問解題過程中的漏掉“FO平面BEF，AP平面BEF，”，缺一不可，應(yīng)用判定定理時需把條件羅列完整.在第（2）問解題過程中直接從兩相交直線平行證得兩平面平行，跳步嚴(yán)重.

正解：證明：（1）連接EC，

∵AD∥BC，BC=12AD，

E為AD的中點，∴BC平行且等于AE，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴O為AC的中點，

又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，

又FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.endprint

（2）連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，

∴FH∥PD，又PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD，

∴FH∥平面PAD.

又∵O是BE的中點，H是CD的中點，

∴OH∥AD，又∵AD平面PAD，OH平面PAD，

∴OH∥平面PAD.

又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.

總之，判斷或證明線面平行的常用方法有：

①利用反證法（線面平行的定義）；

②利用線面平行的判定定理（aα，bα，a∥ba∥α）；

③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，aαa∥β）；

④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，aβ，a∥αa∥β）.

利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.

其中需要特別注意的是：在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤.面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件.如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認(rèn)為這兩個平面平行，實質(zhì)上也可以相交.運用性質(zhì)定理，要遵從由“高維”到“低維”，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”.

易錯點四：空間幾何體中一些結(jié)論直接應(yīng)用導(dǎo)致解題不規(guī)范

例6如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1.設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC1=E.求證：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

錯解：（1）連接A1B，則點D為A1B的中點，又知AB1的中點為D，故DE∥A1C1；又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

錯因分析：在第（1）問解題過程中直接得到點D為A1B的中點，這是不規(guī)范的.要先利用三棱柱的性質(zhì)證明得到其側(cè)面是平行四邊形，再由平行四邊形的對角線互相平分得到點D為A1B的中點.解題時可以避開這個易錯點.

正解：證明：（1）由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC.

又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因為棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因為AC平面ABC，所以AC⊥CC1.

又因為AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，

BC平面BCC1B1，BC∩CC1=C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因為BC1平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因為BC=CC1，

所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因為AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C=C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因為AB1平面B1AC，

所以BC1⊥AB1.

易錯點五：盲目地套用性質(zhì)定理導(dǎo)致錯解

例7如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點，F(xiàn)為棱BC的中點.

（1）求證：直線AE⊥直線DA1；

（2）在線段AA1上求一點G，使得直線AE⊥平面DFG.

錯解：在平面ABCD內(nèi)，過點D在平面ABCD內(nèi)作平面AEH的垂線DF.

錯因分析：不能說作平面的垂線，在一個平面內(nèi)作另一個平面的垂線，若兩個平面不垂直，則不能作出，若兩個平面垂直，只需作交線的垂線即可.

正解：（1）連結(jié)AD1，BC1，由正方體的性質(zhì)可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，∴DA1⊥平面ABC1D1，

又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.

（2）所示G點即為A1點，證明如下：

由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中點H，連結(jié)AH，EH，

由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，可證DF⊥平面AHE，

∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.

又DF∩A1D=D，

∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.

總之，（1）證明直線和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥αb⊥α）；③面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥βa⊥β）；④面面垂直的性質(zhì)（α⊥β，α∩β=a，l⊥a，lβl⊥α）.（2）證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.

（作者：殷高榮，如皋市教育局教研室）endprint