頻域匹配濾波-FFT聯(lián)合捕獲算法*

歐春湘，吳智杰

(北京遙感設(shè)備研究所，北京 100854)

0 引言

由于電磁波的空間傳輸延時(shí)，以及收發(fā)機(jī)間相對(duì)運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的頻率多普勒效應(yīng)，無線電信號(hào)接收時(shí)需要進(jìn)行定時(shí)同步和載波同步。捕獲是指在時(shí)間和頻率上分別設(shè)置固定的步進(jìn)對(duì)碼相位和多普勒頻率進(jìn)行二維搜索相關(guān)峰值[1-3]。對(duì)于直擴(kuò)序列的快速捕獲主要有2種技術(shù)途徑。一種是在時(shí)域上進(jìn)行偽碼和載波的串行搜索、時(shí)域匹配濾波器法[2-5];另一種是在頻域上利用快速傅立葉變換(fast fourier transform，F(xiàn)FT)和快速傅立葉逆變換(inverse fast fourier transform，IFFT)計(jì)算多普勒頻移估計(jì)和碼相位估計(jì)。傳統(tǒng)的捕獲方法主要有滑動(dòng)相關(guān)法、時(shí)域匹配濾波法、頻域匹配濾波法、平均相關(guān)捕獲算法、折疊匹配濾波法和PMF-FFT(partial matched filtering)部分匹配濾波法等[6-10]。本文提出的頻域匹配濾波-FFT聯(lián)合捕獲法不僅實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且大幅度地提高了多普勒頻率的估計(jì)精度。

1 頻域匹配濾波

1.1 基本原理

假設(shè)偽碼長度為N，接收到的偽碼序列為c(n)，本地復(fù)制偽碼序列為c′(n)，相關(guān)值為corr(n)，則有

(1)

對(duì)相關(guān)值corr(n)進(jìn)行離散傅里葉變換：

(2)

式中：C(k)和C′(k)分別為c(n)和c′(n)的離散傅里葉變換;C′*(k)代表復(fù)數(shù)C′(k)的共軛。

C(k)=FFT(c(n)),

(3)

C′(k)=FFT(c′(n)).

(4)

式(2)表明2個(gè)碼序列c(n)和c′(n)在時(shí)域做相關(guān)運(yùn)算，在頻域內(nèi)相當(dāng)于一個(gè)序列的離散傅里葉變換C(k)與另一個(gè)序列的離散傅里葉變換的共軛值C′(k)相乘。因此CORR(k)的離散傅里葉反變換正好是2個(gè)碼序列在各個(gè)碼相位處的相關(guān)值。

corr(n)=IFFT(CORR(k)).

(5)

1.2 實(shí)現(xiàn)流程

捕獲過程需要完成載波多普勒和偽碼相位的二維掃描[11]，如圖1所示，fbin和tbin分別為頻率搜索步進(jìn)和碼相位搜索步進(jìn)。當(dāng)在第i行第j列得到相關(guān)峰值且超過門限時(shí)，則得到與接收信號(hào)一致的載波多普勒fd(i)和碼相位值p(j)，完成了碼并行捕獲。如何按照一定的策略快速地遍歷所有的載波多普勒頻點(diǎn)和碼相位是捕獲的關(guān)鍵[12-14]。頻率匹配濾波法就是在每一次掃描一個(gè)載波多普勒頻率，在該頻點(diǎn)按照式(2)～(4)完成偽碼的快速相關(guān)，實(shí)現(xiàn)流程圖如圖2所示。

圖1 捕獲二維搜索圖Fig.1 Acquisition searching map in two dimension

圖2 頻譜匹配濾波原理圖Fig.2 Construction of frequency domain matching filter

ui(t)為接收信號(hào)，載波NCO產(chǎn)生查找地址，通過查找正余弦查找表得到本地同相載波uoc(t)和正交載波uos(t)，分別表示為

(6)

(7)

(8)

式中:a和a′分別為接收信號(hào)和本地載波的幅值;d(t)為調(diào)制的數(shù)據(jù);c(t)為偽碼序列;ωi和ωo分別為接收到的載波頻率和本地載波頻率;φ為接收信號(hào)的初相位。

正交下變頻后同相支路再經(jīng)過低通濾波器濾除高頻分量后得到

i(t)=ui(t)uoc(t)=2aa′d(t)c(t)·

cos(ωit+φ)cos(ωot)=

aa′d(t)c(t){cos[(ωi+ωo)t+φ]+

aa′d(t)c(t)cos[(ωi-ωo)t+φ].

(9)

正交下變頻后正交支路再經(jīng)過低通濾波器濾除高頻分量后得到

q(t)=ui(t)uos(t)=2aa′d(t)c(t)·

cos(ωit+φ)sin(ωot)=

aa′d(t)c(t){sin[(ωi+ωo)t+φ]-

-aa′d(t)c(t)sin[(ωi-ωo)t+φ].

(10)

I和Q 2個(gè)支路合并成i(t)+j·q(t)后做FFT運(yùn)算，再與偽碼FFT共軛相乘，做FFT逆變換得到各個(gè)偽碼相位上的相關(guān)值，相關(guān)運(yùn)算后得到

uout(t)=aa′d(t)R(τ)e-j(Δωt+φ),

(11)

式中:R(τ)為接收到的偽碼c(t)與本地偽碼c′(t)的相關(guān)值;τ為c(t)與c′(t)的時(shí)間差;Δω=ωi-ωo為接收到的載波和本地載波的頻率差。

對(duì)uout(t)取模進(jìn)行幅值判斷，若大于門限值則表示捕獲成功，否則繼續(xù)下一個(gè)頻點(diǎn)重復(fù)上述過程。因?yàn)閭未a的強(qiáng)相關(guān)性和弱互相關(guān)性，當(dāng)τ不為零時(shí)，R(τ)將嚴(yán)重衰減使得幅值減小；當(dāng)Δω不為零時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的衰減性可知，幅值將成指數(shù)衰減[15-16]。因此由式(10)可知，只有當(dāng)載波和碼相位都嚴(yán)格對(duì)齊時(shí)才能得到峰值，捕獲到峰值的同時(shí)得到了載波多普勒值和偽碼相位值。

2 聯(lián)合捕獲法

聯(lián)合捕獲法是基于頻域匹配濾波法的一種捕獲方法，連續(xù)k個(gè)碼周期做相關(guān)運(yùn)算，對(duì)同相位的k

個(gè)相關(guān)值做二次FFT運(yùn)算，具體的實(shí)現(xiàn)方法如圖3所示。

第1步，利用FFT運(yùn)算求解輸入信號(hào)的頻域表示，F(xiàn)FT的頻移特性即頻域移相等效時(shí)域相乘的特性如式(12)所示，因此在各支路上對(duì)N1點(diǎn)輸出進(jìn)行2N2+1次移相，等效于在多普勒頻率范圍[-Fd，F(xiàn)d](kHz)內(nèi)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行2N2+1路并行下變頻。

若FFT[x(n)]=X(k)，則

(12)

相關(guān)積分時(shí)間Tcoh為一個(gè)碼周期時(shí)間，將一個(gè)碼周期劃分成N1個(gè)搜索單元,

(13)

式中：fs為采樣頻率；Rc為碼速率;L為碼周期。

圖3 頻域匹配濾波-FFT聯(lián)合捕獲法實(shí)現(xiàn)流程Fig.3 Construction of frequency domain matching filter and FFT union acquisition

(14)

將多普勒頻率范圍[-Fd，F(xiàn)d](kHz)分成2N2+1個(gè)搜索單元，每個(gè)搜索頻率記為fdi，本地載波記為CLi(t)，即

(15)

fdi=i·fbin,

i=-N2，-(N2-1)，…，0，…，N2,

(16)

CLi(t)=cos(2πfdit)-i·sin(2πfdit),

i=-N2，-(N2-1)，…，0，…，N2,

(17)

式中：[·]表示取整數(shù)。

假設(shè)輸入的基帶信號(hào)為S1(t)，S1(t)與CLi(t)正交下變頻得到基帶復(fù)信號(hào)S2i(t)。

i=-N2，-(N2-1)，…，0，…，N2,

(18)

i=-N2，-(N2-1)，…，0，…，N2.

(19)

第2步，2N2+1路下變頻信號(hào)S2i(t)與原位輸出的本地偽碼的FFT運(yùn)算結(jié)果共軛相乘，并對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行IFFT運(yùn)算，由式(2)可知，該步驟相當(dāng)于求得各通道上的一個(gè)碼周期長度的時(shí)域相關(guān)積分，得到N1(2N2+1)個(gè)相關(guān)積分值。至此，完成了單個(gè)偽碼周期內(nèi)的掃頻搜索，頻率搜索步進(jìn)為fbin。

2N2+1通道的第k通道零中頻基帶信號(hào)S2k(t)與本地偽碼pn(t)相關(guān)累加后得到N1個(gè)相關(guān)值S3k(l)，采用MSK調(diào)制。

(20)

S3k(l)=S2k(t)?pn(t+lTc)=

i(t)?pn(t+lTc)+j·q(t)?pn(t+lTc)=

I(l)+j·Q(l),

l=0，1，…，N1-1,

(21)

式中:Tc=TL/N1，TL為一個(gè)碼周期時(shí)間。

則

I(l)=i(t)?pn(t+lTc)=

l=0，1，…，N1-1,

(22)

Q(l)=q(t)?pn(t++lTc)=

l=0，1，…，N1-1,

(23)

fe=fd-fdi,

(24)

S3k(l)=I(l)+j·Q(l)=

l=0，1，…，N1-1,

(25)

式中:t1為相關(guān)起始時(shí)刻;ωe=2πfe;R(·)表示自相關(guān)函數(shù)。

第3步，在連續(xù)K個(gè)偽碼周期上做上述相關(guān)運(yùn)算，每個(gè)通道得到KN1個(gè)相關(guān)值，將KN1值存儲(chǔ)在一個(gè)K×N1的矩陣X1里。對(duì)每一列K個(gè)點(diǎn)進(jìn)行FFT運(yùn)算，得到K×N1的矩陣X2，等效為對(duì)各相位上的相關(guān)結(jié)果按基帶速率進(jìn)行K次相干累加，理論捕獲精度提高為fbin/K。

矩陣X2的第p列為S3k(p)，F(xiàn)FT峰值為v，則

v=K·S3k(p)=

(26)

τp+pTc≈0,

(27)

fe=fd-fdi≈0.

(28)

式(27),(28)表示只有當(dāng)碼相位差小于碼相位搜索步徑，且本地多普勒頻率與接收信號(hào)的多普勒頻率基本保持一致時(shí)才會(huì)出現(xiàn)相關(guān)峰值。

第4步，在總樣本為(2N2+1)N1K的基礎(chǔ)上，計(jì)算相關(guān)值的最大值和均值，并得到峰均比。至此，完成了第1輪K個(gè)偽碼周期的相干累積搜索。

第5步，當(dāng)連續(xù)2次判決輸出均過門限Vt，2次捕獲結(jié)果碼片差在碼相位搜索步進(jìn)以內(nèi)，且頻率差在fbin/K以內(nèi)，則判決成功，啟動(dòng)后續(xù)信號(hào)處理模塊，否則，捕獲模塊繼續(xù)搜索。

3 仿真與分析

與理論分析部分的假設(shè)相對(duì)應(yīng)，設(shè)置基本的數(shù)值和仿真環(huán)境為：采樣頻率fs=4 MHz，碼速率Rc=2 MHz，碼周期L=128，多普勒頻偏范圍±100 kHz，聯(lián)合捕獲的頻率搜索步進(jìn)為15.625 kHz，碼片搜索步進(jìn)為0.5個(gè)碼片，相關(guān)時(shí)間為一個(gè)碼周期，在連續(xù)K=20個(gè)偽碼周期上做相關(guān)運(yùn)算，每個(gè)碼相位上得到20個(gè)相關(guān)值，再補(bǔ)10個(gè)0做32點(diǎn)FFT運(yùn)算。FFT運(yùn)算提高了相關(guān)峰均值，多普勒頻率估計(jì)精度提高為15.625 kHz/32=488.28 Hz，設(shè)置以下2個(gè)仿真條件分別進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)置載波多普勒頻率為66.7 kHz，碼相位差為155個(gè)半碼片，不存在跳頻同步誤差。圖4為一個(gè)偽碼周期的相關(guān)峰均值，圖5為聯(lián)合捕獲最后一級(jí)32點(diǎn)FFT得到的相關(guān)峰均值，對(duì)比可知，聯(lián)合捕獲得到的相關(guān)峰均值明顯高于直接相關(guān)累加的相關(guān)峰均值，提高了檢測(cè)概率。

圖4 頻域匹配濾波相關(guān)峰值Fig.4 Correlation result of frequency domain matching filter

圖5 聯(lián)合捕獲相關(guān)峰值Fig.5 Correlation result of union acquisition

設(shè)置中頻信噪比為-15 dB，多普勒頻率在±100 kHz范圍內(nèi)，通過仿真得到聯(lián)合捕獲法和頻率匹配濾波法的載波多普勒頻率估計(jì)誤差的變化情況，如圖6所示。由圖6可知，頻率匹配濾波法殘余的多普勒頻偏精度為8 kHz，聯(lián)合捕獲殘余的為1 kHz，在捕獲精度上明顯優(yōu)于傳統(tǒng)頻域匹配濾波法。

圖6 多普勒頻率估計(jì)誤差Fig.6 Estimated error of Doppler frequency

為了得到在±100 kHz多普勒頻偏范圍內(nèi)，捕獲概率隨信噪比的變化，設(shè)置多普勒頻偏分別為-100,0,100 kHz，得到3條捕獲概率隨中頻輸入信噪比變化的曲線如圖7所示。由圖7可知，隨著信噪比的增加捕獲概率不斷增加，由于位于頻率搜索單元的不同頻率位置，0和±100 kHz存在2 dB的差別，多普勒頻偏為0時(shí)在-16 dB捕獲概率接近1，多普勒頻偏為±100 kHz時(shí)在-14 dB捕獲概率接近1。

圖7 不同信噪比下的捕獲概率Fig.7 Acquisition probability in different SNR

4 結(jié)束語

頻域匹配濾波-FFT聯(lián)合捕獲法在頻域匹配濾波的基礎(chǔ)上對(duì)連續(xù)K個(gè)相同碼相位的相關(guān)結(jié)果進(jìn)行二次FFT運(yùn)算，相當(dāng)于K次非相干累加。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)仿真可知，該方法提高了多普勒頻率的估計(jì)精度，在信噪比大于-14 dB時(shí)捕獲概率能達(dá)到0.988，多普勒頻率的捕獲范圍能夠達(dá)到±100 kHz。由此可見，頻域匹配濾波-FFT聯(lián)合捕獲法在估計(jì)精度和捕獲概率上優(yōu)于傳統(tǒng)的頻域匹配濾波法。

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