懸掛工裝對(duì)運(yùn)載火箭模態(tài)試驗(yàn)影響分析

湯 波，范瑞祥，潘忠文，張永亮

(1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076；2. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京100076；3. 北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京100076)

懸掛工裝對(duì)運(yùn)載火箭模態(tài)試驗(yàn)影響分析

湯 波1，范瑞祥2，潘忠文1，張永亮3

(1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京100076；2. 中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京100076；3. 北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京100076)

為分析懸掛工裝對(duì)運(yùn)載火箭模態(tài)影響，通過系統(tǒng)能量泛函建立了懸掛梁系統(tǒng)的振動(dòng)方程和邊界條件，得到了系統(tǒng)固有頻率特征方程，并證明自由-自由邊界模型是其蛻化情況。通過數(shù)值求解特征方程，得到了系統(tǒng)頻率和振型相對(duì)于懸掛工裝的長(zhǎng)度、密度變化的規(guī)律。采用此方法解釋了某型火箭模態(tài)試驗(yàn)出現(xiàn)的多組一階橫向模態(tài)現(xiàn)象。

火箭；模態(tài)；自由-自由邊界；懸掛工裝；懸掛梁

0 引 言

火箭模態(tài)特性是姿控穩(wěn)定性設(shè)計(jì)和Pogo抑制分析的基礎(chǔ)。美國(guó)德爾塔-3運(yùn)載火箭由于設(shè)計(jì)時(shí)未考慮一組關(guān)鍵滾轉(zhuǎn)模態(tài)，首飛中滾轉(zhuǎn)失控，最終火箭自毀。我國(guó)首次載人航天飛行中，宇航員經(jīng)受較大的低頻振動(dòng)，原因是推進(jìn)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)縱向耦合振動(dòng)相互耦合產(chǎn)生的自激振動(dòng)。因此研究火箭的全箭動(dòng)特性十分重要。

目前國(guó)內(nèi)外航天器動(dòng)特性建模和修正方法的研究已經(jīng)成熟。Leadbetter[1]開展了土星V號(hào)運(yùn)載火箭動(dòng)特性建模，王建民等[2]總結(jié)了捆綁火箭的模態(tài)分布特點(diǎn)，給出了捆綁火箭橫、縱、扭模態(tài)互相耦合的特征，潘忠文等[3]系統(tǒng)研究了蒙皮加筋結(jié)構(gòu)的拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度以及桁條面積等效、慣性矩等效對(duì)此類結(jié)構(gòu)剛度特性的影響，邱吉寶等[4]針對(duì)仿真模型與試驗(yàn)結(jié)果的一致性，總結(jié)了模型修正的方法，Pan[5]從圓柱殼體、推進(jìn)劑和局部振型斜率預(yù)示三個(gè)方面對(duì)建模方法進(jìn)行了綜述。

航天器空間狀態(tài)與地面試驗(yàn)狀態(tài)存在差異，Hsu等[6]研究了重力對(duì)航天器動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響，馬睿等[7]研究了重力影響下太陽(yáng)翼模型修正方法。我國(guó)目前采用柔性懸掛方法模擬火箭飛行時(shí)的自由邊界，但其天地一致性尚未發(fā)現(xiàn)相關(guān)的文獻(xiàn)結(jié)果。一般認(rèn)為，當(dāng)懸掛系統(tǒng)的固有頻率小于試驗(yàn)件一階固有頻率的1/5時(shí)，其對(duì)結(jié)構(gòu)彈性模態(tài)頻率的影響可以忽略[8]，在試驗(yàn)結(jié)束以后的模態(tài)分析中，也不會(huì)考慮懸掛系統(tǒng)對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的影響。在我國(guó)新一代中型運(yùn)載火箭模態(tài)試驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)由于懸掛系統(tǒng)影響，系統(tǒng)出現(xiàn)了多組一階橫向振動(dòng)頻率。本文通過將試驗(yàn)系統(tǒng)抽象為懸掛梁模型，推導(dǎo)了固有頻率特征方程，得到了系統(tǒng)頻率和振型相對(duì)于懸掛工裝的長(zhǎng)度、密度變化的規(guī)律，理論分析結(jié)果與有限元計(jì)算及試驗(yàn)結(jié)果吻合。揭示了火箭規(guī)模變大后，懸掛工裝對(duì)全箭模態(tài)試驗(yàn)影響越來越大，大幅增加了試驗(yàn)和結(jié)果分析的復(fù)雜度，有必要采用油氣支撐裝置代替目前的懸掛工裝開展模態(tài)試驗(yàn)[9]。

1 理論與數(shù)值分析

1.1 懸掛梁振動(dòng)方程

當(dāng)前我國(guó)運(yùn)載火箭模態(tài)試驗(yàn)時(shí)采用彈性繩將火箭懸吊在空中模擬自由-自由邊界條件。為分析系統(tǒng)振動(dòng)規(guī)律，將火箭建模為歐拉梁，將懸掛繩建模為張力為常量的弦，兩者組成懸掛梁系統(tǒng)如圖1所示。

梁、弦的最大動(dòng)能與勢(shì)能分別為

(1)

(2)

式中:ω為系統(tǒng)的固有頻率，ρ為梁或弦的線密度，u為位移，E為材料的彈性模量，I為截面慣性積，F(xiàn)為弦內(nèi)張力，在小變形假設(shè)下等于梁的重量；L表示梁或弦的長(zhǎng)度，下標(biāo)1,2分別代表梁和弦。

系統(tǒng)固有頻率滿足泛函[10]

(3)

其中,u2在懸掛點(diǎn)滿足強(qiáng)制邊界條件，即u2(L2)=0，且梁與弦連接點(diǎn)位移相同，即u1(0)=u2(0)。分部積分后得到

(4)

因u1,u2的變分是任意的，從積分項(xiàng)可得懸掛梁振動(dòng)方程為

(5)

(6)

式(5)和式(6)表明懸掛梁系統(tǒng)不改變振動(dòng)方程，只改變邊界條件。式(5)的通解為

(7)

式中：C1,C2,C3,C4,D1,D2為6個(gè)待定系數(shù)，由邊界條件求得，另外有

(8)

1.2 方程的蛻化情況

式(5)和式(6)存在如下兩種蛻化情況：

1) 當(dāng)F=0時(shí)，蛻化為不帶工裝的梁模型。

2) 當(dāng)ρ2=0時(shí)，蛻化為單擺+梁模型。

F=0時(shí)，對(duì)應(yīng)γ=0，此時(shí)邊界條件(6)的第4式變?yōu)閡?1(0)=0，與前3式構(gòu)成兩端自由梁的邊界，系統(tǒng)蛻化為不帶工裝的梁模型。

ρ2→0時(shí)，η→0，此時(shí)式(7)變?yōu)閡2=ηD1β2x+D2，其中ηD1為有限值，此式代表了單擺的振動(dòng)方程。

1.3 懸掛梁固有頻率方程

將式(6)代入式(5)，可得邊界條件方程為

(9)

再補(bǔ)充振型歸一化方程，此處不妨設(shè)C2=1，從式(9)求得

(10)

從而

(11)

從式(9)可以得到

(12)

將式(12)代入式(11)得到

活豬調(diào)運(yùn)受限的局面在未來較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)難以改變，豬肉調(diào)運(yùn)或?qū)⒅饾u成為趨勢(shì)?；钬i調(diào)運(yùn)是導(dǎo)致疫情擴(kuò)散的主要原因之一，如果活豬長(zhǎng)期受限，短期內(nèi)由于產(chǎn)地和銷地不匹配、屠宰和養(yǎng)殖產(chǎn)能的不匹配，豬價(jià)的區(qū)域性差異將會(huì)持續(xù)；長(zhǎng)期看，養(yǎng)殖和屠宰產(chǎn)能的分布將更加合理。

[sin(βL1)cosh(βL1)-cos(βL1)sinh(βL1)]=0

(13)

式(13)為懸掛梁固有頻率的特征方程。特別地，當(dāng)γ=0時(shí)，上式左邊第3項(xiàng)為0，方程蛻化為兩端自由梁的頻率方程。

1.4 固有頻率解的性質(zhì)

式(13)為超越方程，只能求出其數(shù)值解。令

(14)

分析β變化時(shí)Y的過零區(qū)，可得到特征方程的解β，從而得到固有頻率ω。

下述數(shù)值計(jì)算時(shí)假設(shè)E1I1=1,ρ1=1,L1=1，從而ω=β2,F=9.8。在示性分析中，可假設(shè)以上數(shù)值為無量綱化，因此數(shù)值中不寫單位。

1.4.1不考慮懸掛系統(tǒng)(Free-Free Beam,FB模型)

Y=1-cos(βL1)cosh(βL1)

(15)

計(jì)算得到兩端自由梁前四階頻率分別為22.37, 61.67, 120.9, 199.9 rad/s。

1.4.2單擺懸掛系統(tǒng)(Pendulum+Beam,PB模型)

當(dāng)F≠0，ρ2=0時(shí)，式(14)可寫為

(16)

獲得PB模型固有頻率隨單擺頻率比變化規(guī)律如圖2所示。其橫坐標(biāo)為單擺與FB模型的一階固有頻率之比，縱坐標(biāo)為頻率，黑色區(qū)域的邊緣為系統(tǒng)的固有頻率，從圖2可得如下結(jié)論：

1) PB模型固有頻率隨工裝長(zhǎng)度降低而升高，工裝越長(zhǎng)越接近FB模型，無限長(zhǎng)時(shí)等價(jià)于FB模型。

2) 懸掛工裝長(zhǎng)度為0時(shí)(單擺固有頻率為無窮大)，PB模型等價(jià)于一端鉸支、一端自由的梁。

3) 隨著懸掛工裝長(zhǎng)度縮短，PB模型各階次的固有頻率單調(diào)遞增，此階次頻率介于FB模型和一端鉸支、一端自由的梁相應(yīng)階次固有頻率之間。

4)當(dāng)擺梁固有頻率比為1/5時(shí)[8]，在本文初始參數(shù)下，原兩端自由梁一階基頻上升6%。

1.4.3懸掛梁系統(tǒng)(Chord+Beam,CB模型)

當(dāng)F≠0，ρ2=0.01和ρ2=0.1時(shí)獲得CB模型固有頻率隨擺梁頻率比變化規(guī)律如圖3所示。

由圖3可知懸掛工裝的線密度固定時(shí)：

1) 懸掛工裝長(zhǎng)度較短時(shí)，CB模型固有頻率與PB模型接近，可不考慮懸掛工裝的弦振動(dòng)特性。

2) 懸掛工裝長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，CB模型出現(xiàn)了較為豐富的頻率成分。在原PB模型的模態(tài)附近，出現(xiàn)多組模態(tài)。懸掛工裝自身大量模態(tài)與梁耦合，在試驗(yàn)中，將造成頻率識(shí)別的困難，以及采集振型的偏離。

3) 同樣的懸掛工裝長(zhǎng)度，懸掛工裝線密度升高，CB模型更容易出現(xiàn)多個(gè)頻率成分。

4) 懸掛工裝長(zhǎng)度極長(zhǎng)時(shí)，β值的微小變化均會(huì)導(dǎo)致ctan(β2ηL2)的快速變號(hào)，而式(14)的其它值基本不變，因此在β的微小鄰域內(nèi)存在大量的固有頻率解，此時(shí)模態(tài)試驗(yàn)已無法開展。

當(dāng)γ≠0，L2=0.5和L2=2時(shí)獲得CB模型固有頻率隨擺梁頻率比變化規(guī)律如圖4所示。由圖4可知懸掛的長(zhǎng)度固定時(shí)：

1) 隨著懸掛工裝線密度增加，CB模型同階次固有頻率單調(diào)下降，且下降速率呈先快后慢趨勢(shì)。

2) 隨著懸掛工裝線密度增加，在原PB模型一階彈性頻率附近，出現(xiàn)多個(gè)固有頻率成分。

3) 懸掛工裝長(zhǎng)度增加后,隨著其線密度增加,CB模型同階次固有頻率下降速率增大，低頻附近固有頻率成分增加。

1.5 振型性質(zhì)

懸掛工裝線密度增加，系統(tǒng)頻率降低，振型改變不明顯；懸掛工裝長(zhǎng)度增加，振型一致程度增加。而且懸掛工裝長(zhǎng)度增加，系統(tǒng)中出現(xiàn)新的振型。圖5顯示了ρ2=0.10,L2=1.00時(shí)頻率ω=33.64 rad/s的新振型(FB模型的一、二階頻率分別為22.37 rad/s和61.67 rad/s)，此振型與FB模型的振型具有一定的相似性，但兩者頻率差異較大，將給試驗(yàn)結(jié)果分析帶來較大困擾。

2 試驗(yàn)分析

由第1.1節(jié)和1.2節(jié)可知，當(dāng)懸掛工裝長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，系統(tǒng)中將出現(xiàn)新的振型，且振型與FB模型的振型具有一定的相似性，其試驗(yàn)結(jié)果將給模型修正帶來一定的困難。

我國(guó)新一代中型運(yùn)載火箭模態(tài)試驗(yàn)時(shí)，火箭通過懸掛系統(tǒng)模擬自由-自由邊界條件。懸掛系統(tǒng)由井字梁、作動(dòng)筒、蝶形彈簧、調(diào)節(jié)拉桿、鋼絲繩和承力框組成，懸掛系統(tǒng)如圖6(a)所示。

在某秒點(diǎn)時(shí)，全箭重量約為220 t，全箭總長(zhǎng)約50 m，懸吊工裝長(zhǎng)度為26 m，分為4組，每組4根鋼絲繩組成，每根鋼絲繩半徑約為25 mm。不考慮懸掛工裝時(shí)，計(jì)算可得出一組一階橫向模態(tài)(將Y、Z向的一對(duì)視為一組)，頻率都為1.73 Hz。

由于火箭構(gòu)型復(fù)雜，無法精確換算出其相關(guān)等效參數(shù)。但對(duì)于一階頻率，仍可將之視為簡(jiǎn)單梁模型，換算線密度ρ1約為4400 kg/m，根據(jù)梁自由-自由狀態(tài)頻率特征方程的解，得出E1I1約為6.5×109kg·m3，γ約為3.3×10-4m-2·s-2，η約為13 m·s。計(jì)算得出此工況下Y值與不考慮工裝情況下的對(duì)比如圖7所示。由圖7可知，考慮工裝后，頻率由原一組變成了三組。繪制懸掛工裝為不同長(zhǎng)度或不同根數(shù)對(duì)全箭一階頻率的影響如圖8所示。由圖8可知，當(dāng)懸掛工裝長(zhǎng)度為26 m 或每組懸掛工裝為4根時(shí)，正好出現(xiàn)較為接近的三組頻率成分。

為準(zhǔn)確分析工裝對(duì)全箭頻率和振型的影響，建立火箭有限元模型如圖6(b)所示。不考慮工裝時(shí)，計(jì)算中出現(xiàn)一組一階模態(tài)，將此組模態(tài)與試驗(yàn)中出現(xiàn)的兩組模態(tài)同時(shí)進(jìn)行比較,如圖9所示。

計(jì)算模型中加入工裝后，計(jì)算頻率對(duì)比見表1，振型對(duì)比見圖10和圖11。由于此處懸掛工裝為4組，出現(xiàn)了多于三組的模態(tài)。試驗(yàn)中采集到的兩組一階橫向頻率成分在計(jì)算中均可以找到，且計(jì)算頻率與試驗(yàn)結(jié)果更為接近。

表1 帶懸掛工裝計(jì)算與試驗(yàn)頻率對(duì)比表Table 1 Comparison of frequency between computation with suspension rope and experiment

3 結(jié) 論

本文將懸吊工裝視為弦，抽象運(yùn)載火箭模態(tài)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閼覓炝?CB模型)，建立固有頻率特征方程，并開展數(shù)值求解，得到了系統(tǒng)頻率和振型相對(duì)于懸掛工裝的長(zhǎng)度、密度變化的規(guī)律，解釋了我國(guó)新一代中型運(yùn)載火箭模態(tài)試驗(yàn)時(shí)出現(xiàn)的多組一階橫向模態(tài)現(xiàn)象，理論分析結(jié)果與有限元計(jì)算及試驗(yàn)結(jié)果吻合。

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EffectsofSuspensionRopeonModalExperimentofRockets

TANG Bo1, FAN Rui-xiang2, PAN Zhong-wen1, ZHANG Yong-liang3

(1. Beijing Institute of Astronautical System Engineering, Beijing 100076, China;2. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing 100076, China;3. Beijing Institute of Structure & Environment, Beijing 100076, China)

The vibration equations and boundary conditions are established from the energy function of a beam system which is suspended with ropes; subsequently, the natural frequency characteristics equation is acquired. It is demonstrated that the free-free boundary model is the degenerated condition of the beam system. By solving this characteristics equation numerically, the natural frequency and modal relative to the length or density of the suspension rope is obtained. The appearance of the multiple first-order modals in a certain rocket’s modal test is explained by using this method.

Rocket; Modal; Free-free boundary; Suspension rope; Suspended beam

2017- 02- 20;

2017- 09- 22

V416

A

1000-1328(2017)12- 1354- 07

10.3873/j.issn.1000- 1328.2017.12.013

湯波(1982-)，男，博士，主要從事運(yùn)載火箭載荷和動(dòng)特性方面的研究。

通信地址：北京市9200信箱10分箱18號(hào)(100076)

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