從一個無理數的證明談起

扈保洪

1問題呈現

命題1若n為正整數，則n+n+1+n+2為無理數.

文[1]在證明命題1時，運用了反證法，不妨摘錄其中的一段，如下：

“假設n+n+1+n+2為有理數，則存在互質的正整數a和b，使n+n+1+n+2=ab，得n+1=ab-（n+n+2）.于是又得

n+1=（ab）2-2ab（n+2+n）+（n+n+2）2

=（ab）2-2ab（n+n+2）+n+n+2+

2n（n+2）……（1）”.

由于其后的證明過程迂回曲折，十分繁瑣，恕不抄錄.

筆者對文[1]的證法進行了探究，發(fā)現該證明過程之所以冗長繁瑣，是因為其中的某些細節(jié)處理不當而產生了解題“繞彎”現象.那么，引發(fā)這種現象的具體原因是什么呢？

2分析診斷

先給出命題1的一個新證法：設n+n+1+n+2是有理數，且令n+n+1+n+2=k（k為正有理數），則n+1+n+2=k-n；①

①兩邊平方，得2n+3+2（n+1）（n+2）=k2-2kn+n ；②

由②移項，得2（n+1）（n+2）+2kn=k2-n-3 ；③

③兩邊平方，得4（n+1）（n+2）+

8kn（n+1）（n+2）+4k2n=（k2-n-3）2 .④

因為k為正有理數，n為正整數，所以④表明n（n+1）（n+2）為有理數.

考慮到兩個連續(xù)整數的差為1，它們的最大公約數應為其差1的約數，故n、n+2與n+1均互質；而由n21），則n（n+1）（n+2）=a2b2，該式左邊與a2和b2互質矛盾.因此，n+n+1+n+2不能是有理數，而應為無理數.

從上述的新證法來看，在證明命題1的過程中，關鍵是要減少根號的個數，從而促使問題的迅速轉化.與命題1的上述新證法相比，盡管文[1]的證明思路也是如此，但它有兩點不當之處：一是假設“n+n+1+n+2=ab”；二是把“n+n+1+n+2=ab”化為“n+1=ab-（n+n+2）”，然后通過平方去掉左邊的根號.前者雖然是用反證法證明一個數為無理數時常用的假設形式，但根據命題1所含根號較多的特點，證明的關鍵在于要減少根號的個數，而不是要考察整數a與b之間的關系，反倒是“ab”使問題的形式更加復雜化了；對于后者，其移項方法雖然屬于習慣做法，平方后也能去掉n+1=ab-（n+n+2）中左邊的根號，但卻使新等式中所含根號的總個數未能減少，因而導致以后的轉化過程更加艱難.分析造成這種狀況的原因，不難看出它是由思維定式的負效應造成的.一般來說，通性通法都有比較穩(wěn)固的思路和操作步驟，解題者在運用通性通法解題時，往往會按照習慣了的思路或方式來進行，但正是由于受這些習慣做法的負面影響，常常會使解題者的解題思路因循守舊、被動模仿、生搬硬套，不能抓住細節(jié)隨機應變，因而出現解題“繞彎”現象也就在所難免了.

3拓展延伸

對于與命題1類似的問題，為了切實消除證明該類問題時可能引發(fā)的解題“繞彎”現象，從而摸清其證法的規(guī)律性，提高解題的效率，筆者選擇了以下兩個命題進行拓展延伸.

命題2若n為正整數，則3n+3n+1為無理數.

思路分析利用反證法證明.先利用立方和公式把上述問題轉化為證明3n（n+1）是無理數的問題，再證明3n（n+1）是無理數即可.

證明設3n+3n+1=k（k為有理數），并兩邊立方，得2n+1+3k·3n（n+1）=k3 ，因易知k≠0，故該式表明3n（n+1）為有理數.

因為兩個連續(xù)的正立方數之差大于1，所以n與n+1至少有一個不是立方數，又因為n與n+1互質，所以n（n+1）不是立方數，于是3n（n+1）不是整數；不妨令3n（n+1）=ba（a與b互質，且a>1），得b3a3=n（n+1） ，該式顯然與a3、b3互質矛盾.

因此，3n（n+1）應是無理數，從而3n+3n+1也為無理數.

命題3若n為正整數，則n+n+1+n+2+n+3為無理數.

思路分析利用反證法證明.首先設n+n+1+n+2+n+3=2k（k為正有理數），但由于n+n+1+n+2+n+3=2k中所含根號較多，若通過對其兩端直接移項、再平方等措施來逐漸減少根號的個數，經過嘗試發(fā)現，這是一種“繞彎”的思路，并不可?。黄浯慰紤]引入輔助元a（令n+3=a），把n+n+1+n+2+n+3=2k化為a2-3+a2-2+a2-1=2k-a，這樣先從形式上將根號減少到3個，再利用移項、平方等，則可進一步減少根號的個數，直至推出矛盾.

證明（1）當n+3為有理數時，根據上述命題1，知n+n+1+n+2+n+3為無理數.

（2）當n+3為無理數時，設n+n+1+n+2+n+3=2k（k為正有理數），且令n+3=a（a為正無理數），則有n=a2-3及n+n+1+n+2=2k-a.

兩式結合消去n ，得

a2-3+a2-2+a2-1=2k-a .①

把①式化為

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a2-2+a2-1=（2k-a）-a2-3；②

把②式兩邊平方后，并整理，得

（a2-2）（a2-1）

=（2k2-2ka）-（2k-a）a2-3.③

把③式兩邊平方后，再整理，得[（4k3+2ka2）-6k2a]a2-3=（2k4+4k2a2-6k2-1）-（4k3+2ka2-6k）a ；④