高立意寬視角促發(fā)展

張克玉+鄧祥

【摘要】通過對一節(jié)省優(yōu)課設(shè)計過程的展示與分析，說明教學設(shè)計應(yīng)考慮的因素及其相互關(guān)系：明確的教學目標決定了教學素材的選取與問題角度的設(shè)計，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合學生情況分析，完成教學過程設(shè)計.

【關(guān)鍵詞】教學目標教學素材問題角度教學過程

2016年12月，鄧祥老師作為參賽選手參加了安徽省初中數(shù)學青年教師課堂教學評比觀摩活動.本次評比觀摩活動，省教科院提前指定了6個候選課題，由參賽選手在比賽前一天臨時抽簽決定上課課題.對于這種提前給定候選課題的比賽，不僅考查參賽選手的實力，也是對其指導團隊水平的考量.為此，我們對每個候選課題組織了交流研討.鄧祥老師抽到的課題是：一次方程（組）解決問題（自己組織教學內(nèi)容）.比賽現(xiàn)場的評委及觀摩教師均對本節(jié)課的教學設(shè)計給予較高評價，并獲得省一等獎（小組第二名）的好成績.現(xiàn)將部分教學設(shè)計內(nèi)容以及設(shè)計過程中的思考整理成文，旨在交流分享.

1教學設(shè)計簡錄

活動1：復習舊知

讓學生回顧列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟；

活動2：引入課題

環(huán)節(jié)1呈現(xiàn)生活中的排隊圖片；環(huán)節(jié)2（教師引語）服務(wù)機構(gòu)在提供服務(wù)前常有一部分人在排隊等候，顧客在辦理業(yè)務(wù)及離開的過程中，又有新的顧客在后排隊.在幾個窗口同時開放的情況下，每個窗口排隊的人數(shù)、窗口服務(wù)的速度并不一致.作為顧客，?？紤]選擇排隊的窗口以減少排隊時間；作為服務(wù)機構(gòu)，常根據(jù)自身的人力資源及顧客可承受的等候時間，考慮安排合適的窗口數(shù)，以此引出課題：一次方程（組）的應(yīng)用——生活中的排隊問題.

設(shè)計說明：通過選取貼近學生現(xiàn)實生活的素材有助于激發(fā)學生的學習興趣，并體現(xiàn)數(shù)學與生活的聯(lián)系；教師的引語，一方面暗含了排隊問題中的有關(guān)量：已有排隊人數(shù)、離開人數(shù)、新增排隊人數(shù)，另一方面也指出了本節(jié)課將要研究的方向：顧客選擇窗口、服務(wù)機構(gòu)安排窗口數(shù).

活動3：新課講解

問題1小李到食堂買飯，看到食堂只開了一個窗口，且前面已有20人在排隊，小李排好隊并觀察了2分鐘，發(fā)現(xiàn)該窗口每分種有2人買飯離開隊伍，但同時每分鐘又新增1人排隊.

（1）如果小李繼續(xù)排隊，臨到小李買飯時，他已經(jīng)等了多少分鐘？

（2）小李觀察了2分鐘時，突然發(fā)現(xiàn)飯卡忘記帶了，匆忙離隊，4分鐘后再次回到食堂同一窗口后排隊.他要再等幾分鐘，才能輪到他買飯？

教學預設(shè)學生先獨立思考，并嘗試作分析講解.對于第（2）小題，引導學生可從先排隊等候的2分鐘里人員變化、離開又返回的4分鐘里人員變化的角度去思考；也可從他第二次排隊時，總共耽誤的6分鐘里人員變化的角度去思考.

設(shè)計說明排隊是個動態(tài)的過程，通過此問題既讓學生體會排隊的動態(tài)過程，從而逐步將生活現(xiàn)實延伸到排隊問題的數(shù)學本質(zhì)，也使得問題由淺入深，能保持繼續(xù)學習和探究的欲望.

問題2第二天，小李又到食堂買飯，看到食堂開了A、B兩個窗口，且兩窗口前排隊的人一樣多，于是就站在A隊伍后面.過了2分鐘，他發(fā)現(xiàn)A窗口每分鐘有4人買飯離開；B窗口每分鐘有6人買飯離開，且B窗口隊伍后面每分鐘增加5人，此時小李迅速從A隊伍轉(zhuǎn)移到B窗口后面重新排隊，結(jié)果比繼續(xù)在A窗口排隊提前30秒買到飯.求小李開始排隊時，已有多少人在排隊？

教學預設(shè)學生先獨立思考，并嘗試作分析講解；教師需引導學生抓住此問題解決的關(guān)鍵點：能從“結(jié)果比繼續(xù)在A窗口排隊提前30秒買到飯”中提煉出相等關(guān)系，即：繼續(xù)在A窗口排隊用時-到B窗口排隊用時=12分鐘.

設(shè)計說明此為本節(jié)課教學所選排隊問題的第1個角度，此問題借助一元一次方程便可解決.通過此問題的解決，也讓學生進一步感受排隊中有關(guān)量的變化.由于學生沒有學習不等式的內(nèi)容，因此還無法設(shè)置排隊的隊列選擇問題.

問題3某車站在檢票前就有一部分人在排隊等候，檢票后每分鐘來的人數(shù)一樣多.從開始檢票到等候檢票的旅客全部離開，若同時開5個檢票口則需30分鐘，若同時開6個檢票口則需20分鐘.要能用10分鐘完成全體旅客的檢票工作，那么車站需同時開放幾個檢票口（假設(shè)每個檢票口的工作效率相同）？

教學預設(shè)（1）學生先獨立思考；（2）教師逐步引導：①題中影響檢票口人數(shù)涉及哪幾個因素？②10分鐘完成全體旅客的檢票工作，其數(shù)學本質(zhì)是什么？以此引導學生能找到問題的突破口：原有人數(shù)+10分鐘新增加人數(shù)=能完成的檢票總?cè)藬?shù)（每個檢票口每分鐘檢票人數(shù)×檢票口數(shù)×10分鐘）；（3）教師再引導：上述關(guān)系式中，涉及哪幾個量？要求哪個量？還有的幾個量如何從條件中獲??？試試看；（4）學生設(shè)未知數(shù)，列出方程組后，會發(fā)現(xiàn)方程個數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)，再引導學生用含一個字母的代數(shù)式表示另兩個字母，使問題最終求解.（5）在此問題解決中，可能會有學生提出疑問“單位時間內(nèi)新增旅客數(shù)，因為檢票口數(shù)的變化應(yīng)該不同，例如開設(shè)5個檢票口時，每個檢票口每分鐘新增人數(shù)與開設(shè)6個檢票口時每分鐘新增人數(shù)不應(yīng)一致，如此問題將無法解決”，學生的疑問是有道理的.對此，教師可這樣給予說明：數(shù)學源于生活，又是將生活問題的高度提煉與概括，并對問題進行必要的簡化.因此我們可以將問題簡化為：在檢票前所有旅客等候在大廳，檢票時旅客根據(jù)檢票口數(shù)及檢票的進度進行排隊，從而使得每個檢票口單位時間內(nèi)的新增人數(shù)相同.

設(shè)計說明此為本節(jié)課教學所選排隊問題的第2個角度，對7年級的學生比較困難，需要教師在逐步引導過程中，讓學生抓住其數(shù)學本質(zhì).

問題4（建立模型）某服務(wù)機構(gòu)在提供服務(wù)前已有a人排隊等候，開始服務(wù)后每個單位時間新增顧客數(shù)為b，從開始服務(wù)到顧客全部離開，若同時開x個窗口且每個窗口工作效率（單位時間內(nèi)完成的工作量）均為y，共需z個單位時間.請寫出a，b，x，y，z應(yīng)滿足的關(guān)系式.

設(shè)計說明從問題1—4中逐步增加未知量的個數(shù)，并最終建立模型，這樣使問題由簡單到復雜、有具體到抽象，既符合學生認知規(guī)律，也讓學生在思考中獲得不同程度的感悟，從而得到不同程度地發(fā)展.模型的建立，也深化了對問題的認知.endprint

活動4：鞏固新知（問題推廣）

有一水池，池底有泉水不斷勻速涌出，要想把水池水抽干，10臺抽水機需抽8小時，8臺抽水機需抽12小時，如果用6臺抽水機，那么需要多少小時？

教學預設(shè)學生獨立思考，教師視情再給予引導：①6臺抽水機抽干的數(shù)學本質(zhì)是什么？②問題中涉及哪幾個量？（原來有水的量；單位時間內(nèi)流出的水量；單位時間內(nèi)抽出的水量等）；最后再分析講解，進一步加強對所學內(nèi)容的鞏固.

活動5：課堂小結(jié)

教學預設(shè)引導學生回顧本節(jié)課的學習過程，能抓住有關(guān)問題的數(shù)學本質(zhì)，找到合適的相等關(guān)系，從而構(gòu)建方程.最后教師就生活與數(shù)學的關(guān)系略作說明，并引導學生關(guān)注生活，能從生活素材中提煉出數(shù)學問題.

活動6：作業(yè)布置

思考題由于天氣逐漸變冷，牧場上的草因枯萎使得每天以均勻的速度減少.經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天.那么可供11頭牛吃幾天？

設(shè)計說明前面兩個問題涉及到的兩個量，其中一個將會導致總量減少（排隊后人員離開、水被抽出），另一個將會導致總量增加（有人繼續(xù)排隊，水繼續(xù)涌出）.本題中的兩個量（枯萎的草、牛吃掉的草）都會導致總量減少，因而還需要學生在理解的基礎(chǔ)上進行運用，以避免學生的應(yīng)用進行簡單地模仿.

2設(shè)計過程的思考

2.1教學目標定位

組織什么樣的內(nèi)容進行教學，取決于教學目標的定位.首先我們對本節(jié)課的教學目標定位從三個方面進行考量：（1）一次方程（組）的應(yīng)用舉例，即通過若干問題解決，體現(xiàn)方程（組）的應(yīng)用；（2）小專題復習，即圍繞學生在本單元學習中存在的普遍問題，通過小專題復習，強化學生對有關(guān)問題的認識；（3）在運用一次方程（組）解決有關(guān)實際問題中，體現(xiàn)數(shù)學的應(yīng)用價值，并滲透模型思想，即通過選取與學生生活實際相關(guān)的問題解決，滲透模型思想.其次我們認為：由參賽教師自己組織教學內(nèi)容，這應(yīng)說明承辦學校已完成該單元的教學內(nèi)容，因此，通過舉例以體現(xiàn)方程（組）的應(yīng)用，其意義與價值并不大；由于是借班上課，難以弄清學生學習中存在的問題，因此通過小專題復習的必要性也不大.為此，我們將本節(jié)課的教學目標定位為：在運用一次方程（組）解決有關(guān)實際問題中，體現(xiàn)數(shù)學應(yīng)用價值，滲透模型思想.

2.2教學素材選取

根據(jù)定位的教學目標，素材的選擇既要貼近學生的生活實際，問題的解決需要借助一次方程（組）的知識，又要能體現(xiàn)模型思想.在方程（組）應(yīng)用的許多問題中，問題背景（如行程問題、濃度配比問題等等）雖然都取材于生產(chǎn)、生活，但離學生的真實生活也還較遠，更多時候?qū)W生還是簡單地將其作為應(yīng)用題來解決，因而難以激發(fā)學生興趣，也無法讓學生切實感受數(shù)學的應(yīng)用價值，且“模型”易演變?yōu)椤邦}型”.為此，我們欲從學生現(xiàn)實生活的素材中提煉數(shù)學問題.在此過程中，我們經(jīng)歷了兩個尋找階段：開始想從學生現(xiàn)實生活中尋找能用一次方程（組）解決的問題，但或因問題過于簡單，難以滲透模型思想；或因素材背景仍遠離學生的生活實際，學生缺乏生活體驗而未果，當然根本原因還在于我們平時缺乏對生活的觀察與思考.隨后我們調(diào)整思路，從數(shù)學問題中找生活背景，如此便有了發(fā)現(xiàn)：“牛頓問題”（俗稱“牛吃草問題”）是一類比較經(jīng)典的數(shù)學問題.這個問題涉及這樣幾個量：（1）草場原有草量；（2）每天消耗的草量；（3）在草的消耗過程中，又有新的草長出.如果以此素材為背景，也會偏離現(xiàn)在孩子，尤其城區(qū)孩子的生活實際.但這個數(shù)學問題能找到貼近學生生活實際的素材——排隊問題.排隊問題也涉及這樣幾個量：（1）隊列中原有站隊人數(shù)；（2）每個時刻有人辦完業(yè)務(wù)離開；（3）別人辦業(yè)務(wù)及離開的過程中，后面繼續(xù)有人來排隊.其和“牛頓問題”在數(shù)學本質(zhì)上是一樣的，因此我們決定以生活中的排隊作為教學素材.

2.3問題角度選擇

確定了選材方向，還需要進一步選擇問題設(shè)計的角度.通過“牛頓問題”類比得到的排隊問題，其僅僅是服務(wù)機構(gòu)的決策問題.經(jīng)過分析不難發(fā)現(xiàn)：生活中的排隊，還存在顧客考慮排隊的隊列選擇問題.因此，我們就從顧客及服務(wù)機構(gòu)兩個角度設(shè)計問題背景：（1）每個服務(wù)窗口的效率并不一樣，顧客應(yīng)如何選擇排隊窗口減少排隊時間；（2）服務(wù)機構(gòu)一般會考慮人力資源與顧客可接受等候時間，考慮安排合適的窗口數(shù).如此，使問題更貼近學生生活實際，體現(xiàn)生活與數(shù)學聯(lián)系，也更易激發(fā)學生興趣.

2.4教學過程設(shè)計

教學過程的設(shè)計應(yīng)考慮學生的認知水平，并尊重學生的差異，力求使不同的學生獲得不同的感悟，得到不同程度地發(fā)展.在教學設(shè)計過程中，我們分析了下列因素：（1）如果直接將“牛頓問題”引申到排隊中的問題決策，將會使角度單一，更會因難度過大，問題缺乏梯度而不利于調(diào)動全體學生參與的積極性；（2）排隊過程是動態(tài)的，一部分人離開，后面又有人繼續(xù)排隊，這其中涉及到兩個量的變化，對初一學生還略顯困難；（3）單位時間內(nèi)離開與新增加排隊的人數(shù)并不一樣，學生在生活中對此也缺乏關(guān)注，畢竟在實際生活中的排隊，更多地是憑經(jīng)驗或直覺選擇排隊的隊列.

根據(jù)本節(jié)課所選角度，結(jié)合上述分析，在教學過程中共設(shè)置了4個問題.問題1設(shè)置的背景是對一個窗口情況的分析，讓學生感知排隊中離開與新增人數(shù)變化過程.且問題1設(shè)置了兩個小問題，從一個變化量（前面排隊的人打飯后離開）延伸到兩個變化量（有人離開過程中，又新增排隊人數(shù)），從而使問題由淺入深.兩個小問題都可以用簡單的算術(shù)方法解決，從而每個學生都能參與其中.問題2將排隊的一個窗口延伸到兩個窗口，體現(xiàn)方程的應(yīng)用，實施本節(jié)課所選第一個角度的教學.有了問題1的鋪墊，問題2的解決也就不再困難.借助問題3，實施本節(jié)課所選第二個角度的教學，體現(xiàn)方程組的應(yīng)用，也是本節(jié)課的重點與難點.為突破難點，對教學中該如何引導，由淺入深、由表及里的作了較詳細預設(shè)；為突出重點，通過問題4，將問題從特殊延伸到一般，以提煉模型.并通過一道課堂練習，一道課外作業(yè)將問題推廣，豐富學生認知.至此，完成了本節(jié)課主體過程的設(shè)計.

3結(jié)束語

筆者常把復習階段的教學設(shè)計類比于寫作.寫文章需要先立意，明確文章主旨，以此選擇素材及表達方式，文章立意高，有助于增強文章的可讀性；教學設(shè)計的目標定位就相當于文章的立意，只有目標定位明確、準確，才能使素材選擇的方向更明確.適度提高教學目標的定位，也有助于擴大教學的價值.

教學素材選擇的視角，會關(guān)系到素材的質(zhì)量與教學的針對性，從而會影響著教學效果.素材的選擇可以根據(jù)問題找素材，在此過程中還常需要設(shè)計者根據(jù)定位的目標，自編、改編素材.這就要求我們平時要善于積累素材；還可從有關(guān)生活素材中，提煉數(shù)學問題，挖掘教學價值，以此設(shè)置數(shù)學問題.例如本節(jié)課的教學，我們就是通過類比與聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)生活中的排隊問題與一次方程（組）有聯(lián)系，隨后分層設(shè)置問題，很好地作為本節(jié)課的教學素材.

雖然本次比賽所選的素材，得到專家評委及觀摩老師們的認可，但這個素材找的并不順利，是通過“牛頓問題”類比得到的.其實與一次方程（組）有關(guān)的生活問題并不少，如一張出租車票，一張水電費發(fā)票等，都能提煉出與一次方程有關(guān)的數(shù)學問題.這也使筆者深深感受到，作為數(shù)學老師，在平時的教學過程中，還需要我們更多地關(guān)注現(xiàn)實生活，并能從中提煉出數(shù)學問題，以此使有關(guān)教學素材能更貼近學生的生活實際，也讓學生對數(shù)學與生活聯(lián)系的體會更加深刻.

有高度的目標定位，寬廣的素材選擇視角，問題的精心設(shè)計，都會更利于促進學生的發(fā)展.

作者簡介張克玉（1972—），男，中學高級教師（安徽省特級教師）.endprint