按圖索“跡”，攻克解題難點(diǎn)

付培軍

帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)問題，能很好地考查考生空間想象能力、綜合分析能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力，常以壓軸題的形式出現(xiàn)。試題一般結(jié)合運(yùn)動(dòng)、力、能量等知識(shí)點(diǎn)，覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)，是高考中拉開得分檔次的關(guān)鍵。

一、運(yùn)動(dòng)情形

復(fù)合場是指電場、磁場、重力場中的三者或其中任意兩者共存，在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)的電荷有時(shí)可不計(jì)重力，如電子、質(zhì)子、α粒子等微觀粒子；也有重力不能忽略的宏觀帶電體，如小球、液滴、微粒等。帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)情況雖然較為復(fù)雜，但同樣遵循力和運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。

（1）靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)。若處于靜止?fàn)顟B(tài)則不受洛倫茲力作用，肯定是重力和電場力平衡；若在電場力、重力和洛倫茲力共同作用下做直線運(yùn)動(dòng)，因電場力和重力為恒力，洛倫茲力隨速度改變而改變；若速度大小變化，垂直速度方向上的合力就要變化，電荷就會(huì)脫離原來的直線軌道而沿曲線運(yùn)動(dòng)，因此電荷的速度一定不變。

（2）電荷在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件是所受合外力大小恒定、方向時(shí)刻和速度方向垂直，只有洛倫茲力可滿足該條件，因此電荷在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，除洛倫茲力以外的所有力的合力必為零。一般情況下因粒子的速度大小和方向均不斷變化，粒子只能做非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。

二、難點(diǎn)突破

帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)情形多種多樣，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度大，但求解此類問題還是有一定的方法和思路可循的，考生可以抓住以下幾個(gè)問題進(jìn)行突破。

1. 找圓心，畫軌跡，求時(shí)間

帶電粒子以一定的速度進(jìn)入復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，曲線運(yùn)動(dòng)中的圓弧運(yùn)動(dòng)是一類典型代表，常會(huì)在洛倫茲力的作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，其運(yùn)動(dòng)徑跡是圓周的一部分，此時(shí)找圓心，畫軌跡是破解的關(guān)鍵。

例1 （2018年中原名校聯(lián)考題） 如圖1所示，在空間有一坐標(biāo)系xOy，直線OP與x軸正方向成30°角，第一象限內(nèi)有兩個(gè)方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ，直線OP上方的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一個(gè)不計(jì)重力質(zhì)量為m，帶電量為q的質(zhì)子以速度v從O點(diǎn)沿與OP成30°角的方向垂直射入磁場區(qū)域Ⅰ，質(zhì)子先后經(jīng)過磁場區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ，恰好垂直打在x軸上的Q點(diǎn)（圖1中未畫出），則（ ）

A.粒子在第一象限中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

B.粒子在第一象限中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

C. Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

D. Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

解析：若設(shè)粒子從OP上的A點(diǎn)離開磁場區(qū)域Ⅰ進(jìn)入磁場區(qū)域Ⅱ，則粒子在區(qū)域Ⅰ圓弧運(yùn)動(dòng)的圓心C在OA的垂直平分線上，圓心C還在速度的垂線上。又粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后能垂直打在x軸上，則其圓心一定在x軸上的D點(diǎn)，A、D、C三點(diǎn)共線且平行于y軸，結(jié)合題意可繪出粒子運(yùn)動(dòng)的徑跡如圖2所示。

點(diǎn)評：解有關(guān)帶電粒子的多解或周期性問題時(shí)，要弄清楚復(fù)合場的組成特點(diǎn)及場的變化情況，確定多解或周期性形成的原因，正確分析帶電粒子的受力情況，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，并且至少要畫出一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖，注意相鄰過程的銜接點(diǎn)，再應(yīng)用相關(guān)規(guī)律求解。當(dāng)帶電粒子做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)或有約束的變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般用動(dòng)能定理或能量守恒定律求解。

3. 分析運(yùn)動(dòng)中的臨界、極值或磁聚焦問題

帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)過程中往往存在臨界和極值問題，有時(shí)還夾雜著磁聚焦問題，難度大。求解時(shí)要對題目中所涉及的物理情景理解清楚，對物理過程有正確的認(rèn)識(shí)。

例3 （2017年中原名校聯(lián)考題）如圖6所示，圓柱形區(qū)域是垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場B的橫截面，一質(zhì)量為m電量為+q的粒子從M點(diǎn)沿與直徑MN成45°角的方向以速度v射入場區(qū)。若粒子射出磁場時(shí)與射入磁場時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為135°，P點(diǎn)是圓周上某點(diǎn)，不計(jì)粒子重力，則（ ）

A.粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

B.磁場區(qū)域的半徑為

C.粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

D.若粒子以同樣的速度從P點(diǎn)射入，則從磁場射出的位置必定與M點(diǎn)入射時(shí)從磁場射出的位置相同

解析：如圖7所示，由速度轉(zhuǎn)向角為135°，知粒子從C點(diǎn)豎直向上射出，圓心為D點(diǎn)，由幾何關(guān)系知四邊形MOCD為菱形，即粒子圓運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和磁

場區(qū)域的半徑相同，由qvB=知R=，即選項(xiàng)B對A錯(cuò)；由速度轉(zhuǎn)向角為135°知t=T，又T=知t=，即選項(xiàng)C錯(cuò)；若粒子以同樣的速度從P點(diǎn)射

入，則軌道半徑不變，圓心在圖7中的E點(diǎn)，四邊形POCE也為菱形，粒子經(jīng)PC弧過C點(diǎn)，此時(shí)與P點(diǎn)的位置無關(guān)，由磁聚焦知都會(huì)過C點(diǎn)，故選項(xiàng)D對。

點(diǎn)評：本題中粒子從不同位置射入而從同一位置射出，屬磁聚焦問題。一般地，在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，要根據(jù)受力情況推斷粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再建立關(guān)聯(lián)方程求解。處理臨界或極值問題時(shí)，一般先分析兩種物理現(xiàn)象及其與臨界值相關(guān)的條件，再用假設(shè)法、極限法或數(shù)學(xué)方法求出臨界值，依所給條件與臨界值間的關(guān)系求解。而有關(guān)磁聚焦的問題，一般要結(jié)合粒子速度的變化情況，分析出粒子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，在動(dòng)態(tài)中確定粒子圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，繪制粒子運(yùn)動(dòng)的草圖，把握好邊界粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，再用幾何關(guān)系求解。

Tips：解題方法歸納

求解帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，首先要弄清是怎樣一個(gè)復(fù)合場，然后才能對帶電粒子的受力及運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析。求解步驟為：①劃分過程，即將粒子運(yùn)動(dòng)的過程劃分為幾個(gè)不同的階段，對不同的階段選取不同的規(guī)律處理；②畫運(yùn)動(dòng)軌跡，即根據(jù)受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，大致畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，有利于形象、直觀地解決問題。③找關(guān)鍵點(diǎn)，即確定帶電粒子在場區(qū)邊界的速度（包括大小和方向）是解決該類問題的關(guān)鍵。endprint