高中數(shù)學(xué)解題思想方法之

李京玉

摘要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生解題時常用的一種方法——換元法。利用換元法解決問題是高中階段數(shù)學(xué)解題過程中的基本方法，同時也是學(xué)生在實際應(yīng)用過程中的難點。本文分析利用換元法解數(shù)學(xué)題的本質(zhì)，從根本上尋求利用換元法解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵問題，討論其在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，為今后的高中數(shù)學(xué)教學(xué)及學(xué)生應(yīng)用提供參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；解題思想；換元法；數(shù)學(xué)教學(xué)；實際應(yīng)用

中圖分類號：G632.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）50-0205-02

高中數(shù)學(xué)解題時，換元法是經(jīng)常用的方法之一。換元法是把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化的方法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化，復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如已知復(fù)合函數(shù)f[g（x）]求f（x），可令t=g（x），由此解出x的表達(dá)式（用t表示x），將其代入f[g（x）]中得f（t），最后再把t換成x得到f（t）的解析式。此時要注意自變量的取值范圍，即t的取值范圍。又比如與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的方程p·a2x+

q·ax+r=0，令t=ax，得pt2+qt+r=0，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程（p≠0，a>0且a≠1）.同理可將與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式通過換元轉(zhuǎn)化為一般不等式求解。

（注）應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知方程中4x與2x之間的聯(lián)系。另外，本題還要求指數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。

我們還可以利用三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關(guān)問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。

Abstract：The high school mathematics teaching to guide students in the process of problem solving a method often used for change element method. Substitution method is used to solve the problem is a basic method in the process of high school mathematics problem-solving，as well as the difficulties in the process of students in practical application. Analysis method used in the nature of mathematical problem solving，fundamentally to seek the key problems of using the method of mathematical problem solving in yuan，discuss its application in the high school mathematics，for the future of the high school mathematics teaching and the students application to provide the reference.

Key words：mathematics；the problem solving thinking；change element method；mathematics teaching；the practical applicationendprint