一致凸Banach空間的性質(zhì)研究*

楊海鵬

(運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，運(yùn)城 044000)

一致凸Banach空間的性質(zhì)研究*

楊海鵬

(運(yùn)城師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，運(yùn)城 044000)

一致凸Banach空間是泛函分析中的一類性質(zhì)很好的重要空間.主要介紹了一致凸Banach空間的定義，證明相關(guān)等價(jià)結(jié)論并研究相關(guān)性質(zhì).

Banach空間；一致凸；性質(zhì)

Banach空間的凸性研究最早是由 J.A. Clarkson在1936年討論向量測(cè)度的Radon-Nikodym性質(zhì)時(shí)開始的，他引入一致凸空間的概念，開創(chuàng)了Banach空間幾何理論研究的先河.隨著Banach空間幾何理論的迅速發(fā)展，一致凸Banach空間已被越來越多的數(shù)學(xué)工作者研究.2001年，邢家省[2]研究了一致凸空間的一些性質(zhì)并給出了一些應(yīng)用.2009年，項(xiàng)明寅等人[3]給出了一致凸的若干等價(jià)命題并證明了它們的等價(jià)性.2012年，劉龍珍[4]證明了Banach空間一致凸的幾個(gè)等價(jià)定理.本文是在文獻(xiàn)[2]、[3]、[4]的基礎(chǔ)上研究一些新的相關(guān)性質(zhì)，提出新的等價(jià)結(jié)論并給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.為Banach空間理論的相關(guān)問題研究提供了新的思路和方法.

1 預(yù)備知識(shí)

注：易知此定義與下列一致凸Banach空間定義等價(jià)(見文獻(xiàn)[2]，[3]，[4]).

引理1[5]設(shè)X是賦范線性空間，則對(duì)任何x0∈X,x0≠θ，必存在X上的連續(xù)線性泛函f，使得

下列記號(hào)為本文主要結(jié)果中需用到的記號(hào)：

(1)S(X){x∈X:=1}，S(X*){f∈X*:=1}；

(2)C[a,b]區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)的全體；

(3)X*X上連續(xù)線性泛函的全體(亦稱作X的對(duì)偶空間).

2 主要結(jié)果

定理2 設(shè)X為 Banach 空間, 則下列條件是等價(jià)的：

(1)X是一致凸的空間；

正齊次性：?α∈Φ,?x∈X，有

三角不等式性：?x,y∈X，由引理4有

[1] Clarkson.J.A. Uniformly Rotund Spaces[J]. Trams.Amer.Math.Soc.，1936，(40):396-414.

[2] 邢家省. 一致凸空間的一些性質(zhì)及其應(yīng)用[J].河南科學(xué)，2001,19(2): 111-117.

[3] 項(xiàng)明寅，羅 純. 一致凸的若干等價(jià)命題[J].上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009,9(3): 203-206.

[4] 劉龍珍. Banach 空間一致凸的幾個(gè)等價(jià)定理[J].畢節(jié)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012,30(4): 37-40.

[5] 夏道行. 實(shí)變函數(shù)論與泛函分析(下)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[6] 俞鑫泰.Banach 空間幾何理論[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，1984：124-126.

[7] 匡繼昌.常用不等式(第三版) [M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004：8-9.

PropertiesofUniformlyConvexBanachSpaces

YANG Hai-peng

(Department of Mathematics and Computer, Yuncheng Advanced Normal College, Yuncheng 044000, China)

Uniformly convex banach spaces are very important in functional analysis. In this paper, we discuss several equivalent propositions and obtain some properties in uniformly convex banach spaces.

banach space; uniformly convex; property

2017-06-30

楊海鵬(1970-)，女，碩士，講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)教育.

O177. 2

A

1671-119X(2017)04-0052-03