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    運(yùn)用整體思想解題 培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

    2017-12-27 07:45:17陳利明
    數(shù)理化解題研究 2017年32期
    關(guān)鍵詞:代數(shù)式整體解題

    陳利明

    (江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué) 225000)

    運(yùn)用整體思想解題培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

    陳利明

    (江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué) 225000)

    “整體思想”是一種重要的數(shù)學(xué)解題思想方法,“整體思想”就是在解題過程中不執(zhí)著于局部的處理,不拘泥于常規(guī)的方法,而根據(jù)數(shù)學(xué)題目自身的特殊性,從整體的角度出發(fā)進(jìn)行處理.即把題目中的某一部分看成一個整體,而不進(jìn)行單獨求解,在求條件代數(shù)式的值時,一般從已知式中不能確定代數(shù)式中字母的值,或雖能確定,但計算繁雜,這時若采用整體思想代換求值,常能使問題迅速獲解.這種從整體處理的思維方法,不僅解題方法別致新穎、思路清晰,而且能達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題目的.有利于開闊學(xué)生的視野,提高能力、發(fā)展智力、增強(qiáng)素質(zhì).

    整體代換;代數(shù)式;二次三項式;中間結(jié)果;扇形面積;無理數(shù);圓環(huán)面積

    下面用幾個實例說明整體思想在教學(xué)實踐中的應(yīng)用.

    例1 ①已知x3+x2+x+1=0,那么1+x+x2+x3+x4+…+x1995=____;②已知a2-a+1=0,求a3-2a+1的值.③已知x2+x-1=0,求x3+2x2+1997的值.

    解①原式=(1+x+x2+x3)+x4(x+x+x2+x3)+x8(1+x+x2+x3)+…+x1992(1+x+x2+x3)=(1+x+x2+x3)(1+x4+x8+x12+…+x1992).

    ∵1+x+x2+x3=0,∴原式=0.

    ②原式=a3-a2-a+a2-a-1+2=a(a2-a-1)+(a2-a-1)+2.∵a2-a-1=0,∴原式=a×0+0+2=2.

    ③由x2+x-1=0,得x2+x=1.

    原式=x3+x2+x2+x-x+1997=x(x2+x-1)+(x2+x)+1997=x×0+1+1997=1998.

    說明:如果從已知式中得出字母的值,再直接代入計算過程相當(dāng)繁瑣.將已知的代數(shù)式的值,整體代入待求的代數(shù)式中求值,可以大大減少運(yùn)算的工作量,化繁為易.

    ②解法2

    由題意知:x2+1=4x,

    說明若已知條件式是二次三項式,可以根據(jù)待求式的特征,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?,然后利用整體代入以達(dá)到簡化的目的.

    例3 已知-2x+y=5,求20x2-20xy+5y2-6x+3y+1870的值.

    分析用整體思維處理問題,就是從大處著眼,不局限于細(xì)微枝節(jié),有時可把已知條件或解題過程中所得的中間結(jié)果作為一個整體,代入所求的式子中,使問題能快捷解決.

    將2x-y視為一個整體,直接代入原式方便而快速求解.

    解由-2x+y=5,得2x-y=-5,

    原式=5(2x-y)2-3(2x-y)+1870

    =5×(-5)2-3×(-5)+1870

    =2010.

    例4 當(dāng)x=-3時,代數(shù)式ax5+bx3+cx-8=6,求當(dāng)x=3時ax5+bx3+cx-8的值.

    分析因無法分別求出a、b、c的值,可把a(bǔ)x5+bx3+cx看作一個“整體”,先求其值.

    解當(dāng)x=-3時,由已知可得35a+33b+3c=-14,故當(dāng)x=3時,ax5+bx3+cx-8=35a+33b+3c-8=-14-8=-22.

    分析把5x-4看成一個整數(shù),即可消去x.

    解把②代入①,得4y=3+3y,即y=3.

    把y=3代入②得5x-4=6,即x=2.

    代換思想是解題中常用的策略,對于一般的代換思想同學(xué)們并不陌生,這里給出一些非常規(guī)的整體求解,整體代換的實例.

    例6 已知x+y+z=3,求證:(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2[(x-1)(1-y)+(y-1)(1-z)+(z-1)(1-x)].

    分析本題若從常規(guī)方法考慮,無疑是很繁瑣的,通過觀察發(fā)現(xiàn):求證的式子有點像(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

    再觀察條件x+y+z=3,可變?yōu)閤-1+y-1+z-1=0,于是可采用整體求解,整體代換的思想.

    證∵x+y+z=3,∴(x-1)+(y-1)+(z-1)=0,∴[(x-1)+(y-1)+(z-1)]2=0,∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+2(x-1)(y-1)+2(x-1)(z-1)+2(y-1)(z-1)=0,∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2[(x-1)(1-y)+(y-1)(1-z)+(z-1)(1-x)].

    在解決一些數(shù)學(xué)題時,有些問題如果說分開來看,似乎很不好處理,找不到解決問題的關(guān)鍵,但作為一個整體來處理,就變得容易一些.

    例7 已知:x2-x-1=0,求-x3+2x2+2009的值.

    分析由x2-x-1=0知x是無理數(shù),所以求出x代入所求的代數(shù)式計算很繁.考慮用整體處理的思想方法.

    ∵x≠0,∴x3-x2-x=0.

    ∴-x3+2x2+2009=-(x3-2x2)+2009=-(x3-x2-x-x2+x)+2009=-(-x2+x)+2009=2010.

    例8 若α、β是關(guān)于x的方程x2-2008x+2010=0的兩個根,求(α2-2009α+2010)(β2-2009β+2010)的值.

    分析由已知有α2-2009α+2010=-α,β2-2009β+2010=-β.所以(α2-2009α+2010)(β2-2009β+2010)=αβ=2010.

    本題將α2-2009α+2010和β2-2010β+2010都作為一個整體代入運(yùn)算,很方便求得結(jié)果.

    例9 一個同心圓,圓心為O,小圓的切線被大圓截得的線段AB長為6,則兩圓構(gòu)成的圓環(huán)面積是多少?

    分析題中大圓半徑R、小圓半徑r無法求出,但只要知道R2-r2這一整體即可.

    例10 如圖2,分別以△ABC的三個頂點A、B、C為圓心作圓,⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交,且它們的半徑都是1,則圖中三個扇形(即三個陰影部分)面積之和是多少?

    分析△ABC是任意的,所以每一個扇形的面積無法求出,故用整體法來求.

    [1]黃東坡.數(shù)學(xué)培優(yōu)新方法[M].武漢:湖北人民出版社,2015.

    2017-07-01

    陳利明(1975.06-),男,揚(yáng)州市廣陵區(qū)頭橋中學(xué),本科.

    G632

    A

    1008-0333(2017)32-0013-02

    李克柏]

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