從物理競賽遷移到高考的應(yīng)用

溫文輝??

摘要：不計(jì)重力的帶電粒子沿垂直勻強(qiáng)磁場方向運(yùn)動(dòng)時(shí)將受到洛倫茲力的作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這是常見問題。若粒子除受洛倫茲力外還受到其他力，則高中學(xué)生能處理的問題無非是洛倫茲力與其他力平衡做勻速直線運(yùn)動(dòng)或所有其他力平衡后合力為洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)兩種情況。若是出現(xiàn)復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速度的大小和方向時(shí)刻在改變，洛倫茲力就時(shí)刻改變，要求解此類問題的運(yùn)動(dòng)情況，高中階段幾乎沒有辦法解決。但在物理競賽中，經(jīng)常會(huì)碰到這種題型，處理方法是為帶電粒子配上一對大小相等方向相反的速度（其實(shí)合速度等于零）或?qū)щ娏Ｗ拥某跛俣冗M(jìn)行分解，把復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成，這兩種運(yùn)動(dòng)是高中生所熟知的。這實(shí)際上是借助等效原理和運(yùn)動(dòng)的合成分解原理，在全新的數(shù)理模型基礎(chǔ)上簡化了問題，這種方法常稱為“配速法”。

關(guān)鍵詞：電場；磁場；洛侖茲力；配速法

先復(fù)習(xí)一下速度選擇器模型。如右圖所示，空間存在著電磁復(fù)合場，勻強(qiáng)磁場B垂直紙面向內(nèi)，勻強(qiáng)電場E豎直向下，一個(gè)帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）以初速v0沿水平方向進(jìn)入復(fù)合場，則粒子受力情況為：洛倫茲力豎直向上，電場力豎直向下，若滿足：qBv0=qE得v0=EB，則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

若粒子進(jìn)入上述電磁場時(shí)速度v≠v0，則運(yùn)動(dòng)軌跡將是復(fù)雜曲線，解決辦法是將粒子的運(yùn)動(dòng)可看成是v0與v1兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，即v分解為v=v0+v1，因而粒子可以看做受到的兩個(gè)洛倫茲力可看成qBv0與qBv1，其中qBv0平衡電場力qE，則粒子在電磁場中所受合力為F合=qBv1，這樣，粒子的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解成以勻速直線運(yùn)動(dòng)（速度v0）和勻速圓周運(yùn)動(dòng)（速率v1）的合運(yùn)動(dòng)。以下通過幾個(gè)例子對“配速法”進(jìn)行剖析，以期進(jìn)一步理解并掌握。

【例1】如右圖所示，在垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場B和豎直向下的電場E中，有一質(zhì)量m、帶電量+q粒子由點(diǎn)P無初速釋放，請分析它的運(yùn)動(dòng)，求：

（1）粒子向下運(yùn)動(dòng)的最大位移dm。

（2）粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度和vmin最大速度vmax。

（3）定量計(jì)算粒子在水平方向運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)。

分析：由于粒子初速為零釋放，它的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示，是周期性的曲線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)用配速法，把初速為零看成是向右的v0與向左-v0兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，同時(shí)粒子向右v0運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生豎直向上的洛倫茲力平衡電場力，即qBv0=qE，得v0大小為：v0=EB。所以粒子可看成是向右以速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度v0做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

解：（1）電場方向上向下最大位移

dm=2RR=mv0qB=mEqB2得dm=2mEqB2

（2）最大速度在最低點(diǎn)Q點(diǎn)處，此時(shí)速度

vmax=vQ=2v0

最小速度在最高點(diǎn)與P等高點(diǎn)處vP1=vP2=0

（3）粒子周期性運(yùn)動(dòng)，設(shè)一個(gè)周期向右移動(dòng)距離L，即pp1=p1p2=…=pn-1pn=L

L=v0TT=2πmqB則得L=2πmEqB2

【例2】空間存在一個(gè)垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場，有一質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球（看做質(zhì)點(diǎn)），在離地面高為h處從靜止開始釋放，若小球與地面不會(huì)相碰，求磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bmin（忽略小球下落時(shí)空氣阻力的影響）。

分析：如圖所示，初速為零的粒子可看成是向右的v0與向左-v0兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，其中水平向右運(yùn)動(dòng)受到的洛侖茲力平衡重力，水平向左的速度受到的洛侖茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：

mg=qv0B，qv0B=mv20R，h≥2R

解得：B≥mq2gh，則Bmin=mq2gh

【例3】如圖所示，二維坐標(biāo)系中存在著垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場B和豎直向下的勻強(qiáng)電場E，一電子從坐標(biāo)原點(diǎn)處靜止釋放，求電子在y軸方向運(yùn)動(dòng)的最大距離ym（電子的重力不計(jì)）。

分析：如圖所示，水平方向可以看作向右的v0與向左-v0兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，其中水平向右勻速運(yùn)動(dòng)受到豎直向下的洛侖茲力平衡豎直向上的電場力，水平向左運(yùn)動(dòng)受到的洛侖茲力充當(dāng)向心力做瞬時(shí)間勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

eE=eBv0，ym=2R，qv0B=mv20R

則 y軸正方向前進(jìn)的最大距離ym=2mEeB2

【例4】（08年江蘇高考改編）空間有垂直紙面向內(nèi)的水平勻強(qiáng)磁場B，一質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球在O靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖所示。已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g。求：

（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置p（x，y）的速率v；

（2）小球在運(yùn)動(dòng)過程中第一次下降的最大距離ym；

（3）當(dāng)在上述磁場中加一豎直向上場強(qiáng)為EE>mgq的勻強(qiáng)電場時(shí)，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率vm。

解：普通解法：

（1）只有重力做功，由動(dòng)能定理mgy=12mv2-0得v=2gy

（2）設(shè)在最大距離ym處的速率為vm，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)有：qvmB-mg=mv2mR，由上式vm=2gy和已知條件ym=2R得則ym=2m2gq2B2

（3）小球運(yùn)動(dòng)如右圖所示，由動(dòng)能定理得

（qE-mg）ym=12mv2m-0

由向心力公式：qvmB+mg-qE=mv2mR已知條件：ym=2R得：vm=2（qE-mg）qB

用配速法解：

（1）如上解法一樣

（2）需要平衡重力，可看成是水平向右的v0與向左-v0兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成，水平向右做速度v0的勻速直線運(yùn)動(dòng)，qBv0=mg得v0=mgqB

水平向左速度-v0在洛倫茲力作用下做逆時(shí)間圓周運(yùn)動(dòng)，ym=2R=2mv0qB=2m2gq2B2

（3）現(xiàn)在需要平衡電場力與重力的合力，可看成是向右的v0與向左-v0兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，其中水平向左運(yùn)動(dòng)受到豎直向下的洛侖茲力平衡豎直向上的qE-mg，水平向右運(yùn)動(dòng)受到的洛侖茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

qE-mg=qBv0，在最低處兩個(gè)速度同向最大，vm=v0+v0 則vm=2（qE-mg）qB

【例5】如圖所示，電容器中存在正交的場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，一質(zhì)量為m電荷量為q的質(zhì)子，以初速度v0從左端沿中線從左方水平射入，若qBv0>qE，當(dāng)質(zhì)子從右端距離中心線s的p處射出，求：

（1）質(zhì)子射出的速度vp大?。?/p>

（2）分析質(zhì)子運(yùn)動(dòng)過程中的加速度如何變化，求出p處ap的大小。

解：（1）由于洛倫茲力不做功，只有電場力做負(fù)功，則：

-qEs=12mv2p-12mv20得vp=v0-2qEsm

（2）雖然速度大小和方向都變化，同樣可以用配速法，現(xiàn)把v0分解成兩個(gè)方向都向右的v1和v2，則v2=v0-v1，讓qBv1=qE，則運(yùn)動(dòng)可以分解成水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)（v1）和逆時(shí)針方向勻速圓周運(yùn)動(dòng)（速率v2），公式如下：

qBv1=qE，v2=v0-v1，qv2B=mv22R，ap=v22R，

則任意位置的加速度都一樣為：ap=qBv0-qEm

【例6】（2013年福建高考壓軸題最后一小題改編）如下圖，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場B和沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場，一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射。讓質(zhì)量為m，電量為q（q>0）的粒子在xOy平面從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向以初速度v0入射到該磁場中。不計(jì)重力和粒子間的影響。求該粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度值vm和離y軸的最大距離ym。

分析：設(shè)想在O處同時(shí)存在水平向右的v1與水平向左-v1，粒子水平向右運(yùn)動(dòng)受到的洛侖茲力平衡電場力，qBv1=qE，初速度v0與水平向左-v1合成v=v20+v21就是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，如下圖所示，則有：

qBv1=qE，qvB=mv2R，v=v20+v21

粒子最大速度在運(yùn)動(dòng)到最高處時(shí)沿水平方向，

解得：vm=v0+v=EB+v20+E2B2

設(shè)v與x軸夾角為θ，最大距離為：ym=R+Rcosθ，cosθ=v1v，

則：ym=mqBv20+E2B2+EB

參考文獻(xiàn)：

[1]張大同.《物理競賽教程》高三年級.華東師范大學(xué)出版社.

[2]沈晨.《更高更妙的物理》沖刺全國高中物理競賽.浙江大學(xué)出版社.

[3]2008年江蘇省高考物理試卷和2012年福建省理綜高考物理試卷.