可視化教學(xué)：讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生

孫建華

摘? 要：數(shù)學(xué)的概念是抽象的，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程是內(nèi)隱的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借鑒計(jì)算機(jī)中“可視化”技術(shù)，通過圖形、動(dòng)作、聲音和量表等，讓抽象的問題具象化，讓內(nèi)隱的思維顯性化。“可視化教學(xué)”不僅是一種教學(xué)行動(dòng)與教學(xué)策略，更是一種教學(xué)理念與教學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：可視化教學(xué);數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);真正發(fā)生

從認(rèn)知心理學(xué)上看，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一項(xiàng)內(nèi)隱的學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生的思維猶如“黑匣子”是不可見的。如果我們能借鑒計(jì)算機(jī)科學(xué)中的“可視化”技術(shù)，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維過程看得見，成為教師、學(xué)伴可以觀察、把握、觸摸的對(duì)象，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會(huì)真正發(fā)生。在教學(xué)中，將數(shù)學(xué)的抽象性問題、將學(xué)生看不見的思維過程、將不可言說的數(shù)學(xué)思想方法等清晰地呈現(xiàn)出來，有助于培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、圖形表征：讓抽象問題具象化

數(shù)學(xué)的問題表述通常是抽象的，是用文字進(jìn)行描述的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用圖形表征、用圖形示意。這里的圖形概念是廣義上的，既包括幾何圖形，也包括表格、記錄單等。只有借助圖形，才能將抽象的數(shù)量問題具象化，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)獲得直觀、簡(jiǎn)潔、清晰的理解。同時(shí)，畫圖也能敞亮學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生的思維軌跡變得清晰可循。畫圖是在客觀問題與主觀心智表達(dá)之間架設(shè)一座橋梁，既能讓隱藏在文字背后的關(guān)系、本質(zhì)、思想、方法顯現(xiàn)出來，又能讓我們看到學(xué)生的思維過程。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》，習(xí)題中出現(xiàn)了“連桶稱油”問題：一桶油，原來連桶稱共重30千克，倒出一半的油后，連桶稱共有16千克。原來桶和油各有多少千克？對(duì)于這樣的問題，學(xué)生在解決問題時(shí)往往只是“跟著感覺走”，列出的算式五花八門。他們既說不清數(shù)量關(guān)系，更不能主動(dòng)對(duì)稱油前后的數(shù)量進(jìn)行對(duì)比，思考什么數(shù)量發(fā)生了變化，什么數(shù)量沒有發(fā)生變化?；诖耍P者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生畫圖，引導(dǎo)學(xué)生從畫出的圖中分析數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。在這個(gè)過程中，為了促進(jìn)學(xué)生“圖”“文”之間的心理轉(zhuǎn)換，筆者鼓勵(lì)學(xué)生“看”圖“想”事、由圖“說”理，指導(dǎo)學(xué)生畫圖、讀圖、用圖。通過圖構(gòu)（根據(jù)題意畫圖）、圖導(dǎo)（根據(jù)圖形思考），讓學(xué)生直觀感覺到“從原來的桶與油到現(xiàn)在的桶與油的變化，少的就是油的質(zhì)量”，從而形成解決問題的策略。

法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒說：“沒有任何東西會(huì)比幾何圖形更能簡(jiǎn)單直接地引入腦海，用圖形表達(dá)事物是很有幫助的?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，“圖形”是學(xué)生思維的腳手架，只有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖構(gòu)，才能將抽象的代數(shù)問題幾何化，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)易化，才能讓圖形發(fā)揮好積極的導(dǎo)向作用，形成學(xué)生良好的圖感。如此，學(xué)生才能形成用圖形解決數(shù)學(xué)問題的意識(shí)和習(xí)慣。

二、出聲思維：讓數(shù)學(xué)思維可見化

思維可視性策略既包括“可視性的思維”，也包括“出聲性的思維”。我們常說，“語言是思維的外化”，借助語言，可以將自我內(nèi)隱的思維展現(xiàn)出來。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要給學(xué)生創(chuàng)造更多的表達(dá)時(shí)空，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用“數(shù)學(xué)的語言”進(jìn)行表達(dá)。一方面，通過語言，教師能夠精準(zhǔn)把脈學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)，了解學(xué)生的思維方向、思維水平;另一方面，學(xué)生的內(nèi)隱思維通過有聲化語言得以溝通、碰撞，在對(duì)話、溝通、質(zhì)疑、答辯的過程中得到發(fā)展。

例如，教學(xué)蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《圓的認(rèn)識(shí)》，筆者設(shè)計(jì)“找圓心”的微活動(dòng)，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究。有學(xué)生認(rèn)為，可以通過對(duì)折，形成兩條直徑，這兩條直徑的交點(diǎn)就是圓的圓心;有學(xué)生立即反駁，認(rèn)為黑板上的圓不能對(duì)折，這種方法有局限性。面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑，學(xué)生之間展開了言語交流，形成了基于學(xué)生不同數(shù)學(xué)思維的復(fù)調(diào)表達(dá)。有學(xué)生提出，可以“過圓周上任意點(diǎn)畫一條直線（切線），然后畫這條直線的平行線，但要過對(duì)面的圓周上的一點(diǎn);有學(xué)生提出，可以“在圓周上任意畫一條直線（圓的切線），然后過這條直線與圓的交點(diǎn)（切點(diǎn)）作這條直線的垂線”;還有學(xué)生提出，“在圓周上選一點(diǎn)，用直尺從這一點(diǎn)開始移動(dòng)，圓上最長(zhǎng)的線段就是圓的直徑”……透過學(xué)生真切的言語表達(dá)，不難發(fā)現(xiàn)，每一種語言言說的背后，都蘊(yùn)含著學(xué)生的思維假設(shè)，都蘊(yùn)含著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的策略。通過學(xué)生有聲的語言表達(dá)，我們能夠觸摸到學(xué)生的思維跳動(dòng)的脈搏。

出聲思維，將學(xué)生思維可視化，學(xué)生在話語中相互傾聽、相互碰撞。由此構(gòu)筑了相互傾聽、應(yīng)答的“潤(rùn)澤的教室”。當(dāng)然，有時(shí)學(xué)生思維表達(dá)存在一定漏洞、盲區(qū)。如果教師能依循學(xué)生話語，理性跟進(jìn)、捕捉學(xué)生思維動(dòng)態(tài)，就能導(dǎo)引學(xué)生思維向縱深發(fā)展。

三、動(dòng)作展示：讓研究路徑顯性化

對(duì)于小學(xué)生而言，如果我們?cè)诮虒W(xué)中將抽象、靜態(tài)的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)成學(xué)生有形、動(dòng)態(tài)的直觀動(dòng)作，就能讓學(xué)生思維得到展示。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，在觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、演示等具身性活動(dòng)中，讓學(xué)生數(shù)學(xué)研究路徑顯性化。教師通過學(xué)生肢體、動(dòng)作表達(dá)，能夠揣摩到學(xué)生思維路徑、方向?？梢赃@樣說，學(xué)生動(dòng)作展示是學(xué)生數(shù)學(xué)思維表達(dá)的有效載體。

例如，教學(xué)蘇教版三年級(jí)上冊(cè)的《長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)》，其中有一類問題是“拼圖形求周長(zhǎng)”，對(duì)于這一類問題，學(xué)生總是容易發(fā)生錯(cuò)誤。其根本原因在于學(xué)生不清楚少了幾條邊，這些少了的邊哪里去了，為什么會(huì)少這些邊，等等?；诖耍P者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動(dòng)作展示，讓學(xué)生將長(zhǎng)方形剪下來，讓這些圖形動(dòng)起來。在動(dòng)的過程中，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、思考問題。首先，讓學(xué)生有序地拼一拼。有學(xué)生將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊拼在一起;有學(xué)生將兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形的寬邊拼在一起。其次，讓學(xué)生用筆描一描。在描的過程中，學(xué)生能深刻地體驗(yàn)到，長(zhǎng)邊拼合在一起就少了兩條長(zhǎng)邊，寬邊拼合在一起就少了兩條寬邊。再次，讓學(xué)生用筆算一算。通過拼合、描紅的操作展示，學(xué)生形成了這樣的算法：拼合圖形周長(zhǎng)=原來一個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)×2-拼掉的長(zhǎng)或?qū)?。在這“一拼”“一描”“一算”的動(dòng)作展示中，盡顯學(xué)生深刻的數(shù)學(xué)思維，學(xué)生的數(shù)學(xué)研究路徑也得以展示。

當(dāng)代具身認(rèn)知理論強(qiáng)調(diào)身體的感覺和運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)思維方式的塑造作用。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維往往是伴隨著具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)而展開的。正是在動(dòng)手做、動(dòng)手操作、演示等的探究活動(dòng)中，我們才可能可視化地觀察到學(xué)生的思維路徑、方向、狀態(tài)。事實(shí)上，直觀的操作有助于學(xué)生思維的形成，同時(shí)思維的形成又能反哺學(xué)生直觀的操作。從這個(gè)意義上說，動(dòng)作與思維是相輔相成、相互促進(jìn)的關(guān)系?？梢暬虒W(xué)就是要形成學(xué)生“做思共生”的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

四、反思評(píng)價(jià)，讓結(jié)構(gòu)知識(shí)量表化

人的大腦對(duì)“量表”非常敏感，其直觀性、結(jié)構(gòu)性、嚴(yán)密性和概括性能夠有效地提升思維加工的效能，使得這些數(shù)學(xué)知識(shí)、概念更易于被理解、被評(píng)價(jià)、被遷移。因此，當(dāng)學(xué)生學(xué)完了某一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、概念、關(guān)系進(jìn)行提煉，建構(gòu)可視化的數(shù)學(xué)模型，形成量表化的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)概念的關(guān)系網(wǎng)。這樣，有助于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用能力。

以《因數(shù)和倍數(shù)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)）單元教學(xué)為例，本單元是小學(xué)階段研究數(shù)論的一個(gè)單元。許多抽象的概念存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，同時(shí)概念的深刻內(nèi)涵和廣闊外延，常常需要教師引領(lǐng)學(xué)生不斷進(jìn)行反思評(píng)價(jià)。通過反思評(píng)價(jià)，讓數(shù)學(xué)概念串聯(lián)成“串”，結(jié)構(gòu)成“網(wǎng)”，集約成“體”。比如，對(duì)于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，在學(xué)生學(xué)完概念后，我們引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思概括，形成了三種不同的表達(dá)：其一，兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1;其二，兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1;其三，兩個(gè)數(shù)沒有公有的質(zhì)因數(shù)。對(duì)于“互質(zhì)數(shù)”的情況分類，筆者用一個(gè)量表，將之分為五種情況，并且在每一種情況里面都嵌入例子。第一種情況：1和任何自然數(shù)互質(zhì);第二種情況：兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)互質(zhì);第三種情況：兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)互質(zhì);第四種情況：兩個(gè)不相同的素?cái)?shù)互質(zhì);第五種情況：2的n次方和任何一個(gè)奇數(shù)互質(zhì)。由于有了精準(zhǔn)化的概念內(nèi)涵界定和精細(xì)化的概念外延分類，學(xué)生對(duì)“互質(zhì)數(shù)學(xué)”的概念有了深刻的把握。在運(yùn)用短除法求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)、在判定一個(gè)分?jǐn)?shù)是否是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，就能左右逢源、游刃有余。

古希臘智者學(xué)派的代表人物普羅塔戈拉說：“頭腦不是一個(gè)要被填滿的容器，而是一把需要被點(diǎn)燃的火把?！笨梢暬呗裕菍W(xué)生有效開展數(shù)學(xué)探究的方式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從點(diǎn)狀概念開始，逐步向線型、網(wǎng)狀、系統(tǒng)狀的思維量表過渡，有助于培育學(xué)生問題分析、推理等能力。

從可視化的視角進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，就是要充分發(fā)揮圖形、動(dòng)作、語言、圖標(biāo)等外在的形象化表征在教學(xué)中的作用，將數(shù)學(xué)的抽象問題、學(xué)生的思維過程動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出來，從而幫助學(xué)生更好地理解、記憶和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生的思維向縱深發(fā)展?？梢暬虒W(xué)不僅僅是一種教學(xué)行動(dòng)與教學(xué)策略，更是一種教學(xué)理念與教學(xué)思想。