對一個數(shù)學(xué)問題的推廣探究

儲百六

(安徽省岳西中學(xué) 246600)

1 引言

《數(shù)學(xué)通報》2016年第11期上刊登的2332號問題，筆者通過研究發(fā)現(xiàn)該不等式不僅可以推廣到一般情況，還可以類比得出很多有意思的不等式，先整理如下.

數(shù)學(xué)通報第2332號問題：

已知a,b,c,d>0,且abcd=1，求證：

2 問題的推廣

2.1 在探討之前先證兩個引理

引理1若ai>0(i=1,2…,k),n≥m≥0，則

證明不妨設(shè)a1≤a2≤…≤ak，則有

由Chebyshev不等式可得

引理2若ai>0(i=1,2…,k),∏ai≥1,i=1,2，…,k,n≥m≥0，則

可由引理1和均值不等式易得.

2.2 問題的推廣

定理1設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),n>m且n>-(k-1)m,

證明先待定指數(shù)r，由引理1和均值不等式可得

上式成立只需n>r>0，

顯然n>r>0,于是有

①

類似可得其他式子.所以

證畢.

注1.當k=4,m=0,n=1時，即為數(shù)學(xué)通報第2332號問題.

2.當k=3,m=0,n=1時，該不等式為2000年澳門地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題.

3.當k=3,m=-1,n=5時，該不等式為1996年IMO試題.

推論設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),n≥m≥s≥0,

證明由定理1證明中的①式可得

所以

上式最后一步是由引理2推出，

類比定理1可得：

(2)管線埋設(shè)于地下，處于隱蔽狀態(tài)，為確定位置可用管線探測儀、雷達等多種探測方法。目前，業(yè)內(nèi)開始借助潛望鏡進行管線探測。潛望鏡主要用于井、涵洞，以及暗溝暗區(qū)管線探測，在不需人員進入的情況下可以直觀觀察到內(nèi)部構(gòu)造和線路情況，同時也保證了人員下井的安全。潛望鏡在排水管線專業(yè)中可更好地發(fā)揮探測作用，而且還可以直觀查看排水管線的內(nèi)部構(gòu)造和淤積堵塞情況，為排水管線的隱患排查顯示出更大的作用。

定理2設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),0≤m

證明先待定指數(shù)r，由引理1和均值不等式可得

上式成立只需r>m>0，

于是有

②

所以

證畢.

注當m=0,n=1時，可得：

從上述證明中的②式，由引理1還可將定理2推廣為：

推廣1設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),0≤m

證明由②式可得

推廣2設(shè)ai>0,且∏ai≥1,i=1,2，…,k(k≥3,k∈N),0≤m

證明將②式兩邊p次方可得

于是由冪平均不等式可得