一道例題的變式設(shè)計

林芬芳

摘 要：通過解決圓錐曲線中動點與焦點張角問題這一題型的變式教學，讓學生領(lǐng)會通過問題的分析明確最重要的關(guān)系，抓住不變的本質(zhì)來解決問題，促進數(shù)學思想方法內(nèi)化。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線 變式教學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C 文章編號：1672-1578（2017）12-0068-01

1 變換視角——培養(yǎng)思維的靈活性

問題1：已知橢圓 + =1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P橫坐標的取值范圍。

大部分學生會于直接利用條件∠F1PF2為鈍角？圯cos∠F1PF2<0 ？圯 1· 2<0…

這種思考方向是對的，但為了培養(yǎng)學生思維的靈活性，可以利用數(shù)形結(jié)合引導學生進一步思考：點P在橢圓上運動時∠F1PF2的取值會如何變化？能否為銳角？直角？通過這樣的引導，有的學生就會開始意識但只要由直角再轉(zhuǎn)化到圓直徑進行計算并判斷。

（1）當c

（2）當c=b時，以F1F2為直徑的圓相切于橢圓，于是橢圓上有兩個點使∠F1PF2為直角，不存在使∠F1PF2為銳角的點P。

（3）當c>b時，以F1F2為直徑的圓內(nèi)和橢圓有四個交點，于是橢圓上有四個點使∠F1PF2為直角，可由為直角的情形計算得出，當點P在圓內(nèi)的部分的橢圓弧上時，∠F1PF2為鈍角，當點P在圓外部分的橢圓弧上時，∠F1PF2為銳角，相應(yīng)的點P的橫坐標的取值范圍。

2 變換條件——培養(yǎng)思維的嚴謹性

問題2：已知橢圓 + =1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的動點，當△F1PF2直角三角形時，求點P坐標。

在學習研究問題1后，有的學生受定勢思維的影響，認為和上一題討論的直角情形一樣，沒有注意到在條件“△F1PF2為直角三角形”中，不明確哪個角是直角，事實上應(yīng)分為三種可能：∠F1PF2為直角，∠PF1F2為直角，∠PF2F1為直角。通過這樣的改變，不僅給學生于警示效果還極大的提高了思想的批判性，這時也不難求出符合條件的8個點P。

3 開放條件——激勵探究，培養(yǎng)思維的深刻性

問題3：已知橢圓 + =1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的動點，試問點P在何處時，∠F1PF2最大？

本題開放問題條件，把特殊的直角轉(zhuǎn)化為求最值，對學生提出了更高的要求，進一步激發(fā)了學生的探究意識，利用圖形學生會猜測：點P在短軸兩端點時，∠F1PF2會最大，那如何推導驗證這個猜測了？不難想到余弦定理來連接角和利用橢圓的定值。接下來我們還可以改變條件，將求最值改成某個具體的定角。比如：

問題4：已知橢圓 + =1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上的動點，試問是否存在點P，使得∠F1PF2=30°（60°，120°，θ）？如果有，有幾個？如果不存在，說明理由。

圓錐曲線是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，涉及這方面的問題有很多變化，不能靠大量的重復練習來取得理想的效果，必須讓學生理解掌握，深刻體會真正的解題思想方法，并會靈活應(yīng)用，再比如：

課例1：一條長度為m（m>0）的線段AB的兩個端點分別在同一個平面的兩條直線a，b上移動，求直線AB中點P的軌跡。

變式1：一條長度為m（m>0）的線段AB的兩個端點分別在空間的兩條直線a，b上移動，求直線AB中點P的軌跡。

變式2：：一條長度為m（m>0）的線段AB的兩個端點分別在空間的兩條直線a，b上移動，設(shè)點P分有向線段AB所成的比為λ（0<λ<1， λ>1）求點P的軌跡。

這組題體現(xiàn)了解決問題的一種方法即立體幾何問題平面化，平面幾何問題解析化。

課例2：已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，橢圓與y軸的正半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓右焦點上，則直線l的方程是（ A ）

A. 6x-5y-28=0 B. 6x+5y-28=0

C. 5x-6y-28=0 D. 5x+6y-28=0

變式1：已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，橢圓與y軸的負半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓右焦點上，則直線l的方程是（ 6x+5y-28=0 ）。

變式2：已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，橢圓與y軸的負半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓左焦點上，則直線l的方程是（ 6x+5y+28=0 ）。

變式3：已知直線l交橢圓4x2+5y2=80于M，N兩點，橢圓與y軸的正半軸交于B點，若△BMN的重心恰好落在橢圓中心上，則直線l的方程是y=-2。

本組題都是利用直線方程代入橢圓方程消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求解，并利用點差法求直線MN的斜率與中點坐標之間的關(guān)系。