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    對一個數(shù)學(xué)問題的推廣探究

    2017-12-25 07:29:04儲百六
    數(shù)學(xué)通報 2017年11期
    關(guān)鍵詞:排水管通報均值

    儲百六

    (安徽省岳西中學(xué) 246600)

    1 引言

    《數(shù)學(xué)通報》2016年第11期上刊登的2332號問題,筆者通過研究發(fā)現(xiàn)該不等式不僅可以推廣到一般情況,還可以類比得出很多有意思的不等式,先整理如下.

    數(shù)學(xué)通報第2332號問題:

    已知a,b,c,d>0,且abcd=1,求證:

    2 問題的推廣

    2.1 在探討之前先證兩個引理

    引理1若ai>0(i=1,2…,k),n≥m≥0,則

    證明不妨設(shè)a1≤a2≤…≤ak,則有

    由Chebyshev不等式可得

    引理2若ai>0(i=1,2…,k),∏ai≥1,i=1,2,…,k,n≥m≥0,則

    可由引理1和均值不等式易得.

    2.2 問題的推廣

    定理1設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2,…,k(k≥3,k∈N),n>m且n>-(k-1)m,

    證明先待定指數(shù)r,由引理1和均值不等式可得

    上式成立只需n>r>0,

    顯然n>r>0,于是有

    類似可得其他式子.所以

    證畢.

    注1.當k=4,m=0,n=1時,即為數(shù)學(xué)通報第2332號問題.

    2.當k=3,m=0,n=1時,該不等式為2000年澳門地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題.

    3.當k=3,m=-1,n=5時,該不等式為1996年IMO試題.

    推論設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2,…,k(k≥3,k∈N),n≥m≥s≥0,

    證明由定理1證明中的①式可得

    所以

    上式最后一步是由引理2推出,

    類比定理1可得:

    (2)管線埋設(shè)于地下,處于隱蔽狀態(tài),為確定位置可用管線探測儀、雷達等多種探測方法。目前,業(yè)內(nèi)開始借助潛望鏡進行管線探測。潛望鏡主要用于井、涵洞,以及暗溝暗區(qū)管線探測,在不需人員進入的情況下可以直觀觀察到內(nèi)部構(gòu)造和線路情況,同時也保證了人員下井的安全。潛望鏡在排水管線專業(yè)中可更好地發(fā)揮探測作用,而且還可以直觀查看排水管線的內(nèi)部構(gòu)造和淤積堵塞情況,為排水管線的隱患排查顯示出更大的作用。

    定理2設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2,…,k(k≥3,k∈N),0≤m

    證明先待定指數(shù)r,由引理1和均值不等式可得

    上式成立只需r>m>0,

    于是有

    所以

    證畢.

    注當m=0,n=1時,可得:

    從上述證明中的②式,由引理1還可將定理2推廣為:

    推廣1設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2,…,k(k≥3,k∈N),0≤m

    證明由②式可得

    推廣2設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2,…,k(k≥3,k∈N),0≤m

    證明將②式兩邊p次方可得

    于是由冪平均不等式可得

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