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    抓住幾何本質(zhì),避繁就簡解題

    2018-01-02 02:41:46溫日明
    數(shù)理化解題研究 2017年31期
    關(guān)鍵詞:切點圓心切線

    溫日明

    (江西省信豐中學(xué) 341600)

    抓住幾何本質(zhì),避繁就簡解題

    溫日明

    (江西省信豐中學(xué) 341600)

    通過比較常規(guī)解法和幾何解法的優(yōu)劣,說明抓住條件中的幾何本質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合解題的簡潔性.

    幾何本質(zhì);避繁就簡;解題

    在學(xué)習數(shù)學(xué)的過程中,我們經(jīng)常會遇到一些題目,常規(guī)方法求解比較繁瑣,甚至做到中途做不下去,然而若換個角度,抓住條件中的幾何本質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合,往往會得到一些簡潔解法,這是數(shù)學(xué)解題很重要的方法之一.下面試舉幾例,以饗讀者.

    例1 (2015江蘇高考,10)在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為 .

    簡解易知直線mx-y-2m-1=0(m∈R)恒過定點(2,-1),

    ∴當點(2,-1)為切點時圓的半徑最大,

    ∴半徑最大的圓的標準方程為(x-1)2+y2=2.

    評析常規(guī)解法利用圓心到切線的距離等于半徑,結(jié)合基本不等式求解,也行得通.簡解抓住直線恒過定點,結(jié)合圖形分析可知結(jié)果,簡便易行.

    例2 過圓O:x2+y2=2外一點A(3,1)引圓的兩條切線,切點分別為T1,T2,則直線T1T2的方程為 .

    常規(guī)解法易知切線存在斜率,設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,

    ∴切線方程分別為x-y-2=0或x+7y-10=0.

    ∴直線T1T2的方程為x+2y-3=0.

    簡解如圖1,以A為圓心,AT1為半徑作圓,由切線長相等知圓A過必點T2,故T1T2是圓O與圓A的公共弦.

    ∴圓A的方程為(x-3)2+(y-1)2=8,

    又圓O的方程為x2+y2=2,

    相減得直線T1T2的方程為x+2y-3=0.

    評析常規(guī)解法采用先求切點坐標,進而求出切點所在直線方程的方法,運算量較大.簡解抓住切線長相等,T1,T2均在以A為圓心,AT1為半徑的圓上,利用兩圓公共弦求解,大大減少了運算量.

    例3 在直角坐標平面內(nèi),與點A(1,2)的距離為1,且與點B(3,1)的距離為2的直線l共有 條.

    常規(guī)解法顯然直線l存在斜率,設(shè)l的方程為y=kx+b,

    ∴直線l共有2條.

    簡解∵點A,B到l的距離分別為1,2,

    ∴l(xiāng)是以A為圓心,1為半徑的圓和以B為圓心,2為半徑的圓公切線,而圓A,圓B是相交的,∴直線l共有2條.

    評析常規(guī)解法以計算為主,難點在于方程組求解繁瑣.簡解巧在思考,看出l是兩圓的公切線.

    例4 (2014江西高考,9)在平面直角坐標系中,A,B分別是x軸和y軸上的動點,若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為

    圖2

    簡解如圖2,∵A,B分別在x軸,y軸上,

    ∴OA⊥OB,

    ∴以AB為直徑的圓C必過原點

    O.又∵圓C與直線2x+y-4=0相切,

    ∴圓C直徑的最小值為點O到直線2x+y-4=0的距離,

    評析本題常規(guī)解法是設(shè)A,B的坐標,表示出圓C的半徑,求出半徑的最小值,從而求出面積的最小值,但求半徑的最小值卻很麻煩,許多學(xué)生因此半途而廢.簡解抓住圓C必過原點O這一特征,巧妙轉(zhuǎn)化,簡潔算出半徑,可謂避繁就簡.

    [1]施富英.看透本質(zhì),巧思妙解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(南昌),2015(12):38-39.

    G632

    A

    1008-0333(2017)31-0013-02

    2017-07-01

    溫日明(1976-),男,江西信豐人,本科,中學(xué)高級教師,從事高中數(shù)學(xué)教育研究與初數(shù)研究.

    楊惠民]

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